Theorem lensymd 11325

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11320	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   < clt 11208   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-cnv 5646  df-xr 11212  df-le 11214

This theorem is referenced by:  lbinf  12136  supaddc  12150  supmul1  12152  zsupss  12896  prodge0rd  13060  infmrp1  13305  fzdisj  13512  uzdisj  13558  fzouzdisj  13656  addmodlteq  13911  seqf1olem1  14006  seqf1olem2  14007  seqcoll  14429  seqcoll2  14430  ccatalpha  14558  rlimcld2  15544  rlimno1  15620  smupvallem  16453  lcmgcdlem  16576  4sqlem11  16926  ramcl2lem  16980  psdmul  22053  recld2  24703  nmoleub2lem3  25015  ivthlem3  25354  ovolicopnf  25425  dvferm1lem  25888  dvferm2lem  25890  dgrlb  26141  dgreq0  26171  aaliou3lem9  26258  radcnvle  26329  abelthlem2  26342  dvlog2lem  26561  lgsval2lem  27218  pntlem3  27520  irredminply  33706  unblimceq0lem  36494  unblimceq0  36495  mblfinlem2  37652  imo72b2  44161  climisp  45744  stoweidlem52  46050  fourierdlem10  46115  fourierdlem12  46117  fourierdlem20  46125  fourierdlem50  46154  fourierdlem54  46158  fourierdlem103  46207  fouriersw  46229  etransclem35  46267  etransc  46281