Theorem lensymd 11412

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11407	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ℝcr 11154   < clt 11295   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-cnv 5693  df-xr 11299  df-le 11301

This theorem is referenced by:  lbinf  12221  supaddc  12235  supmul1  12237  zsupss  12979  prodge0rd  13142  infmrp1  13386  fzdisj  13591  uzdisj  13637  fzouzdisj  13735  addmodlteq  13987  seqf1olem1  14082  seqf1olem2  14083  seqcoll  14503  seqcoll2  14504  ccatalpha  14631  rlimcld2  15614  rlimno1  15690  smupvallem  16520  lcmgcdlem  16643  4sqlem11  16993  ramcl2lem  17047  psdmul  22170  recld2  24836  nmoleub2lem3  25148  ivthlem3  25488  ovolicopnf  25559  dvferm1lem  26022  dvferm2lem  26024  dgrlb  26275  dgreq0  26305  aaliou3lem9  26392  radcnvle  26463  abelthlem2  26476  dvlog2lem  26694  lgsval2lem  27351  pntlem3  27653  irredminply  33757  unblimceq0lem  36507  unblimceq0  36508  mblfinlem2  37665  imo72b2  44185  climisp  45761  stoweidlem52  46067  fourierdlem10  46132  fourierdlem12  46134  fourierdlem20  46142  fourierdlem50  46171  fourierdlem54  46175  fourierdlem103  46224  fouriersw  46246  etransclem35  46284  etransc  46298