Theorem lensymd 11275

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11270	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ℝcr 11016   < clt 11157   ≤ cle 11158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5627  df-cnv 5629  df-xr 11161  df-le 11163

This theorem is referenced by:  lbinf  12086  supaddc  12100  supmul1  12102  zsupss  12841  prodge0rd  13005  infmrp1  13251  fzdisj  13458  uzdisj  13504  fzouzdisj  13602  addmodlteq  13860  seqf1olem1  13955  seqf1olem2  13956  seqcoll  14378  seqcoll2  14379  ccatalpha  14508  rlimcld2  15492  rlimno1  15568  smupvallem  16401  lcmgcdlem  16524  4sqlem11  16874  ramcl2lem  16928  psdmul  22100  recld2  24750  nmoleub2lem3  25062  ivthlem3  25401  ovolicopnf  25472  dvferm1lem  25935  dvferm2lem  25937  dgrlb  26188  dgreq0  26218  aaliou3lem9  26305  radcnvle  26376  abelthlem2  26389  dvlog2lem  26608  lgsval2lem  27265  pntlem3  27567  irredminply  33801  unblimceq0lem  36622  unblimceq0  36623  mblfinlem2  37771  imo72b2  44329  climisp  45906  stoweidlem52  46212  fourierdlem10  46277  fourierdlem12  46279  fourierdlem20  46287  fourierdlem50  46316  fourierdlem54  46320  fourierdlem103  46369  fouriersw  46391  etransclem35  46429  etransc  46443