Theorem lensymd 11365

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11360	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   < clt 11248   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-xr 11252  df-le 11254

This theorem is referenced by:  lbinf  12167  supaddc  12181  supmul1  12183  zsupss  12921  prodge0rd  13081  infmrp1  13323  fzdisj  13528  uzdisj  13574  fzouzdisj  13668  addmodlteq  13911  seqf1olem1  14007  seqf1olem2  14008  seqcoll  14425  seqcoll2  14426  ccatalpha  14543  rlimcld2  15522  rlimno1  15600  smupvallem  16424  lcmgcdlem  16543  4sqlem11  16888  ramcl2lem  16942  recld2  24330  nmoleub2lem3  24631  ivthlem3  24970  ovolicopnf  25041  dvferm1lem  25501  dvferm2lem  25503  dgrlb  25750  dgreq0  25779  aaliou3lem9  25863  radcnvle  25932  abelthlem2  25944  dvlog2lem  26160  lgsval2lem  26810  pntlem3  27112  unblimceq0lem  35382  unblimceq0  35383  mblfinlem2  36526  imo72b2  42924  climisp  44462  stoweidlem52  44768  fourierdlem10  44833  fourierdlem12  44835  fourierdlem20  44843  fourierdlem50  44872  fourierdlem54  44876  fourierdlem103  44925  fouriersw  44947  etransclem35  44985  etransc  44999