Theorem lensymd 11356

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11351	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ℝcr 11094   < clt 11238   ≤ cle 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-cnv 5669  df-xr 11242  df-le 11244

This theorem is referenced by:  lbinf  12163  supaddc  12177  supmul1  12179  zsupss  12956  prodge0rd  13120  infmrp1  13366  fzdisj  13575  uzdisj  13621  fzouzdisj  13720  addmodlteq  13978  seqf1olem1  14073  seqf1olem2  14074  seqcoll  14497  seqcoll2  14498  ccatalpha  14627  rlimcld2  15625  rlimno1  15701  smupvallem  16536  lcmgcdlem  16659  4sqlem11  17010  ramcl2lem  17064  psdmul  22329  recld2  24972  nmoleub2lem3  25274  ivthlem3  25612  ovolicopnf  25683  dvferm1lem  26143  dvferm2lem  26145  dgrlb  26393  dgreq0  26422  aaliou3lem9  26513  radcnvle  26583  abelthlem2  26595  dvlog2lem  26817  lgsval2lem  27471  pntlem3  27773  irredminply  34106  unblimceq0lem  37095  unblimceq0  37096  mblfinlem2  38309  imo72b2  44898  climisp  46460  stoweidlem52  46766  fourierdlem10  46831  fourierdlem12  46833  fourierdlem20  46841  fourierdlem50  46870  fourierdlem54  46874  fourierdlem103  46923  fouriersw  46945  etransclem35  46983  etransc  46997