MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dgrub 25972
Description: If the 𝑀-th coefficient of 𝐹 is nonzero, then the degree of 𝐹 is at least 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
dgrub.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
dgrub ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
Proof of Theorem dgrub
Dummy variables 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1137 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
21nn0red 12537 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3 simp1 1136 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
4 dgrub.2 . . . . 5 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
5 dgrcl 25971 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
64, 5eqeltrid 2837 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
73, 6syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
87nn0red 12537 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
9 dgrub.1 . . . . . 6 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
109dgrval 25966 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
114, 10eqtrid 2784 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
123, 11syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ 𝑁 = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
139coef3 25970 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
143, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
1514, 1ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ (π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚)
16 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ (π΄β€˜π‘€) β‰  0)
17 eldifsn 4790 . . . . . 6 ((π΄β€˜π‘€) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚ ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0))
1815, 16, 17sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ (π΄β€˜π‘€) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
199coef 25968 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
20 ffn 6717 . . . . . 6 (𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) β†’ 𝐴 Fn β„•0)
21 elpreima 7059 . . . . . 6 (𝐴 Fn β„•0 β†’ (𝑀 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))))
223, 19, 20, 214syl 19 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ (𝑀 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))))
231, 18, 22mpbir2and 711 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ 𝑀 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})))
24 nn0ssre 12480 . . . . . . 7 β„•0 βŠ† ℝ
25 ltso 11298 . . . . . . 7 < Or ℝ
26 soss 5608 . . . . . . 7 (β„•0 βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or β„•0))
2724, 25, 26mp2 9 . . . . . 6 < Or β„•0
2827a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ < Or β„•0)
29 0zd 12574 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 0 ∈ β„€)
30 cnvimass 6080 . . . . . . 7 (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† dom 𝐴
3130, 19fssdm 6737 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† β„•0)
329dgrlem 25967 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ ≀ 𝑛))
3332simprd 496 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ ≀ 𝑛)
34 nn0uz 12868 . . . . . . 7 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
3534uzsupss 12928 . . . . . 6 ((0 ∈ β„€ ∧ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† β„•0 ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ ≀ 𝑛) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) Β¬ 𝑛 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (π‘₯ < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ < 𝑦)))
3629, 31, 33, 35syl3anc 1371 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) Β¬ 𝑛 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (π‘₯ < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ < 𝑦)))
3728, 36supub 9456 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝑀 ∈ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ Β¬ sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ) < 𝑀))
383, 23, 37sylc 65 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ Β¬ sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ) < 𝑀)
3912, 38eqnbrtrd 5166 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ Β¬ 𝑁 < 𝑀)
402, 8, 39nltled 11368 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   Or wor 5587  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  Polycply 25922  coeffccoe 25924  degcdgr 25925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25411  df-ply 25926  df-coe 25928  df-dgr 25929
This theorem is referenced by:  dgrub2  25973  coeidlem  25975  coeid3  25978  dgreq  25982  coemullem  25988  coemulhi  25992  coemulc  25993  dgreq0  26003  dgrlt  26004  dgradd2  26006  dgrmul  26008  vieta1lem2  26048  aannenlem2  26066
  Copyright terms: Public domain W3C validator