Theorem lensymd 11441

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11436	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-cnv 5708  df-xr 11328  df-le 11330

This theorem is referenced by:  lbinf  12248  supaddc  12262  supmul1  12264  zsupss  13002  prodge0rd  13164  infmrp1  13406  fzdisj  13611  uzdisj  13657  fzouzdisj  13752  addmodlteq  13997  seqf1olem1  14092  seqf1olem2  14093  seqcoll  14513  seqcoll2  14514  ccatalpha  14641  rlimcld2  15624  rlimno1  15702  smupvallem  16529  lcmgcdlem  16653  4sqlem11  17002  ramcl2lem  17056  psdmul  22193  recld2  24855  nmoleub2lem3  25167  ivthlem3  25507  ovolicopnf  25578  dvferm1lem  26042  dvferm2lem  26044  dgrlb  26295  dgreq0  26325  aaliou3lem9  26410  radcnvle  26481  abelthlem2  26494  dvlog2lem  26712  lgsval2lem  27369  pntlem3  27671  irredminply  33707  unblimceq0lem  36472  unblimceq0  36473  mblfinlem2  37618  imo72b2  44134  climisp  45667  stoweidlem52  45973  fourierdlem10  46038  fourierdlem12  46040  fourierdlem20  46048  fourierdlem50  46077  fourierdlem54  46081  fourierdlem103  46130  fouriersw  46152  etransclem35  46190  etransc  46204