Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem25 46214
Description: 𝑃 factorial divides the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem25.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem25.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem25.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem25.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem25.sumc (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗) = 𝑁)
etransclem25.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
etransclem25.j (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
etransclem25 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑗   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem25
StepHypRef Expression
1 etransclem25.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
21nnnn0d 12584 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
32faccld 14319 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℕ)
43nnzd 12637 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℤ)
5 etransclem25.sumc . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗) = 𝑁)
65eqcomd 2740 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗))
76fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)))
87oveq1d 7445 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))))
9 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑗𝐶
10 fzfid 14010 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
11 etransclem25.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
12 nn0ex 12529 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
13 fzssnn0 45267 . . . . . . . . . . 11 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
14 mapss 8927 . . . . . . . . . . 11 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
1512, 13, 14mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀))
16 ovex 7463 . . . . . . . . . . . 12 (0...𝑁) ∈ V
17 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → (0...𝑀) ∈ V)
18 elmapg 8877 . . . . . . . . . . . 12 (((0...𝑁) ∈ V ∧ (0...𝑀) ∈ V) → (𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁)))
1916, 17, 18sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → (𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁)))
2019ibir 268 . . . . . . . . . 10 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → 𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
2115, 20sselid 3992 . . . . . . . . 9 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → 𝐶 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
2211, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
239, 10, 22mccl 45553 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℕ)
248, 23eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℕ)
2524nnzd 12637 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℤ)
26 etransclem25.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
27 etransclem25.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑀))
2827elfzelzd 13561 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
291, 26, 11, 28etransclem10 46199 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)
3025, 29zmulcld 12725 . . . 4 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ)
31 fzfid 14010 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
321adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3311adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
34 0z 12621 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
35 fzp1ss 13611 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
37 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
38 1e0p1 12772 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
3938oveq1i 7440 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
4037, 39eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
4136, 40sselid 3992 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4241adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4328adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
4432, 33, 42, 43etransclem3 46192 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
4531, 44fprodzcl 15986 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
464, 30, 453jca 1127 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ))
4728zcnd 12720 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
4847subidd 11605 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽𝐽) = 0)
4948eqcomd 2740 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 = (𝐽𝐽))
5049oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))
5150oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
5251ifeq2d 4550 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
53 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
5453, 39eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
5536, 54sselid 3992 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5627, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
571, 11, 56, 28etransclem3 46192 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)
5852, 57eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)
59 fzfi 14009 . . . . . . 7 (1...𝑀) ∈ Fin
60 diffi 9213 . . . . . . 7 ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) ∈ Fin)
6159, 60mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) ∈ Fin)
621adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝑃 ∈ ℕ)
6311adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
64 eldifi 4140 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
6564, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
6665adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
6728adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝐽 ∈ ℤ)
6862, 63, 66, 67etransclem3 46192 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
6961, 68fprodzcl 15986 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
70 dvds0 16305 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑃) ∈ ℤ → (!‘𝑃) ∥ 0)
714, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 0)
7271adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ 0)
73 iftrue 4536 . . . . . . . . 9 (𝑃 < (𝐶𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = 0)
7473eqcomd 2740 . . . . . . . 8 (𝑃 < (𝐶𝐽) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
7574adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
7672, 75breqtrd 5173 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
77 iddvds 16303 . . . . . . . . . 10 ((!‘𝑃) ∈ ℤ → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
784, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
7978ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
80 iffalse 4539 . . . . . . . . . 10 𝑃 < (𝐶𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
8180ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
82 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = (𝐶𝐽) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)))
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)))
8411, 56ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ (0...𝑁))
8584elfzelzd 13561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℤ)
8685zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
8887subidd 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)) = 0)
8983, 88eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = 0)
9089fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) = (!‘0))
91 fac0 14311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (!‘0) = 1
9290, 91eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 1)
9392oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = ((!‘𝑃) / 1))
943nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℂ)
9594div1d 12032 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((!‘𝑃) / 1) = (!‘𝑃))
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / 1) = (!‘𝑃))
9793, 96eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
9889oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = (0↑0))
99 0cnd 11251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → 0 ∈ ℂ)
10099exp0d 14176 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑0) = 1)
10198, 100eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 1)
10297, 101oveq12d 7448 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = ((!‘𝑃) · 1))
10394mulridd 11275 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘𝑃) · 1) = (!‘𝑃))
104103adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) · 1) = (!‘𝑃))
105102, 104eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
106105adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
10781, 106eqtr2d 2775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
10879, 107breqtrd 5173 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
10971ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ 0)
110 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽))
111110adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽))
112111iffalsed 4541 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
113 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝜑)
11485zred 12719 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
115114ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
1161nnred 12278 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
117116ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
118114adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
119116adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
120118, 119, 110nltled 11408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ≤ 𝑃)
121120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ≤ 𝑃)
122 neqne 2945 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝐶𝐽) → 𝑃 ≠ (𝐶𝐽))
123122adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝑃 ≠ (𝐶𝐽))
124115, 117, 121, 123leneltd 11412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) < 𝑃)
1251nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
126125adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
12785adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) ∈ ℤ)
128126, 127zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ)
129 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) < 𝑃)
130114adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
131116adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ)
132130, 131posdifd 11847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → ((𝐶𝐽) < 𝑃 ↔ 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽))))
133129, 132mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽)))
134 elnnz 12620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽))))
135128, 133, 134sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ)
1361350expd 14175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 0)
137136oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · 0))
13894adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘𝑃) ∈ ℂ)
139135nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ0)
140139faccld 14319 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℕ)
141140nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℂ)
142140nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ≠ 0)
143138, 141, 142divcld 12040 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℂ)
144143mul01d 11457 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · 0) = 0)
145137, 144eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = 0)
146113, 124, 145syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = 0)
147112, 146eqtr2d 2775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
148109, 147breqtrd 5173 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
149108, 148pm2.61dan 813 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
15076, 149pm2.61dan 813 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
1514, 58, 69, 150dvdsmultr1d 16330 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ (if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
15244zcnd 12720 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℂ)
153 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 → (𝐶𝑗) = (𝐶𝐽))
154153breq2d 5159 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐽 → (𝑃 < (𝐶𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐶𝐽)))
155154adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝑃 < (𝐶𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐶𝐽)))
156153oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐽 → (𝑃 − (𝐶𝑗)) = (𝑃 − (𝐶𝐽)))
157156fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 → (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))))
158157oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
159158adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
160 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝐽))
161160, 48sylan9eqr 2796 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝐽𝑗) = 0)
162156adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) = (𝑃 − (𝐶𝐽)))
163161, 162oveq12d 7448 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))) = (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))
164159, 163oveq12d 7448 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
165155, 164ifbieq2d 4556 . . . . 5 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
16631, 152, 27, 165fprodsplit1 45548 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = (if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
167151, 166breqtrrd 5175 . . 3 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))
168 dvdsmultr2 16331 . . 3 (((!‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ) → ((!‘𝑃) ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) → (!‘𝑃) ∥ ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
16946, 167, 168sylc 65 . 2 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
170 etransclem25.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
171170faccld 14319 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
172171nncnd 12279 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
17311ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ (0...𝑁))
17413, 173sselid 3992 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ ℕ0)
175174faccld 14319 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℕ)
176175nncnd 12279 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
17710, 176fprodcl 15984 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
178175nnne0d 12313 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
17910, 176, 178fprodn0 16011 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
180172, 177, 179divcld 12040 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℂ)
18129zcnd 12720 . . . 4 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℂ)
18231, 152fprodcl 15984 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℂ)
183180, 181, 182mulassd 11281 . . 3 (𝜑 → ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
184 etransclem25.t . . 3 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
185183, 184eqtr4di 2792 . 2 (𝜑 → ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = 𝑇)
186169, 185breqtrd 5173 1 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  cdif 3959  wss 3962  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5147  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  ...cfz 13543  cexp 14098  !cfa 14308  Σcsu 15718  cprod 15935  cdvds 16286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-prod 15936  df-dvds 16287
This theorem is referenced by:  etransclem28  46217  etransclem38  46227
  Copyright terms: Public domain W3C validator