MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrlb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dgrlb 25750
Description: If all the coefficients above 𝑀 are zero, then the degree of 𝐹 is at most 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
dgrub.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
dgrlb ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
Proof of Theorem dgrlb
Dummy variables 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrub.2 . . . . 5 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
2 dgrcl 25747 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
31, 2eqeltrid 2838 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
433ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
54nn0red 12533 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
6 simp2 1138 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
76nn0red 12533 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8 dgrub.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
98dgrlem 25743 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ ≀ 𝑛))
109simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
11103ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
12 ffn 6718 . . . . . . . . . 10 (𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) β†’ 𝐴 Fn β„•0)
13 elpreima 7060 . . . . . . . . . 10 (𝐴 Fn β„•0 β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↔ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))))
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↔ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))))
1514biimpa 478 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0})))
1615simpld 496 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
1716nn0red 12533 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
187adantr 482 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
19 eldifsni 4794 . . . . . . . 8 ((π΄β€˜π‘¦) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (π΄β€˜π‘¦) β‰  0)
2015, 19simpl2im 505 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (π΄β€˜π‘¦) β‰  0)
21 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
228coef3 25746 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
23223ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
24 plyco0 25706 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘¦) β‰  0 β†’ 𝑦 ≀ 𝑀)))
256, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘¦) β‰  0 β†’ 𝑦 ≀ 𝑀)))
2621, 25mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘¦) β‰  0 β†’ 𝑦 ≀ 𝑀))
2726r19.21bi 3249 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘¦) β‰  0 β†’ 𝑦 ≀ 𝑀))
2816, 27syldan 592 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ ((π΄β€˜π‘¦) β‰  0 β†’ 𝑦 ≀ 𝑀))
2920, 28mpd 15 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝑦 ≀ 𝑀)
3017, 18, 29lensymd 11365 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ Β¬ 𝑀 < 𝑦)
3130ralrimiva 3147 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) Β¬ 𝑀 < 𝑦)
32 nn0ssre 12476 . . . . . . 7 β„•0 βŠ† ℝ
33 ltso 11294 . . . . . . 7 < Or ℝ
34 soss 5609 . . . . . . 7 (β„•0 βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or β„•0))
3532, 33, 34mp2 9 . . . . . 6 < Or β„•0
3635a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ < Or β„•0)
37 0zd 12570 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 0 ∈ β„€)
38 cnvimass 6081 . . . . . . . 8 (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† dom 𝐴
3938, 10fssdm 6738 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† β„•0)
409simprd 497 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ ≀ 𝑛)
41 nn0uz 12864 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
4241uzsupss 12924 . . . . . . 7 ((0 ∈ β„€ ∧ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† β„•0 ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ ≀ 𝑛) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) Β¬ 𝑛 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (π‘₯ < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ < 𝑦)))
4337, 39, 40, 42syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) Β¬ 𝑛 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (π‘₯ < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ < 𝑦)))
44433ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) Β¬ 𝑛 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (π‘₯ < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ < 𝑦)))
4536, 44supnub 9457 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) Β¬ 𝑀 < 𝑦) β†’ Β¬ 𝑀 < sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < )))
466, 31, 45mp2and 698 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ Β¬ 𝑀 < sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
478dgrval 25742 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
481, 47eqtrid 2785 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
49483ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑁 = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
5049breq2d 5161 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 < sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < )))
5146, 50mtbird 325 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ Β¬ 𝑀 < 𝑁)
525, 7, 51nltled 11364 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0}) β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   Or wor 5588  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  coeidlem  25751  dgrle  25757  dgreq0  25779
  Copyright terms: Public domain W3C validator