Theorem dgrub 26467

Description: If the 𝑀-th coefficient of 𝐹 is nonzero, then the degree of 𝐹 is at least 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgrub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem dgrub

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 12594	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
3		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		dgrub.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
5		dgrcl 26466	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
6	4, 5	eqeltrid 2866	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	3, 6	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12594	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		dgrub.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
10	9	dgrval 26461	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
11	4, 10	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
12	3, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑁 = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
13	9	coef3 26465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
14	3, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
15	14, 1	ffvelcdmd 7082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝐴‘𝑀) ∈ ℂ)
16		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝐴‘𝑀) ≠ 0)
17		eldifsn 4751	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐴‘𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0))
18	15, 16, 17	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19	9	coef 26463	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
20		ffn 6706	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → 𝐴 Fn ℕ0)
21		elpreima 7054	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
22	3, 19, 20, 21	4syl 20	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → (𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
23	1, 18, 22	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})))
24		nn0ssre 12536	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
25		ltso 11318	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
26		soss 5587	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
27	24, 25, 26	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ < Or ℕ0
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → < Or ℕ0)
29		0zd 12631	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℤ)
30		cnvimass 6082	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ dom 𝐴
31	30, 19	fssdm 6726	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0)
32	9	dgrlem 26462	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛))
33	32	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛)
34		nn0uz 12929	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
35	34	uzsupss 12993	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
36	29, 31, 33, 35	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
37	28, 36	supub 9433	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑀 ∈ (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) → ¬ sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) < 𝑀))
38	3, 23, 37	sylc 66	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → ¬ sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) < 𝑀)
39	12, 38	eqnbrtrd 5127	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
40	2, 8, 39	nltled 11388	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4587   class class class wbr 5107   Or wor 5566  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  supcsup 9414  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128   < clt 11271   ≤ cle 11272  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  Polycply 26416  coeffccoe 26418  degcdgr 26419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-0p 25904  df-ply 26420  df-coe 26422  df-dgr 26423

This theorem is used by:  dgrub2  26468  coeidlem  26470  coeid3  26473  dgreq  26477  coemullem  26483  coemulhi  26487  coemulc  26488  dgreq0  26498  dgrlt  26499  dgradd2  26501  dgrmul  26503  vieta1lem2  26550  aannenlem2  26572