Theorem lensymd 10793

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 10788	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ℝcr 10538   < clt 10677   ≤ cle 10678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-xp 5563  df-cnv 5565  df-xr 10681  df-le 10683

This theorem is referenced by:  lbinf  11596  supaddc  11610  supmul1  11612  zsupss  12340  prodge0rd  12499  infmrp1  12740  fzdisj  12937  uzdisj  12983  fzouzdisj  13076  addmodlteq  13317  seqf1olem1  13412  seqf1olem2  13413  seqcoll  13825  seqcoll2  13826  ccatalpha  13949  rlimcld2  14937  rlimno1  15012  smupvallem  15834  lcmgcdlem  15952  4sqlem11  16293  ramcl2lem  16347  recld2  23424  nmoleub2lem3  23721  ivthlem3  24056  ovolicopnf  24127  dvferm1lem  24583  dvferm2lem  24585  dgrlb  24828  dgreq0  24857  aaliou3lem9  24941  radcnvle  25010  abelthlem2  25022  dvlog2lem  25237  lgsval2lem  25885  pntlem3  26187  unblimceq0lem  33847  unblimceq0  33848  mblfinlem2  34932  imo72b2  40532  climisp  42034  stoweidlem52  42344  fourierdlem10  42409  fourierdlem12  42411  fourierdlem20  42419  fourierdlem50  42448  fourierdlem54  42452  fourierdlem103  42501  fouriersw  42523  etransclem35  42561  etransc  42575