Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem25 45914
Description: 𝑃 factorial divides the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem25.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem25.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem25.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem25.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem25.sumc (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗) = 𝑁)
etransclem25.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
etransclem25.j (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
etransclem25 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑗   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem25
StepHypRef Expression
1 etransclem25.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
21nnnn0d 12576 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
32faccld 14294 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℕ)
43nnzd 12629 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℤ)
5 etransclem25.sumc . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗) = 𝑁)
65eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗))
76fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)))
87oveq1d 7429 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))))
9 nfcv 2892 . . . . . . . 8 𝑗𝐶
10 fzfid 13985 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
11 etransclem25.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
12 nn0ex 12522 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
13 fzssnn0 44966 . . . . . . . . . . 11 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
14 mapss 8908 . . . . . . . . . . 11 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
1512, 13, 14mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀))
16 ovex 7447 . . . . . . . . . . . 12 (0...𝑁) ∈ V
17 ovexd 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → (0...𝑀) ∈ V)
18 elmapg 8858 . . . . . . . . . . . 12 (((0...𝑁) ∈ V ∧ (0...𝑀) ∈ V) → (𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁)))
1916, 17, 18sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → (𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁)))
2019ibir 267 . . . . . . . . . 10 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → 𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
2115, 20sselid 3977 . . . . . . . . 9 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → 𝐶 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
2211, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
239, 10, 22mccl 45253 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℕ)
248, 23eqeltrd 2826 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℕ)
2524nnzd 12629 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℤ)
26 etransclem25.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
27 etransclem25.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑀))
2827elfzelzd 13548 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
291, 26, 11, 28etransclem10 45899 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)
3025, 29zmulcld 12716 . . . 4 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ)
31 fzfid 13985 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
321adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3311adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
34 0z 12613 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
35 fzp1ss 13598 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
37 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
38 1e0p1 12763 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
3938oveq1i 7424 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
4037, 39eleqtrdi 2836 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
4136, 40sselid 3977 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4241adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4328adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
4432, 33, 42, 43etransclem3 45892 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
4531, 44fprodzcl 15949 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
464, 30, 453jca 1125 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ))
4728zcnd 12711 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
4847subidd 11598 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽𝐽) = 0)
4948eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 = (𝐽𝐽))
5049oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))
5150oveq2d 7430 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
5251ifeq2d 4544 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
53 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
5453, 39eleqtrdi 2836 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
5536, 54sselid 3977 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5627, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
571, 11, 56, 28etransclem3 45892 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)
5852, 57eqeltrd 2826 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)
59 fzfi 13984 . . . . . . 7 (1...𝑀) ∈ Fin
60 diffi 9204 . . . . . . 7 ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) ∈ Fin)
6159, 60mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) ∈ Fin)
621adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝑃 ∈ ℕ)
6311adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
64 eldifi 4124 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
6564, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
6665adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
6728adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝐽 ∈ ℤ)
6862, 63, 66, 67etransclem3 45892 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
6961, 68fprodzcl 15949 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
70 dvds0 16267 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑃) ∈ ℤ → (!‘𝑃) ∥ 0)
714, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 0)
7271adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ 0)
73 iftrue 4530 . . . . . . . . 9 (𝑃 < (𝐶𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = 0)
7473eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (𝑃 < (𝐶𝐽) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
7574adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
7672, 75breqtrd 5170 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
77 iddvds 16265 . . . . . . . . . 10 ((!‘𝑃) ∈ ℤ → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
784, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
7978ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
80 iffalse 4533 . . . . . . . . . 10 𝑃 < (𝐶𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
8180ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
82 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = (𝐶𝐽) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)))
8382adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)))
8411, 56ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ (0...𝑁))
8584elfzelzd 13548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℤ)
8685zcnd 12711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
8786adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
8887subidd 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)) = 0)
8983, 88eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = 0)
9089fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) = (!‘0))
91 fac0 14286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (!‘0) = 1
9290, 91eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 1)
9392oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = ((!‘𝑃) / 1))
943nncnd 12272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℂ)
9594div1d 12025 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((!‘𝑃) / 1) = (!‘𝑃))
9695adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / 1) = (!‘𝑃))
9793, 96eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
9889oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = (0↑0))
99 0cnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → 0 ∈ ℂ)
10099exp0d 14151 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑0) = 1)
10198, 100eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 1)
10297, 101oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = ((!‘𝑃) · 1))
10394mulridd 11270 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘𝑃) · 1) = (!‘𝑃))
104103adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) · 1) = (!‘𝑃))
105102, 104eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
106105adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
10781, 106eqtr2d 2767 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
10879, 107breqtrd 5170 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
10971ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ 0)
110 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽))
111110adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽))
112111iffalsed 4535 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
113 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝜑)
11485zred 12710 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
115114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
1161nnred 12271 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
117116ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
118114adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
119116adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
120118, 119, 110nltled 11403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ≤ 𝑃)
121120adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ≤ 𝑃)
122 neqne 2938 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝐶𝐽) → 𝑃 ≠ (𝐶𝐽))
123122adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝑃 ≠ (𝐶𝐽))
124115, 117, 121, 123leneltd 11407 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) < 𝑃)
1251nnzd 12629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
126125adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
12785adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) ∈ ℤ)
128126, 127zsubcld 12715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ)
129 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) < 𝑃)
130114adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
131116adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ)
132130, 131posdifd 11840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → ((𝐶𝐽) < 𝑃 ↔ 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽))))
133129, 132mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽)))
134 elnnz 12612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽))))
135128, 133, 134sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ)
1361350expd 14150 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 0)
137136oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · 0))
13894adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘𝑃) ∈ ℂ)
139135nnnn0d 12576 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ0)
140139faccld 14294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℕ)
141140nncnd 12272 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℂ)
142140nnne0d 12306 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ≠ 0)
143138, 141, 142divcld 12033 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℂ)
144143mul01d 11452 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · 0) = 0)
145137, 144eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = 0)
146113, 124, 145syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = 0)
147112, 146eqtr2d 2767 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
148109, 147breqtrd 5170 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
149108, 148pm2.61dan 811 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
15076, 149pm2.61dan 811 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
1514, 58, 69, 150dvdsmultr1d 16292 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ (if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
15244zcnd 12711 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℂ)
153 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 → (𝐶𝑗) = (𝐶𝐽))
154153breq2d 5156 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐽 → (𝑃 < (𝐶𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐶𝐽)))
155154adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝑃 < (𝐶𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐶𝐽)))
156153oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐽 → (𝑃 − (𝐶𝑗)) = (𝑃 − (𝐶𝐽)))
157156fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 → (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))))
158157oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
159158adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
160 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝐽))
161160, 48sylan9eqr 2788 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝐽𝑗) = 0)
162156adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) = (𝑃 − (𝐶𝐽)))
163161, 162oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))) = (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))
164159, 163oveq12d 7432 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
165155, 164ifbieq2d 4550 . . . . 5 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
16631, 152, 27, 165fprodsplit1 45248 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = (if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
167151, 166breqtrrd 5172 . . 3 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))
168 dvdsmultr2 16293 . . 3 (((!‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ) → ((!‘𝑃) ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) → (!‘𝑃) ∥ ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
16946, 167, 168sylc 65 . 2 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
170 etransclem25.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
171170faccld 14294 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
172171nncnd 12272 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
17311ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ (0...𝑁))
17413, 173sselid 3977 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ ℕ0)
175174faccld 14294 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℕ)
176175nncnd 12272 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
17710, 176fprodcl 15947 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
178175nnne0d 12306 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
17910, 176, 178fprodn0 15974 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
180172, 177, 179divcld 12033 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℂ)
18129zcnd 12711 . . . 4 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℂ)
18231, 152fprodcl 15947 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℂ)
183180, 181, 182mulassd 11276 . . 3 (𝜑 → ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
184 etransclem25.t . . 3 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
185183, 184eqtr4di 2784 . 2 (𝜑 → ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = 𝑇)
186169, 185breqtrd 5170 1 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3463  cdif 3944  wss 3947  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5144  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7414  m cmap 8845  Fincfn 8964  cc 11145  cr 11146  0cc0 11147  1c1 11148   + caddc 11150   · cmul 11152   < clt 11287  cle 11288  cmin 11483   / cdiv 11910  cn 12256  0cn0 12516  cz 12602  ...cfz 13530  cexp 14073  !cfa 14283  Σcsu 15683  cprod 15900  cdvds 16249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-inf2 9675  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9476  df-oi 9544  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-seq 14014  df-exp 14074  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-clim 15483  df-sum 15684  df-prod 15901  df-dvds 16250
This theorem is referenced by:  etransclem28  45917  etransclem38  45927
  Copyright terms: Public domain W3C validator