Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem3 43343
Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem3.n (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem3.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem3.j (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem3.4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
etransclem3 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem3
StepHypRef Expression
1 0zd 12077 . 2 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
2 0zd 12077 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
3 etransclem3.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
43nnzd 12170 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
54adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℤ)
6 etransclem3.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
7 etransclem3.j . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
86, 7ffvelrnd 6865 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ (0...𝑁))
98elfzelzd 13002 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℤ)
104, 9zsubcld 12176 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ)
1110adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ)
129zred 12171 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
1312adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
145zred 12171 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
15 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽))
1613, 14, 15nltled 10871 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ≤ 𝑃)
1714, 13subge0d 11311 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ↔ (𝐶𝐽) ≤ 𝑃))
1816, 17mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝐽)))
19 elfzle1 13004 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐽) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶𝐽))
208, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝐶𝐽))
213nnred 11734 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2221, 12subge02d 11313 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝐶𝐽) ↔ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ≤ 𝑃))
2320, 22mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ≤ 𝑃)
2423adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ≤ 𝑃)
252, 5, 11, 18, 24elfzd 12992 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ (0...𝑃))
26 permnn 13781 . . . . 5 ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℕ)
2725, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℕ)
2827nnzd 12170 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℤ)
29 etransclem3.4 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
307elfzelzd 13002 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3129, 30zsubcld 12176 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℤ)
3231adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐾𝐽) ∈ ℤ)
33 elnn0z 12078 . . . . 5 ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝐽))))
3411, 18, 33sylanbrc 586 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ0)
35 zexpcl 13539 . . . 4 (((𝐾𝐽) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ0) → ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℤ)
3632, 34, 35syl2anc 587 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℤ)
3728, 36zmulcld 12177 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℤ)
381, 37ifclda 4450 1 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wcel 2114  ifcif 4415   class class class wbr 5031  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7173  cr 10617  0cc0 10618   · cmul 10623   < clt 10756  cle 10757  cmin 10951   / cdiv 11378  cn 11719  0cn0 11979  cz 12065  ...cfz 12984  cexp 13524  !cfa 13728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-rp 12476  df-fz 12985  df-seq 13464  df-exp 13525  df-fac 13729  df-bc 13758
This theorem is referenced by:  etransclem24  43364  etransclem25  43365  etransclem26  43366  etransclem35  43375  etransclem37  43377
  Copyright terms: Public domain W3C validator