Theorem lensymd 11386

Description: 'Less than or equal to' implies 'not less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lensymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lensymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lensymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lensymd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11381	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ℝcr 11128   < clt 11269   ≤ cle 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660  df-cnv 5662  df-xr 11273  df-le 11275

This theorem is referenced by:  lbinf  12195  supaddc  12209  supmul1  12211  zsupss  12953  prodge0rd  13116  infmrp1  13361  fzdisj  13568  uzdisj  13614  fzouzdisj  13712  addmodlteq  13964  seqf1olem1  14059  seqf1olem2  14060  seqcoll  14482  seqcoll2  14483  ccatalpha  14611  rlimcld2  15594  rlimno1  15670  smupvallem  16502  lcmgcdlem  16625  4sqlem11  16975  ramcl2lem  17029  psdmul  22104  recld2  24754  nmoleub2lem3  25066  ivthlem3  25406  ovolicopnf  25477  dvferm1lem  25940  dvferm2lem  25942  dgrlb  26193  dgreq0  26223  aaliou3lem9  26310  radcnvle  26381  abelthlem2  26394  dvlog2lem  26613  lgsval2lem  27270  pntlem3  27572  irredminply  33750  unblimceq0lem  36524  unblimceq0  36525  mblfinlem2  37682  imo72b2  44196  climisp  45775  stoweidlem52  46081  fourierdlem10  46146  fourierdlem12  46148  fourierdlem20  46156  fourierdlem50  46185  fourierdlem54  46189  fourierdlem103  46238  fouriersw  46260  etransclem35  46298  etransc  46312