Theorem lensymd 11286

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11281	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ℝcr 11027   < clt 11168   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5629  df-cnv 5631  df-xr 11172  df-le 11174

This theorem is referenced by:  lbinf  12097  supaddc  12111  supmul1  12113  zsupss  12857  prodge0rd  13021  infmrp1  13266  fzdisj  13473  uzdisj  13519  fzouzdisj  13617  addmodlteq  13872  seqf1olem1  13967  seqf1olem2  13968  seqcoll  14390  seqcoll2  14391  ccatalpha  14519  rlimcld2  15504  rlimno1  15580  smupvallem  16413  lcmgcdlem  16536  4sqlem11  16886  ramcl2lem  16940  psdmul  22070  recld2  24720  nmoleub2lem3  25032  ivthlem3  25371  ovolicopnf  25442  dvferm1lem  25905  dvferm2lem  25907  dgrlb  26158  dgreq0  26188  aaliou3lem9  26275  radcnvle  26346  abelthlem2  26359  dvlog2lem  26578  lgsval2lem  27235  pntlem3  27537  irredminply  33702  unblimceq0lem  36499  unblimceq0  36500  mblfinlem2  37657  imo72b2  44165  climisp  45747  stoweidlem52  46053  fourierdlem10  46118  fourierdlem12  46120  fourierdlem20  46128  fourierdlem50  46157  fourierdlem54  46161  fourierdlem103  46210  fouriersw  46232  etransclem35  46270  etransc  46284