Theorem dgrub 26155

Description: If the 𝑀-th coefficient of 𝐹 is nonzero, then the degree of 𝐹 is at least 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgrub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem dgrub

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 12464	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
3		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		dgrub.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
5		dgrcl 26154	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
6	4, 5	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12464	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		dgrub.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
10	9	dgrval 26149	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
11	4, 10	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
12	3, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑁 = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
13	9	coef3 26153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
14	3, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
15	14, 1	ffvelcdmd 7023	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝐴‘𝑀) ∈ ℂ)
16		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝐴‘𝑀) ≠ 0)
17		eldifsn 4740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐴‘𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0))
18	15, 16, 17	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19	9	coef 26151	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
20		ffn 6656	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → 𝐴 Fn ℕ0)
21		elpreima 6996	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
22	3, 19, 20, 21	4syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
23	1, 18, 22	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})))
24		nn0ssre 12406	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
25		ltso 11214	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
26		soss 5551	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
27	24, 25, 26	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ < Or ℕ0
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → < Or ℕ0)
29		0zd 12501	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℤ)
30		cnvimass 6037	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ dom 𝐴
31	30, 19	fssdm 6675	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0)
32	9	dgrlem 26150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛))
33	32	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛)
34		nn0uz 12795	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
35	34	uzsupss 12859	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
36	29, 31, 33, 35	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
37	28, 36	supub 9368	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) → ¬ sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) < 𝑀))
38	3, 23, 37	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → ¬ sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) < 𝑀)
39	12, 38	eqnbrtrd 5113	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
40	2, 8, 39	nltled 11284	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  {csn 4579   class class class wbr 5095   Or wor 5530  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  supcsup 9349  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  Polycply 26105  coeffccoe 26107  degcdgr 26108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-0p 25587  df-ply 26109  df-coe 26111  df-dgr 26112

This theorem is referenced by:  dgrub2  26156  coeidlem  26158  coeid3  26161  dgreq  26165  coemullem  26171  coemulhi  26175  coemulc  26176  dgreq0  26187  dgrlt  26188  dgradd2  26190  dgrmul  26192  vieta1lem2  26235  aannenlem2  26253