Theorem lensymd 11297

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   < clt 11179   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-xr 11183  df-le 11185

This theorem is referenced by:  lbinf  12109  supaddc  12123  supmul1  12125  zsupss  12887  prodge0rd  13051  infmrp1  13297  fzdisj  13505  uzdisj  13551  fzouzdisj  13650  addmodlteq  13908  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  seqcoll  14426  seqcoll2  14427  ccatalpha  14556  rlimcld2  15540  rlimno1  15616  smupvallem  16452  lcmgcdlem  16575  4sqlem11  16926  ramcl2lem  16980  psdmul  22132  recld2  24780  nmoleub2lem3  25082  ivthlem3  25420  ovolicopnf  25491  dvferm1lem  25951  dvferm2lem  25953  dgrlb  26201  dgreq0  26230  aaliou3lem9  26316  radcnvle  26385  abelthlem2  26397  dvlog2lem  26616  lgsval2lem  27270  pntlem3  27572  irredminply  33860  unblimceq0lem  36766  unblimceq0  36767  mblfinlem2  37979  imo72b2  44599  climisp  46174  stoweidlem52  46480  fourierdlem10  46545  fourierdlem12  46547  fourierdlem20  46555  fourierdlem50  46584  fourierdlem54  46588  fourierdlem103  46637  fouriersw  46659  etransclem35  46697  etransc  46711