Theorem lensymd 11056

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11051	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ℝcr 10801   < clt 10940   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-cnv 5588  df-xr 10944  df-le 10946

This theorem is referenced by:  lbinf  11858  supaddc  11872  supmul1  11874  zsupss  12606  prodge0rd  12766  infmrp1  13007  fzdisj  13212  uzdisj  13258  fzouzdisj  13351  addmodlteq  13594  seqf1olem1  13690  seqf1olem2  13691  seqcoll  14106  seqcoll2  14107  ccatalpha  14226  rlimcld2  15215  rlimno1  15293  smupvallem  16118  lcmgcdlem  16239  4sqlem11  16584  ramcl2lem  16638  recld2  23883  nmoleub2lem3  24184  ivthlem3  24522  ovolicopnf  24593  dvferm1lem  25053  dvferm2lem  25055  dgrlb  25302  dgreq0  25331  aaliou3lem9  25415  radcnvle  25484  abelthlem2  25496  dvlog2lem  25712  lgsval2lem  26360  pntlem3  26662  unblimceq0lem  34613  unblimceq0  34614  mblfinlem2  35742  imo72b2  41672  climisp  43177  stoweidlem52  43483  fourierdlem10  43548  fourierdlem12  43550  fourierdlem20  43558  fourierdlem50  43587  fourierdlem54  43591  fourierdlem103  43640  fouriersw  43662  etransclem35  43700  etransc  43714