MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lensymd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lensymd 10785
Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
lensymd (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd
StepHypRef Expression
1 lensymd.3 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
42, 3lenltd 10780 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
51, 4mpbid 233 1 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5063  cr 10530   < clt 10669  cle 10670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pr 5326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-br 5064  df-opab 5126  df-xp 5560  df-cnv 5562  df-xr 10673  df-le 10675
This theorem is referenced by:  lbinf  11588  supaddc  11602  supmul1  11604  zsupss  12331  prodge0rd  12491  infmrp1  12732  fzdisj  12929  uzdisj  12975  fzouzdisj  13068  addmodlteq  13309  seqf1olem1  13404  seqf1olem2  13405  seqcoll  13817  seqcoll2  13818  ccatalpha  13942  rlimcld2  14930  rlimno1  15005  smupvallem  15827  lcmgcdlem  15945  4sqlem11  16286  ramcl2lem  16340  recld2  23356  nmoleub2lem3  23653  ivthlem3  23988  ovolicopnf  24059  dvferm1lem  24515  dvferm2lem  24517  dgrlb  24760  dgreq0  24789  aaliou3lem9  24873  radcnvle  24942  abelthlem2  24954  dvlog2lem  25167  lgsval2lem  25816  pntlem3  26118  unblimceq0lem  33748  unblimceq0  33749  mblfinlem2  34816  imo72b2  40410  climisp  41911  stoweidlem52  42222  fourierdlem10  42287  fourierdlem12  42289  fourierdlem20  42297  fourierdlem50  42326  fourierdlem54  42330  fourierdlem103  42379  fouriersw  42401  etransclem35  42439  etransc  42453
  Copyright terms: Public domain W3C validator