Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem3 44379
Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem3.n (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem3.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem3.j (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem3.4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
etransclem3 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem3
StepHypRef Expression
1 0zd 12469 . 2 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
2 0zd 12469 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
3 etransclem3.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
43nnzd 12484 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℤ)
6 etransclem3.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
7 etransclem3.j . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
86, 7ffvelcdmd 7032 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ (0...𝑁))
98elfzelzd 13396 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℤ)
104, 9zsubcld 12570 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ)
129zred 12565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
145zred 12565 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
15 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽))
1613, 14, 15nltled 11263 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ≤ 𝑃)
1714, 13subge0d 11703 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ↔ (𝐶𝐽) ≤ 𝑃))
1816, 17mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝐽)))
19 elfzle1 13398 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐽) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶𝐽))
208, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝐶𝐽))
213nnred 12126 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2221, 12subge02d 11705 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝐶𝐽) ↔ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ≤ 𝑃))
2320, 22mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ≤ 𝑃)
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ≤ 𝑃)
252, 5, 11, 18, 24elfzd 13386 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ (0...𝑃))
26 permnn 14180 . . . . 5 ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℕ)
2725, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℕ)
2827nnzd 12484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℤ)
29 etransclem3.4 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
307elfzelzd 13396 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3129, 30zsubcld 12570 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℤ)
3231adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐾𝐽) ∈ ℤ)
33 elnn0z 12470 . . . . 5 ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝐽))))
3411, 18, 33sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ0)
35 zexpcl 13936 . . . 4 (((𝐾𝐽) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ0) → ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℤ)
3632, 34, 35syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℤ)
3728, 36zmulcld 12571 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℤ)
381, 37ifclda 4519 1 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wcel 2106  ifcif 4484   class class class wbr 5103  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  cr 11008  0cc0 11009   · cmul 11014   < clt 11147  cle 11148  cmin 11343   / cdiv 11770  cn 12111  0cn0 12371  cz 12457  ...cfz 13378  cexp 13921  !cfa 14127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-seq 13861  df-exp 13922  df-fac 14128  df-bc 14157
This theorem is referenced by:  etransclem24  44400  etransclem25  44401  etransclem26  44402  etransclem35  44411  etransclem37  44413
  Copyright terms: Public domain W3C validator