Theorem etransclem3 46208

Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem3	⊢ (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶‘𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12517	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
2		0zd 12517	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
3		etransclem3.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12532	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 𝑃 ∈ ℤ)
6		etransclem3.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
7		etransclem3.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
8	6, 7	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ (0...𝑁))
9	8	elfzelzd 13462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ ℤ)
10	4, 9	zsubcld 12619	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ)
12	9	zred 12614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐶‘𝐽) ∈ ℝ)
14	5	zred 12614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽))
16	13, 14, 15	nltled 11300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐶‘𝐽) ≤ 𝑃)
17	14, 13	subge0d 11744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ↔ (𝐶‘𝐽) ≤ 𝑃))
18	16, 17	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)))
19		elfzle1 13464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶‘𝐽) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘𝐽))
20	8, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶‘𝐽))
21	3	nnred 12177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
22	21, 12	subge02d 11746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐶‘𝐽) ↔ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃))
23	20, 22	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)
25	2, 5, 11, 18, 24	elfzd 13452	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ (0...𝑃))
26		permnn 14267	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℕ)
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12532	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℤ)
29		etransclem3.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
30	7	elfzelzd 13462	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
31	29, 30	zsubcld 12619	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ)
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ)
33		elnn0z 12518	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽))))
34	11, 18, 33	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0)
35		zexpcl 14017	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))) ∈ ℤ)
36	32, 34, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))) ∈ ℤ)
37	28, 36	zmulcld 12620	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℤ)
38	1, 37	ifclda 4520	1 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶‘𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ifcif 4484   class class class wbr 5102  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381   / cdiv 11811  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ...cfz 13444  ↑cexp 14002  !cfa 14214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244

This theorem is referenced by:  etransclem24  46229  etransclem25  46230  etransclem26  46231  etransclem35  46240  etransclem37  46242