Theorem etransclem3 42542

Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem3	⊢ (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶‘𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 11994	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
2		0zd 11994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
3		etransclem3.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5	4	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 𝑃 ∈ ℤ)
6		etransclem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
7		etransclem3.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
8	6, 7	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ (0...𝑁))
9	8	elfzelzd 41602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ ℤ)
10	4, 9	zsubcld 12093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ)
11	10	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ)
12	2, 5, 11	3jca 1124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ))
13	9	zred 12088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ ℝ)
14	13	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐶‘𝐽) ∈ ℝ)
15	5	zred 12088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
16		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽))
17	14, 15, 16	nltled 10790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐶‘𝐽) ≤ 𝑃)
18	15, 14	subge0d 11230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ↔ (𝐶‘𝐽) ≤ 𝑃))
19	17, 18	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)))
20		elfzle1 12911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶‘𝐽) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘𝐽))
21	8, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶‘𝐽))
22	3	nnred 11653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
23	22, 13	subge02d 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐶‘𝐽) ↔ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃))
24	21, 23	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)
25	24	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)
26	12, 19, 25	jca32 518	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)))
27		elfz2 12900	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ (0...𝑃) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)))
28	26, 27	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ (0...𝑃))
29		permnn 13687	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℕ)
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℕ)
31	30	nnzd 12087	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℤ)
32		etransclem3.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
33	7	elfzelzd 41602	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
34	32, 33	zsubcld 12093	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ)
35	34	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ)
36		elnn0z 11995	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽))))
37	11, 19, 36	sylanbrc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0)
38		zexpcl 13445	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))) ∈ ℤ)
39	35, 37, 38	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))) ∈ ℤ)
40	31, 39	zmulcld 12094	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℤ)
41	1, 40	ifclda 4501	1 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶‘𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5066  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870   / cdiv 11297  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ...cfz 12893  ↑cexp 13430  !cfa 13634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664

This theorem is referenced by:  etransclem24  42563  etransclem25  42564  etransclem26  42565  etransclem35  42574  etransclem37  42576