Theorem lensymd 11410

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11405	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ℝcr 11152   < clt 11293   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-cnv 5697  df-xr 11297  df-le 11299

This theorem is referenced by:  lbinf  12219  supaddc  12233  supmul1  12235  zsupss  12977  prodge0rd  13140  infmrp1  13383  fzdisj  13588  uzdisj  13634  fzouzdisj  13732  addmodlteq  13984  seqf1olem1  14079  seqf1olem2  14080  seqcoll  14500  seqcoll2  14501  ccatalpha  14628  rlimcld2  15611  rlimno1  15687  smupvallem  16517  lcmgcdlem  16640  4sqlem11  16989  ramcl2lem  17043  psdmul  22188  recld2  24850  nmoleub2lem3  25162  ivthlem3  25502  ovolicopnf  25573  dvferm1lem  26037  dvferm2lem  26039  dgrlb  26290  dgreq0  26320  aaliou3lem9  26407  radcnvle  26478  abelthlem2  26491  dvlog2lem  26709  lgsval2lem  27366  pntlem3  27668  irredminply  33722  unblimceq0lem  36489  unblimceq0  36490  mblfinlem2  37645  imo72b2  44162  climisp  45702  stoweidlem52  46008  fourierdlem10  46073  fourierdlem12  46075  fourierdlem20  46083  fourierdlem50  46112  fourierdlem54  46116  fourierdlem103  46165  fouriersw  46187  etransclem35  46225  etransc  46239