Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem25 44188
Description: 𝑃 factorial divides the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem25.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem25.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem25.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem25.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem25.sumc (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗) = 𝑁)
etransclem25.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
etransclem25.j (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
etransclem25 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑗   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem25
StepHypRef Expression
1 etransclem25.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
21nnnn0d 12403 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
32faccld 14108 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℕ)
43nnzd 12535 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℤ)
5 etransclem25.sumc . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗) = 𝑁)
65eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗))
76fveq2d 6838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)))
87oveq1d 7361 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))))
9 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑗𝐶
10 fzfid 13803 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
11 etransclem25.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
12 nn0ex 12349 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
13 fzssnn0 43243 . . . . . . . . . . 11 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
14 mapss 8757 . . . . . . . . . . 11 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
1512, 13, 14mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀))
16 ovex 7379 . . . . . . . . . . . 12 (0...𝑁) ∈ V
17 ovexd 7381 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → (0...𝑀) ∈ V)
18 elmapg 8708 . . . . . . . . . . . 12 (((0...𝑁) ∈ V ∧ (0...𝑀) ∈ V) → (𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁)))
1916, 17, 18sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → (𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁)))
2019ibir 268 . . . . . . . . . 10 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → 𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
2115, 20sselid 3937 . . . . . . . . 9 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → 𝐶 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
2211, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
239, 10, 22mccl 43527 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℕ)
248, 23eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℕ)
2524nnzd 12535 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℤ)
26 etransclem25.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
27 etransclem25.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑀))
2827elfzelzd 13367 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
291, 26, 11, 28etransclem10 44173 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)
3025, 29zmulcld 12542 . . . 4 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ)
31 fzfid 13803 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
321adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3311adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
34 0z 12440 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
35 fzp1ss 13417 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
37 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
38 1e0p1 12589 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
3938oveq1i 7356 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
4037, 39eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
4136, 40sselid 3937 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4241adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4328adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
4432, 33, 42, 43etransclem3 44166 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
4531, 44fprodzcl 15768 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
464, 30, 453jca 1128 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ))
4728zcnd 12537 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
4847subidd 11430 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽𝐽) = 0)
4948eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 = (𝐽𝐽))
5049oveq1d 7361 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))
5150oveq2d 7362 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
5251ifeq2d 4501 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
53 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
5453, 39eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
5536, 54sselid 3937 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5627, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
571, 11, 56, 28etransclem3 44166 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)
5852, 57eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)
59 fzfi 13802 . . . . . . 7 (1...𝑀) ∈ Fin
60 diffi 9053 . . . . . . 7 ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) ∈ Fin)
6159, 60mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) ∈ Fin)
621adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝑃 ∈ ℕ)
6311adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
64 eldifi 4081 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
6564, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
6665adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
6728adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝐽 ∈ ℤ)
6862, 63, 66, 67etransclem3 44166 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
6961, 68fprodzcl 15768 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
70 dvds0 16085 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑃) ∈ ℤ → (!‘𝑃) ∥ 0)
714, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 0)
7271adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ 0)
73 iftrue 4487 . . . . . . . . 9 (𝑃 < (𝐶𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = 0)
7473eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝑃 < (𝐶𝐽) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
7574adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
7672, 75breqtrd 5126 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
77 iddvds 16083 . . . . . . . . . 10 ((!‘𝑃) ∈ ℤ → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
784, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
7978ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
80 iffalse 4490 . . . . . . . . . 10 𝑃 < (𝐶𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
8180ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
82 oveq1 7353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = (𝐶𝐽) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)))
8382adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)))
8411, 56ffvelcdmd 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ (0...𝑁))
8584elfzelzd 13367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℤ)
8685zcnd 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
8786adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
8887subidd 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)) = 0)
8983, 88eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = 0)
9089fveq2d 6838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) = (!‘0))
91 fac0 14100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (!‘0) = 1
9290, 91eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 1)
9392oveq2d 7362 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = ((!‘𝑃) / 1))
943nncnd 12099 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℂ)
9594div1d 11853 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((!‘𝑃) / 1) = (!‘𝑃))
9695adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / 1) = (!‘𝑃))
9793, 96eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
9889oveq2d 7362 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = (0↑0))
99 0cnd 11078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → 0 ∈ ℂ)
10099exp0d 13968 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑0) = 1)
10198, 100eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 1)
10297, 101oveq12d 7364 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = ((!‘𝑃) · 1))
10394mulid1d 11102 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘𝑃) · 1) = (!‘𝑃))
104103adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) · 1) = (!‘𝑃))
105102, 104eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
106105adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
10781, 106eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
10879, 107breqtrd 5126 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
10971ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ 0)
110 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽))
111110adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽))
112111iffalsed 4492 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
113 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝜑)
11485zred 12536 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
115114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
1161nnred 12098 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
117116ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
118114adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
119116adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
120118, 119, 110nltled 11235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ≤ 𝑃)
121120adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ≤ 𝑃)
122 neqne 2949 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝐶𝐽) → 𝑃 ≠ (𝐶𝐽))
123122adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝑃 ≠ (𝐶𝐽))
124115, 117, 121, 123leneltd 11239 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) < 𝑃)
1251nnzd 12535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
126125adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
12785adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) ∈ ℤ)
128126, 127zsubcld 12541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ)
129 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) < 𝑃)
130114adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
131116adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ)
132130, 131posdifd 11672 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → ((𝐶𝐽) < 𝑃 ↔ 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽))))
133129, 132mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽)))
134 elnnz 12439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽))))
135128, 133, 134sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ)
1361350expd 13967 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 0)
137136oveq2d 7362 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · 0))
13894adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘𝑃) ∈ ℂ)
139135nnnn0d 12403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ0)
140139faccld 14108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℕ)
141140nncnd 12099 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℂ)
142140nnne0d 12133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ≠ 0)
143138, 141, 142divcld 11861 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℂ)
144143mul01d 11284 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · 0) = 0)
145137, 144eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = 0)
146113, 124, 145syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = 0)
147112, 146eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
148109, 147breqtrd 5126 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
149108, 148pm2.61dan 811 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
15076, 149pm2.61dan 811 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
1514, 58, 69, 150dvdsmultr1d 16110 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ (if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
15244zcnd 12537 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℂ)
153 fveq2 6834 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 → (𝐶𝑗) = (𝐶𝐽))
154153breq2d 5112 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐽 → (𝑃 < (𝐶𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐶𝐽)))
155154adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝑃 < (𝐶𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐶𝐽)))
156153oveq2d 7362 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐽 → (𝑃 − (𝐶𝑗)) = (𝑃 − (𝐶𝐽)))
157156fveq2d 6838 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 → (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))))
158157oveq2d 7362 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
159158adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
160 oveq2 7354 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝐽))
161160, 48sylan9eqr 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝐽𝑗) = 0)
162156adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) = (𝑃 − (𝐶𝐽)))
163161, 162oveq12d 7364 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))) = (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))
164159, 163oveq12d 7364 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
165155, 164ifbieq2d 4507 . . . . 5 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
16631, 152, 27, 165fprodsplit1 43522 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = (if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
167151, 166breqtrrd 5128 . . 3 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))
168 dvdsmultr2 16111 . . 3 (((!‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ) → ((!‘𝑃) ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) → (!‘𝑃) ∥ ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
16946, 167, 168sylc 65 . 2 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
170 etransclem25.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
171170faccld 14108 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
172171nncnd 12099 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
17311ffvelcdmda 7026 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ (0...𝑁))
17413, 173sselid 3937 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ ℕ0)
175174faccld 14108 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℕ)
176175nncnd 12099 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
17710, 176fprodcl 15766 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
178175nnne0d 12133 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
17910, 176, 178fprodn0 15793 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
180172, 177, 179divcld 11861 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℂ)
18129zcnd 12537 . . . 4 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℂ)
18231, 152fprodcl 15766 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℂ)
183180, 181, 182mulassd 11108 . . 3 (𝜑 → ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
184 etransclem25.t . . 3 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
185183, 184eqtr4di 2795 . 2 (𝜑 → ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = 𝑇)
186169, 185breqtrd 5126 1 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  Vcvv 3443  cdif 3902  wss 3905  ifcif 4481  {csn 4581   class class class wbr 5100  wf 6484  cfv 6488  (class class class)co 7346  m cmap 8695  Fincfn 8813  cc 10979  cr 10980  0cc0 10981  1c1 10982   + caddc 10984   · cmul 10986   < clt 11119  cle 11120  cmin 11315   / cdiv 11742  cn 12083  0cn0 12343  cz 12429  ...cfz 13349  cexp 13892  !cfa 14097  Σcsu 15501  cprod 15719  cdvds 16067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-inf2 9507  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-se 5583  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-er 8578  df-map 8697  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-sup 9308  df-oi 9376  df-card 9805  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-rp 12841  df-fz 13350  df-fzo 13493  df-seq 13832  df-exp 13893  df-fac 14098  df-bc 14127  df-hash 14155  df-cj 14914  df-re 14915  df-im 14916  df-sqrt 15050  df-abs 15051  df-clim 15301  df-sum 15502  df-prod 15720  df-dvds 16068
This theorem is referenced by:  etransclem28  44191  etransclem38  44201
  Copyright terms: Public domain W3C validator