Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem25 46274
Description: 𝑃 factorial divides the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem25.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem25.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem25.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem25.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem25.sumc (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗) = 𝑁)
etransclem25.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
etransclem25.j (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
etransclem25 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑗   𝑗,𝐽   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem25
StepHypRef Expression
1 etransclem25.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
21nnnn0d 12587 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
32faccld 14323 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℕ)
43nnzd 12640 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℤ)
5 etransclem25.sumc . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗) = 𝑁)
65eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗))
76fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)))
87oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))))
9 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑗𝐶
10 fzfid 14014 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
11 etransclem25.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
12 nn0ex 12532 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
13 fzssnn0 45329 . . . . . . . . . . 11 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
14 mapss 8929 . . . . . . . . . . 11 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
1512, 13, 14mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀))
16 ovex 7464 . . . . . . . . . . . 12 (0...𝑁) ∈ V
17 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → (0...𝑀) ∈ V)
18 elmapg 8879 . . . . . . . . . . . 12 (((0...𝑁) ∈ V ∧ (0...𝑀) ∈ V) → (𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁)))
1916, 17, 18sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → (𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁)))
2019ibir 268 . . . . . . . . . 10 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → 𝐶 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
2115, 20sselid 3981 . . . . . . . . 9 (𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁) → 𝐶 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
2211, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
239, 10, 22mccl 45613 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐶𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℕ)
248, 23eqeltrd 2841 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℕ)
2524nnzd 12640 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℤ)
26 etransclem25.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
27 etransclem25.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑀))
2827elfzelzd 13565 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
291, 26, 11, 28etransclem10 46259 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)
3025, 29zmulcld 12728 . . . 4 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ)
31 fzfid 14014 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
321adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3311adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
34 0z 12624 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
35 fzp1ss 13615 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
37 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
38 1e0p1 12775 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
3938oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
4037, 39eleqtrdi 2851 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
4136, 40sselid 3981 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4241adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4328adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
4432, 33, 42, 43etransclem3 46252 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
4531, 44fprodzcl 15990 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
464, 30, 453jca 1129 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ))
4728zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
4847subidd 11608 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽𝐽) = 0)
4948eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 = (𝐽𝐽))
5049oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))
5150oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
5251ifeq2d 4546 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
53 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
5453, 39eleqtrdi 2851 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
5536, 54sselid 3981 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (1...𝑀) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5627, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
571, 11, 56, 28etransclem3 46252 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐽𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)
5852, 57eqeltrd 2841 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)
59 fzfi 14013 . . . . . . 7 (1...𝑀) ∈ Fin
60 diffi 9215 . . . . . . 7 ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) ∈ Fin)
6159, 60mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) ∈ Fin)
621adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝑃 ∈ ℕ)
6311adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
64 eldifi 4131 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
6564, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽}) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
6665adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
6728adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → 𝐽 ∈ ℤ)
6862, 63, 66, 67etransclem3 46252 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
6961, 68fprodzcl 15990 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
70 dvds0 16309 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑃) ∈ ℤ → (!‘𝑃) ∥ 0)
714, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 0)
7271adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ 0)
73 iftrue 4531 . . . . . . . . 9 (𝑃 < (𝐶𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = 0)
7473eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝑃 < (𝐶𝐽) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
7574adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
7672, 75breqtrd 5169 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
77 iddvds 16307 . . . . . . . . . 10 ((!‘𝑃) ∈ ℤ → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
784, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
7978ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ (!‘𝑃))
80 iffalse 4534 . . . . . . . . . 10 𝑃 < (𝐶𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
8180ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
82 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 = (𝐶𝐽) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)))
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)))
8411, 56ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ (0...𝑁))
8584elfzelzd 13565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℤ)
8685zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
8887subidd 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((𝐶𝐽) − (𝐶𝐽)) = 0)
8983, 88eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) = 0)
9089fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) = (!‘0))
91 fac0 14315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (!‘0) = 1
9290, 91eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 1)
9392oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = ((!‘𝑃) / 1))
943nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℂ)
9594div1d 12035 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((!‘𝑃) / 1) = (!‘𝑃))
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / 1) = (!‘𝑃))
9793, 96eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
9889oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = (0↑0))
99 0cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → 0 ∈ ℂ)
10099exp0d 14180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑0) = 1)
10198, 100eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 1)
10297, 101oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = ((!‘𝑃) · 1))
10394mulridd 11278 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘𝑃) · 1) = (!‘𝑃))
104103adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) · 1) = (!‘𝑃))
105102, 104eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
106105adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (!‘𝑃))
10781, 106eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
10879, 107breqtrd 5169 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
10971ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ 0)
110 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽))
111110adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽))
112111iffalsed 4536 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
113 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝜑)
11485zred 12722 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
115114ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
1161nnred 12281 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
117116ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
118114adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
119116adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
120118, 119, 110nltled 11411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ≤ 𝑃)
121120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ≤ 𝑃)
122 neqne 2948 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝐶𝐽) → 𝑃 ≠ (𝐶𝐽))
123122adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 𝑃 ≠ (𝐶𝐽))
124115, 117, 121, 123leneltd 11415 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) < 𝑃)
1251nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
126125adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
12785adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) ∈ ℤ)
128126, 127zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ)
129 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) < 𝑃)
130114adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
131116adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ)
132130, 131posdifd 11850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → ((𝐶𝐽) < 𝑃 ↔ 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽))))
133129, 132mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽)))
134 elnnz 12623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃 − (𝐶𝐽))))
135128, 133, 134sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ)
1361350expd 14179 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) = 0)
137136oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · 0))
13894adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘𝑃) ∈ ℂ)
139135nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ0)
140139faccld 14323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℕ)
141140nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℂ)
142140nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))) ≠ 0)
143138, 141, 142divcld 12043 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℂ)
144143mul01d 11460 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · 0) = 0)
145137, 144eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐽) < 𝑃) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = 0)
146113, 124, 145syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) = 0)
147112, 146eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → 0 = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
148109, 147breqtrd 5169 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) ∧ ¬ 𝑃 = (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
149108, 148pm2.61dan 813 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
15076, 149pm2.61dan 813 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
1514, 58, 69, 150dvdsmultr1d 16334 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ (if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
15244zcnd 12723 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℂ)
153 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 → (𝐶𝑗) = (𝐶𝐽))
154153breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐽 → (𝑃 < (𝐶𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐶𝐽)))
155154adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝑃 < (𝐶𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐶𝐽)))
156153oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐽 → (𝑃 − (𝐶𝑗)) = (𝑃 − (𝐶𝐽)))
157156fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 → (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽))))
158157oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐽 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
159158adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
160 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐽 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝐽))
161160, 48sylan9eqr 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝐽𝑗) = 0)
162156adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) = (𝑃 − (𝐶𝐽)))
163161, 162oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))) = (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))
164159, 163oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))))
165155, 164ifbieq2d 4552 . . . . 5 ((𝜑𝑗 = 𝐽) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))))
16631, 152, 27, 165fprodsplit1 45608 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = (if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · (0↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝐽})if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
167151, 166breqtrrd 5171 . . 3 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))
168 dvdsmultr2 16335 . . 3 (((!‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ) → ((!‘𝑃) ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) → (!‘𝑃) ∥ ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
16946, 167, 168sylc 65 . 2 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
170 etransclem25.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
171170faccld 14323 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
172171nncnd 12282 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
17311ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ (0...𝑁))
17413, 173sselid 3981 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ ℕ0)
175174faccld 14323 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℕ)
176175nncnd 12282 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
17710, 176fprodcl 15988 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
178175nnne0d 12316 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
17910, 176, 178fprodn0 16015 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
180172, 177, 179divcld 12043 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℂ)
18129zcnd 12723 . . . 4 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℂ)
18231, 152fprodcl 15988 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℂ)
183180, 181, 182mulassd 11284 . . 3 (𝜑 → ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
184 etransclem25.t . . 3 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
185183, 184eqtr4di 2795 . 2 (𝜑 → ((((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = 𝑇)
186169, 185breqtrd 5169 1 (𝜑 → (!‘𝑃) ∥ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  cexp 14102  !cfa 14312  Σcsu 15722  cprod 15939  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-prod 15940  df-dvds 16291
This theorem is referenced by:  etransclem28  46277  etransclem38  46287
  Copyright terms: Public domain W3C validator