Theorem dgrub 26274

Description: If the 𝑀-th coefficient of 𝐹 is nonzero, then the degree of 𝐹 is at least 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgrub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem dgrub

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 12540	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
3		simp1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		dgrub.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
5		dgrcl 26273	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
6	4, 5	eqeltrid 2865	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12540	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		dgrub.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
10	9	dgrval 26268	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
11	4, 10	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
12	3, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑁 = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
13	9	coef3 26272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
14	3, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
15	14, 1	ffvelcdmd 7062	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝐴‘𝑀) ∈ ℂ)
16		simp3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝐴‘𝑀) ≠ 0)
17		eldifsn 4745	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐴‘𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0))
18	15, 16, 17	sylanbrc 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19	9	coef 26270	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
20		ffn 6687	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → 𝐴 Fn ℕ0)
21		elpreima 7035	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
22	3, 19, 20, 21	4syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
23	1, 18, 22	mpbir2and 723	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})))
24		nn0ssre 12482	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
25		ltso 11260	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
26		soss 5573	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
27	24, 25, 26	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ < Or ℕ0
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → < Or ℕ0)
29		0zd 12577	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℤ)
30		cnvimass 6068	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ dom 𝐴
31	30, 19	fssdm 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0)
32	9	dgrlem 26269	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛))
33	32	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛)
34		nn0uz 12874	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
35	34	uzsupss 12938	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
36	29, 31, 33, 35	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
37	28, 36	supub 9402	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) → ¬ sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) < 𝑀))
38	3, 23, 37	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → ¬ sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) < 𝑀)
39	12, 38	eqnbrtrd 5117	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
40	2, 8, 39	nltled 11330	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  {csn 4581   class class class wbr 5099   Or wor 5552  ^◡ccnv 5644   “ cima 5648   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  supcsup 9383  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070   < clt 11213   ≤ cle 11214  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  Polycply 26224  coeffccoe 26226  degcdgr 26227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-0p 25712  df-ply 26228  df-coe 26230  df-dgr 26231

This theorem is referenced by:  dgrub2  26275  coeidlem  26277  coeid3  26280  dgreq  26284  coemullem  26290  coemulhi  26294  coemulc  26295  dgreq0  26305  dgrlt  26306  dgradd2  26308  dgrmul  26310  vieta1lem2  26352  aannenlem2  26370