Theorem etransclem3 46951

Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem3	⊢ (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶‘𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12598	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
2		0zd 12598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
3		etransclem3.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12612	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 𝑃 ∈ ℤ)
6		etransclem3.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
7		etransclem3.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
8	6, 7	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ (0...𝑁))
9	8	elfzelzd 13548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ ℤ)
10	4, 9	zsubcld 12700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ)
12	9	zred 12695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ ℝ)
13	12	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐶‘𝐽) ∈ ℝ)
14	5	zred 12695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
15		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽))
16	13, 14, 15	nltled 11355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐶‘𝐽) ≤ 𝑃)
17	14, 13	subge0d 11799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ↔ (𝐶‘𝐽) ≤ 𝑃))
18	16, 17	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)))
19		elfzle1 13550	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶‘𝐽) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘𝐽))
20	8, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶‘𝐽))
21	3	nnred 12243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
22	21, 12	subge02d 11801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐶‘𝐽) ↔ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃))
23	20, 22	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)
24	23	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)
25	2, 5, 11, 18, 24	elfzd 13538	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ (0...𝑃))
26		permnn 14358	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℕ)
27	25, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12612	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℤ)
29		etransclem3.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
30	7	elfzelzd 13548	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
31	29, 30	zsubcld 12700	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ)
32	31	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ)
33		elnn0z 12599	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽))))
34	11, 18, 33	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0)
35		zexpcl 14108	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))) ∈ ℤ)
36	32, 34, 35	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))) ∈ ℤ)
37	28, 36	zmulcld 12701	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℤ)
38	1, 37	ifclda 4523	1 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶‘𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ifcif 4487   class class class wbr 5109  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095   · cmul 11100   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436   / cdiv 11866  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ...cfz 13530  ↑cexp 14093  !cfa 14305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335

This theorem is referenced by:  etransclem24  46972  etransclem25  46973  etransclem26  46974  etransclem35  46983  etransclem37  46985