Theorem lensymd 10780

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 10775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ℝcr 10525   < clt 10664   ≤ cle 10665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-cnv 5527  df-xr 10668  df-le 10670

This theorem is referenced by:  lbinf  11581  supaddc  11595  supmul1  11597  zsupss  12325  prodge0rd  12484  infmrp1  12725  fzdisj  12929  uzdisj  12975  fzouzdisj  13068  addmodlteq  13309  seqf1olem1  13405  seqf1olem2  13406  seqcoll  13818  seqcoll2  13819  ccatalpha  13938  rlimcld2  14927  rlimno1  15002  smupvallem  15822  lcmgcdlem  15940  4sqlem11  16281  ramcl2lem  16335  recld2  23419  nmoleub2lem3  23720  ivthlem3  24057  ovolicopnf  24128  dvferm1lem  24587  dvferm2lem  24589  dgrlb  24833  dgreq0  24862  aaliou3lem9  24946  radcnvle  25015  abelthlem2  25027  dvlog2lem  25243  lgsval2lem  25891  pntlem3  26193  unblimceq0lem  33958  unblimceq0  33959  mblfinlem2  35095  imo72b2  40878  climisp  42388  stoweidlem52  42694  fourierdlem10  42759  fourierdlem12  42761  fourierdlem20  42769  fourierdlem50  42798  fourierdlem54  42802  fourierdlem103  42851  fouriersw  42873  etransclem35  42911  etransc  42925