MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrlb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dgrlb 25749
Description: If all the coefficients above 𝑀 are zero, then the degree of 𝐹 is at most 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
dgrub.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
dgrlb ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
Proof of Theorem dgrlb
Dummy variables 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrub.2 . . . . 5 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
2 dgrcl 25746 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
31, 2eqeltrid 2837 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
433ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
54nn0red 12532 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
6 simp2 1137 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
76nn0red 12532 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8 dgrub.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
98dgrlem 25742 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ ≀ 𝑛))
109simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
11103ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
12 ffn 6717 . . . . . . . . . 10 (𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) β†’ 𝐴 Fn β„•0)
13 elpreima 7059 . . . . . . . . . 10 (𝐴 Fn β„•0 β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↔ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))))
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↔ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))))
1514biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0})))
1615simpld 495 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
1716nn0red 12532 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
187adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
19 eldifsni 4793 . . . . . . . 8 ((π΄β€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (π΄β€˜π‘¦) β‰  0)
2015, 19simpl2im 504 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (π΄β€˜π‘¦) β‰  0)
21 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
228coef3 25745 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
23223ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
24 plyco0 25705 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘¦) β‰  0 β†’ 𝑦 ≀ 𝑀)))
256, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘¦) β‰  0 β†’ 𝑦 ≀ 𝑀)))
2621, 25mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘¦) β‰  0 β†’ 𝑦 ≀ 𝑀))
2726r19.21bi 3248 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘¦) β‰  0 β†’ 𝑦 ≀ 𝑀))
2816, 27syldan 591 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ ((π΄β€˜π‘¦) β‰  0 β†’ 𝑦 ≀ 𝑀))
2920, 28mpd 15 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝑦 ≀ 𝑀)
3017, 18, 29lensymd 11364 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ Β¬ 𝑀 < 𝑦)
3130ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) Β¬ 𝑀 < 𝑦)
32 nn0ssre 12475 . . . . . . 7 β„•0 βŠ† ℝ
33 ltso 11293 . . . . . . 7 < Or ℝ
34 soss 5608 . . . . . . 7 (β„•0 βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or β„•0))
3532, 33, 34mp2 9 . . . . . 6 < Or β„•0
3635a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ < Or β„•0)
37 0zd 12569 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 0 ∈ β„€)
38 cnvimass 6080 . . . . . . . 8 (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† dom 𝐴
3938, 10fssdm 6737 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† β„•0)
409simprd 496 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ ≀ 𝑛)
41 nn0uz 12863 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
4241uzsupss 12923 . . . . . . 7 ((0 ∈ β„€ ∧ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† β„•0 ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ ≀ 𝑛) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) Β¬ 𝑛 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (π‘₯ < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ < 𝑦)))
4337, 39, 40, 42syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) Β¬ 𝑛 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (π‘₯ < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ < 𝑦)))
44433ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) Β¬ 𝑛 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (π‘₯ < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ < 𝑦)))
4536, 44supnub 9456 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) Β¬ 𝑀 < 𝑦) β†’ Β¬ 𝑀 < sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < )))
466, 31, 45mp2and 697 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ Β¬ 𝑀 < sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
478dgrval 25741 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
481, 47eqtrid 2784 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
49483ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑁 = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
5049breq2d 5160 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 < sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < )))
5146, 50mtbird 324 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ Β¬ 𝑀 < 𝑁)
525, 7, 51nltled 11363 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   Or wor 5587  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  Polycply 25697  coeffccoe 25699  degcdgr 25700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-0p 25186  df-ply 25701  df-coe 25703  df-dgr 25704
This theorem is referenced by:  coeidlem  25750  dgrle  25756  dgreq0  25778
  Copyright terms: Public domain W3C validator