Theorem lensymd 11357

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11352	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ℝcr 11095   < clt 11239   ≤ cle 11240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-xr 11243  df-le 11245

This theorem is referenced by:  lbinf  12164  supaddc  12178  supmul1  12180  zsupss  12957  prodge0rd  13121  infmrp1  13367  fzdisj  13575  uzdisj  13621  fzouzdisj  13720  addmodlteq  13978  seqf1olem1  14073  seqf1olem2  14074  seqcoll  14497  seqcoll2  14498  ccatalpha  14627  rlimcld2  15625  rlimno1  15701  smupvallem  16537  lcmgcdlem  16660  4sqlem11  17011  ramcl2lem  17065  psdmul  22294  recld2  24937  nmoleub2lem3  25239  ivthlem3  25577  ovolicopnf  25648  dvferm1lem  26108  dvferm2lem  26110  dgrlb  26358  dgreq0  26387  aaliou3lem9  26476  radcnvle  26545  abelthlem2  26557  dvlog2lem  26779  lgsval2lem  27433  pntlem3  27735  irredminply  34047  unblimceq0lem  36980  unblimceq0  36981  mblfinlem2  38192  imo72b2  44785  climisp  46347  stoweidlem52  46653  fourierdlem10  46718  fourierdlem12  46720  fourierdlem20  46728  fourierdlem50  46757  fourierdlem54  46761  fourierdlem103  46810  fouriersw  46832  etransclem35  46870  etransc  46884