Theorem dgrub 26558

Description: If the 𝑀-th coefficient of 𝐹 is nonzero, then the degree of 𝐹 is at least 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgrub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem dgrub

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 12671	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
3		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		dgrub.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
5		dgrcl 26557	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
6	4, 5	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	3, 6	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12671	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		dgrub.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
10	9	dgrval 26552	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
11	4, 10	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
12	3, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑁 = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
13	9	coef3 26556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
14	3, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
15	14, 1	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝐴‘𝑀) ∈ ℂ)
16		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝐴‘𝑀) ≠ 0)
17		eldifsn 4744	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐴‘𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0))
18	15, 16, 17	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19	9	coef 26554	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
20		ffn 6709	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → 𝐴 Fn ℕ0)
21		elpreima 7057	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
22	3, 19, 20, 21	4syl 20	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
23	1, 18, 22	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})))
24		nn0ssre 12613	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
25		ltso 11393	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
26		soss 5578	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
27	24, 25, 26	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ < Or ℕ0
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → < Or ℕ0)
29		0zd 12708	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℤ)
30		cnvimass 6198	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ dom 𝐴
31	30, 19	fssdm 6729	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0)
32	9	dgrlem 26553	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛))
33	32	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛)
34		nn0uz 13006	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
35	34	uzsupss 13070	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
36	29, 31, 33, 35	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
37	28, 36	supub 9454	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) → ¬ sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) < 𝑀))
38	3, 23, 37	sylc 66	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → ¬ sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) < 𝑀)
39	12, 38	eqnbrtrd 5122	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
40	2, 8, 39	nltled 11463	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149  {csn 4584   class class class wbr 5102   Or wor 5557  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  supcsup 9435  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203   < clt 11346   ≤ cle 11347  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  Polycply 26507  coeffccoe 26509  degcdgr 26510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-0p 25996  df-ply 26511  df-coe 26513  df-dgr 26514

This theorem is used by:  dgrub2  26559  coeidlem  26561  coeid3  26564  dgreq  26568  coemullem  26574  coemulhi  26578  coemulc  26579  dgreq0  26589  dgrlt  26590  dgradd2  26592  dgrmul  26594  vieta1lem2  26639  aannenlem2  26661