Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem12 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem12 45135
Description: A point of a partition is not an element of any open interval determined by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem12.1 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem12.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem12.3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem12.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑄)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š,𝑝   𝐡,π‘š,𝑝   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐡(𝑖)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑄(π‘š)   𝑋(𝑖,π‘š,𝑝)
Proof of Theorem fourierdlem12
Dummy variables 𝑗 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem12.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑄)
2 fourierdlem12.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
3 fourierdlem12.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4 fourierdlem12.1 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
54fourierdlem2 45125 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
63, 5syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
72, 6mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
87simpld 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
9 elmapi 8846 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
10 ffn 6718 . . . . . 6 (𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„ β†’ 𝑄 Fn (0...𝑀))
118, 9, 103syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 Fn (0...𝑀))
12 fvelrnb 6953 . . . . 5 (𝑄 Fn (0...𝑀) β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘—) = 𝑋))
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘—) = 𝑋))
141, 13mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘—) = 𝑋)
1514adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘—) = 𝑋)
168, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
18 fzofzp1 13734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
2017, 19ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
22213ad2antl1 1184 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
23 frn 6725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„ β†’ ran 𝑄 βŠ† ℝ)
2416, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran 𝑄 βŠ† ℝ)
2524, 1sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2625ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
27263ad2antl1 1184 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2817ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ∈ ℝ)
29283adant3 1131 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ∈ ℝ)
31 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑖 < 𝑗)
32 elfzoelz 13637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
3332ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
34 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
3534ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
36 zltp1le 12617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝑖 + 1) ≀ 𝑗))
3733, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝑖 + 1) ≀ 𝑗))
3831, 37mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (𝑖 + 1) ≀ 𝑗)
3933peano2zd 12674 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (𝑖 + 1) ∈ β„€)
40 eluz 12841 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ≀ 𝑗))
4139, 35, 40syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ≀ 𝑗))
4238, 41mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1)))
4342adantlll 715 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1)))
4417ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
45 0zd 12575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 0 ∈ β„€)
46 elfzel2 13504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4746ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
48 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
50 0red 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 0 ∈ ℝ)
5148zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
5332peano2zd 12674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ β„€)
5453zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
5632zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
58 elfzole1 13645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 0 ≀ 𝑖)
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 0 ≀ 𝑖)
6057ltp1d 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑖 < (𝑖 + 1))
6150, 57, 55, 59, 60lelttrd 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 0 < (𝑖 + 1))
62 elfzle1 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗) β†’ (𝑖 + 1) ≀ 𝑀)
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ (𝑖 + 1) ≀ 𝑀)
6450, 55, 52, 61, 63ltletrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 0 < 𝑀)
6550, 52, 64ltled 11367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 0 ≀ 𝑀)
6665adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 0 ≀ 𝑀)
6751adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
6834zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
7046zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
72 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗) β†’ 𝑀 ≀ 𝑗)
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑀 ≀ 𝑗)
74 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
7667, 69, 71, 73, 75letrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑀 ≀ 𝑀)
7776adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑀 ≀ 𝑀)
7845, 47, 49, 66, 77elfzd 13497 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
7978adantlll 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
8044, 79ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
8180adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...𝑗)) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
82 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ πœ‘)
83 0red 11222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 0 ∈ ℝ)
84 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8584zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8685adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
87 0red 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 0 ∈ ℝ)
8854adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
8985adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
90 0red 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 0 ∈ ℝ)
9156ltp1d 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 < (𝑖 + 1))
9290, 56, 54, 58, 91lelttrd 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 0 < (𝑖 + 1))
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 0 < (𝑖 + 1))
94 elfzle1 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 + 1) ≀ 𝑀)
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ≀ 𝑀)
9687, 88, 89, 93, 95ltletrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 0 < 𝑀)
9796adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 0 < 𝑀)
9883, 86, 97ltled 11367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ 𝑀)
9998adantlll 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ 𝑀)
10099adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ 𝑀)
10185adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
102 peano2rem 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℝ β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
10368, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
10570adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
106 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝑀 ≀ (𝑗 βˆ’ 1))
107106adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ≀ (𝑗 βˆ’ 1))
108 zlem1lt 12619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑗 ≀ 𝑀 ↔ (𝑗 βˆ’ 1) < 𝑀))
10934, 46, 108syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑗 ≀ 𝑀 ↔ (𝑗 βˆ’ 1) < 𝑀))
11074, 109mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) < 𝑀)
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) < 𝑀)
112101, 104, 105, 107, 111lelttrd 11377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 < 𝑀)
113112adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 < 𝑀)
114113adantlll 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 < 𝑀)
11584adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
116 0zd 12575 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 0 ∈ β„€)
11746ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
118 elfzo 13639 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑀)))
119115, 116, 117, 118syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ (𝑀 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑀)))
120100, 114, 119mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ (0..^𝑀))
12116adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
122 elfzofz 13653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
123122adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
124121, 123ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
125 fzofzp1 13734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑀 + 1) ∈ (0...𝑀))
126125adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ (0...𝑀))
127121, 126ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
128 eleq1w 2815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑀 β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (0..^𝑀)))
129128anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑀 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (0..^𝑀))))
130 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑀 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘€))
131 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑀 β†’ (𝑖 + 1) = (𝑀 + 1))
132131fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑀 β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜(𝑀 + 1)))
133130, 132breq12d 5162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑀 β†’ ((π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (π‘„β€˜π‘€) < (π‘„β€˜(𝑀 + 1))))
134129, 133imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑀 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘€) < (π‘„β€˜(𝑀 + 1)))))
1357simprrd 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
136135r19.21bi 3247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
137134, 136chvarvv 2001 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘€) < (π‘„β€˜(𝑀 + 1)))
138124, 127, 137ltled 11367 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ≀ (π‘„β€˜(𝑀 + 1)))
13982, 120, 138syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) ∧ 𝑀 ∈ ((𝑖 + 1)...(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ≀ (π‘„β€˜(𝑀 + 1)))
14043, 81, 139monoord 14003 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘„β€˜π‘—))
1411403adantl3 1167 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘„β€˜π‘—))
14216ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ∈ ℝ)
1431423adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ∈ ℝ)
144 simp3 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋)
145143, 144eqled 11322 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ≀ 𝑋)
1461453adant1r 1176 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ≀ 𝑋)
147146adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ≀ 𝑋)
14822, 30, 27, 141, 147letrd 11376 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋)
14922, 27, 148lensymd 11370 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ Β¬ 𝑋 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
150149intnand 488 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ 𝑖 < 𝑗) β†’ Β¬ ((π‘„β€˜π‘–) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
15168ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
15256ad3antlr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
153 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ Β¬ 𝑖 < 𝑗)
154151, 152, 153nltled 11369 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 ≀ 𝑖)
1551543adantl3 1167 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ 𝑗 ≀ 𝑖)
156 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘„β€˜π‘—) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (π‘„β€˜π‘—))
157156biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘„β€˜π‘—) = 𝑋 β†’ 𝑋 = (π‘„β€˜π‘—))
158157adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((π‘„β€˜π‘—) = 𝑋 ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) β†’ 𝑋 = (π‘„β€˜π‘—))
1591583ad2antl3 1186 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) β†’ 𝑋 = (π‘„β€˜π‘—))
16034ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
16132ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
162 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) β†’ 𝑗 ≀ 𝑖)
163 eluz2 12833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↔ (𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝑖 ∈ β„€ ∧ 𝑗 ≀ 𝑖))
164160, 161, 162, 163syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
165164adantlll 715 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
16617ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
167 0zd 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 0 ∈ β„€)
16846ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
169 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ (𝑗...𝑖) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
170169adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
171167, 168, 1703jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ (0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€))
172 0red 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 0 ∈ ℝ)
17368adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
174169zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (𝑗...𝑖) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
175174adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
176 elfzle1 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 0 ≀ 𝑗)
177176adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 0 ≀ 𝑗)
178 elfzle1 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (𝑗...𝑖) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
179178adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
180172, 173, 175, 177, 179letrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 0 ≀ 𝑀)
181180adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 0 ≀ 𝑀)
182174adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
183 elfzoel2 13636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
184183zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
185184adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
18656adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
187 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (𝑗...𝑖) β†’ 𝑀 ≀ 𝑖)
188187adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑀 ≀ 𝑖)
189 elfzolt2 13646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 < 𝑀)
190189adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑖 < 𝑀)
191182, 186, 185, 188, 190lelttrd 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑀 < 𝑀)
192182, 185, 191ltled 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑀 ≀ 𝑀)
193192adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑀 ≀ 𝑀)
194171, 181, 193jca32 515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ ((0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ 𝑀)))
195194adantlll 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ ((0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ 𝑀)))
196 elfz2 13496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ 𝑀)))
197195, 196sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
198166, 197ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
199198adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...𝑖)) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
200 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ πœ‘)
201 0red 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 0 ∈ ℝ)
20268ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
203 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
204203zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
205204adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
206176ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ 𝑗)
207 elfzle1 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1)) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
208207adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
209201, 202, 205, 206, 208letrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ 𝑀)
210204adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
21156adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
212184adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
213 peano2rem 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ ℝ β†’ (𝑖 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
214211, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
215 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1)) β†’ 𝑀 ≀ (𝑖 βˆ’ 1))
216215adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ≀ (𝑖 βˆ’ 1))
217211ltm1d 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 βˆ’ 1) < 𝑖)
218210, 214, 211, 216, 217lelttrd 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 < 𝑖)
219189adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 < 𝑀)
220210, 211, 212, 218, 219lttrd 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 < 𝑀)
221220adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 < 𝑀)
222203adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
223 0zd 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 0 ∈ β„€)
224183ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
225222, 223, 224, 118syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ (𝑀 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑀)))
226209, 221, 225mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ (0..^𝑀))
227226adantlll 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ (0..^𝑀))
228200, 227, 138syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ≀ (π‘„β€˜(𝑀 + 1)))
229228adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) ∧ 𝑀 ∈ (𝑗...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘€) ≀ (π‘„β€˜(𝑀 + 1)))
230165, 199, 229monoord 14003 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
2312303adantl3 1167 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) β†’ (π‘„β€˜π‘—) ≀ (π‘„β€˜π‘–))
232159, 231eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) β†’ 𝑋 ≀ (π‘„β€˜π‘–))
23325adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
234 elfzofz 13653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
235234adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
23617, 235ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
237233, 236lenltd 11365 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 ≀ (π‘„β€˜π‘–) ↔ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑋))
238237adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) β†’ (𝑋 ≀ (π‘„β€˜π‘–) ↔ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑋))
2392383ad2antl1 1184 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) β†’ (𝑋 ≀ (π‘„β€˜π‘–) ↔ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑋))
240232, 239mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ 𝑗 ≀ 𝑖) β†’ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑋)
241155, 240syldan 590 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑋)
242241intnanrd 489 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) ∧ Β¬ 𝑖 < 𝑗) β†’ Β¬ ((π‘„β€˜π‘–) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
243150, 242pm2.61dan 810 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) β†’ Β¬ ((π‘„β€˜π‘–) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
244243intnand 488 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) β†’ Β¬ (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘„β€˜π‘–) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
245 elioo3g 13358 . . . 4 (𝑋 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘„β€˜π‘–) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
246244, 245sylnibr 328 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (π‘„β€˜π‘—) = 𝑋) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
247246rexlimdv3a 3158 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘—) = 𝑋 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
24815, 247mpd 15 1 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8823  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  (,)cioo 13329  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-ioo 13333  df-fz 13490  df-fzo 13633
This theorem is referenced by:  fourierdlem38  45161  fourierdlem74  45196  fourierdlem75  45197  fourierdlem88  45210  fourierdlem103  45225  fourierdlem104  45226
  Copyright terms: Public domain W3C validator