Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem25 41139
Description: 𝑃 factorial divides the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem25.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem25.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem25.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem25.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem25.sumc (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗) = 𝑁)
etransclem25.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
etransclem25.j (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
etransclem25 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑗   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem25
StepHypRef Expression
1 etransclem25.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11603 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
32faccld 13282 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℕ)
43nnzd 11734 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℤ)
5 etransclem25.sumc . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗) = 𝑁)
65eqcomd 2771 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗))
76fveq2d 6383 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)))
87oveq1d 6861 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))))
9 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑗𝐶
10 fzfid 12987 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
11 etransclem25.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
12 nn0ex 11550 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
13 fzssnn0 40197 . . . . . . . . . . 11 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
14 mapss 8109 . . . . . . . . . . 11 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
1512, 13, 14mp2an 683 . . . . . . . . . 10 ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0𝑚 (0...𝑀))
16 ovex 6878 . . . . . . . . . . . 12 (0...𝑁) ∈ V
17 ovexd 6880 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → (0...𝑀) ∈ V)
18 elmapg 8077 . . . . . . . . . . . 12 (((0...𝑁) ∈ V ∧ (0...𝑀) ∈ V) → (𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ↔ 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁)))
1916, 17, 18sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → (𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ↔ 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁)))
2019ibir 259 . . . . . . . . . 10 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → 𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)))
2115, 20sseldi 3761 . . . . . . . . 9 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → 𝐶 ∈ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
2211, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
239, 10, 22mccl 40494 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℕ)
248, 23eqeltrd 2844 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℕ)
2524nnzd 11734 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℤ)
26 etransclem25.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
27 etransclem25.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑀))
2827elfzelzd 40194 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
291, 26, 11, 28etransclem10 41124 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)
3025, 29zmulcld 11741 . . . 4 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ)
31 fzfid 12987 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
321adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3311adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
34 0z 11640 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
35 fzp1ss 12606 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
37 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
38 1e0p1 11789 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
3938oveq1i 6856 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
4037, 39syl6eleq 2854 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
4136, 40sseldi 3761 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4241adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4328adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
4432, 33, 42, 43etransclem3 41117 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
4531, 44fprodzcl 14983 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
464, 30, 453jca 1158 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ))
4728zcnd 11736 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
4847subidd 10639 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽𝐽) = 0)
4948eqcomd 2771 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 = (𝐽𝐽))
5049oveq1d 6861 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))
5150oveq2d 6862 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
5251ifeq2d 4264 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
53 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
5453, 39syl6eleq 2854 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
5536, 54sseldi 3761 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5627, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
571, 11, 56, 28etransclem3 41117 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)
5852, 57eqeltrd 2844 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)
59 fzfi 12986 . . . . . . 7 (1...𝑀) ∈ Fin
60 diffi 8403 . . . . . . 7 ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) ∈ Fin)
6159, 60mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) ∈ Fin)
621adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝑃 ∈ ℕ)
6311adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
64 eldifi 3896 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
6564, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
6665adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
6728adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝐽 ∈ ℤ)
6862, 63, 66, 67etransclem3 41117 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
6961, 68fprodzcl 14983 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
70 dvds0 15298 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑃) ∈ ℤ → (!‘𝑃) ∥ 0)
714, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 0)
7271adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ 0)
73 iftrue 4251 . . . . . . . . 9 (𝑃 < (𝐶𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = 0)
7473eqcomd 2771 . . . . . . . 8 (𝑃 < (𝐶𝐽) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
7574adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
7672, 75breqtrd 4837 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
77 iddvds 15296 . . . . . . . . . 10 ((!‘𝑃) ∈ ℤ → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
784, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
7978ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
80 iffalse 4254 . . . . . . . . . 10 𝑃 < (𝐶𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
8180ad2antlr 718 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
82 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = (𝐶𝐽) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)))
8382adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)))
8411, 56ffvelrnd 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ (0...𝑁))
8584elfzelzd 40194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℤ)
8685zcnd 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
8786adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
8887subidd 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)) = 0)
8983, 88eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = 0)
9089fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) = (!‘0))
91 fac0 13274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (!‘0) = 1
9290, 91syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 1)
9392oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = ((!‘𝑃) / 1))
943nncnd 11297 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℂ)
9594div1d 11052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((!‘𝑃) / 1) = (!‘𝑃))
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / 1) = (!‘𝑃))
9793, 96eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
9889oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = (0↑0))
99 0cnd 10290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → 0 ∈ ℂ)
10099exp0d 13216 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑0) = 1)
10198, 100eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 1)
10297, 101oveq12d 6864 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = ((!‘𝑃) · 1))
10394mulid1d 10315 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘𝑃) · 1) = (!‘𝑃))
104103adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) · 1) = (!‘𝑃))
105102, 104eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
106105adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
10781, 106eqtr2d 2800 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
10879, 107breqtrd 4837 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
10971ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ 0)
110 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽))
111110adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽))
112111iffalsed 4256 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
113 simpll 783 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝜑)
11485zred 11735 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
115114ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
1161nnred 11296 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
117116ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
118114adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
119116adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
120118, 119, 110nltled 10446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ≤ 𝑃)
121120adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ≤ 𝑃)
122 neqne 2945 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝐶𝐽) → 𝑃 ≠ (𝐶𝐽))
123122adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝑃 ≠ (𝐶𝐽))
124115, 117, 121, 123leneltd 10450 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) < 𝑃)
1251nnzd 11734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
126125adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
12785adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) ∈ ℤ)
128126, 127zsubcld 11740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ)
129 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) < 𝑃)
130114adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
131116adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ)
132130, 131posdifd 10873 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → ((𝐶𝐽) < 𝑃 ↔ 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽))))
133129, 132mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽)))
134 elnnz 11639 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽))))
135128, 133, 134sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ)
1361350expd 13238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 0)
137136oveq2d 6862 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · 0))
13894adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘𝑃) ∈ ℂ)
139135nnnn0d 11603 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ0)
140139faccld 13282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℕ)
141140nncnd 11297 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℂ)
142140nnne0d 11327 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ≠ 0)
143138, 141, 142divcld 11060 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℂ)
144143mul01d 10494 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · 0) = 0)
145137, 144eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = 0)
146113, 124, 145syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = 0)
147112, 146eqtr2d 2800 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
148109, 147breqtrd 4837 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
149108, 148pm2.61dan 847 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
15076, 149pm2.61dan 847 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
1514, 58, 69, 150dvdsmultr1d 15321 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ (if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
15244zcnd 11736 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℂ)
153 fveq2 6379 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 → (𝐶𝑗) = (𝐶𝐽))
154153breq2d 4823 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐽 → (𝑃 < (𝐶𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐶𝐽)))
155154adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝑃 < (𝐶𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐶𝐽)))
156153oveq2d 6862 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐽 → (𝑃 − (𝐶𝑗)) = (𝑃 − (𝐶𝐽)))
157156fveq2d 6383 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 → (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))))
158157oveq2d 6862 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
159158adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
160 oveq2 6854 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝐽))
161160, 48sylan9eqr 2821 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝐽𝑗) = 0)
162156adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) = (𝑃 − (𝐶𝐽)))
163161, 162oveq12d 6864 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))) = (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))
164159, 163oveq12d 6864 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
165155, 164ifbieq2d 4270 . . . . 5 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
16631, 152, 27, 165fprodsplit1 40489 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = (if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
167151, 166breqtrrd 4839 . . 3 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))
168 dvdsmultr2 15322 . . 3 (((!‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ) → ((!‘𝑃) ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) → (!‘𝑃) ∥ ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
16946, 167, 168sylc 65 . 2 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
170 etransclem25.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
171170faccld 13282 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
172171nncnd 11297 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
17311ffvelrnda 6553 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ (0...𝑁))
17413, 173sseldi 3761 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ ℕ0)
175174faccld 13282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℕ)
176175nncnd 11297 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
17710, 176fprodcl 14981 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
178175nnne0d 11327 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
17910, 176, 178fprodn0 15008 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
180172, 177, 179divcld 11060 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℂ)
18129zcnd 11736 . . . 4 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℂ)
18231, 152fprodcl 14981 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℂ)
183180, 181, 182mulassd 10321 . . 3 (𝜑 → ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
184 etransclem25.t . . 3 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
185183, 184syl6eqr 2817 . 2 (𝜑 → ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = 𝑇)
186169, 185breqtrd 4837 1 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  cdif 3731  wss 3734  ifcif 4245  {csn 4336   class class class wbr 4811  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  𝑚 cmap 8064  Fincfn 8164  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198   < clt 10332  cle 10333  cmin 10525   / cdiv 10943  cn 11279  0cn0 11543  cz 11629  ...cfz 12540  cexp 13074  !cfa 13271  Σcsu 14717  cprod 14934  cdvds 15281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-oi 8626  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10527  df-neg 10528  df-div 10944  df-nn 11280  df-2 11340  df-3 11341  df-n0 11544  df-z 11630  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13272  df-bc 13301  df-hash 13329  df-cj 14140  df-re 14141  df-im 14142  df-sqrt 14276  df-abs 14277  df-clim 14520  df-sum 14718  df-prod 14935  df-dvds 15282
This theorem is referenced by:  etransclem28  41142  etransclem38  41152
  Copyright terms: Public domain W3C validator