Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem15 45696
Description: Value of the term ๐‘‡, when ๐ฝ = 0 and (๐ถโ€˜0) = ๐‘ƒ โˆ’ 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem15.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
etransclem15.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
etransclem15.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
etransclem15.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
etransclem15.t ๐‘‡ = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))))
etransclem15.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ = 0)
etransclem15.cpm1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โ‰  (๐‘ƒ โˆ’ 1))
Assertion
Ref Expression
etransclem15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = 0)
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘€   ๐œ‘,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘—)   ๐‘ƒ(๐‘—)   ๐‘‡(๐‘—)   ๐ฝ(๐‘—)   ๐‘(๐‘—)

Proof of Theorem etransclem15
StepHypRef Expression
1 etransclem15.t . . 3 ๐‘‡ = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))))
21a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))))))
3 iftrue 4531 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0) โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) = 0)
43adantl 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) = 0)
5 iffalse 4534 . . . . . . . 8 (ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0) โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) = (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))))
65adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) = (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))))
7 etransclem15.j . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ = 0)
87oveq1d 7428 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) = (0โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))
98adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) = (0โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))
10 etransclem15.p . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1110nnzd 12610 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
12 1zzd 12618 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
1311, 12zsubcld 12696 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
14 etransclem15.c . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
15 etransclem15.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
16 nn0uz 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
1715, 16eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
18 eluzfz1 13535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘€))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘€))
2014, 19ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ (0...๐‘))
2120elfzelzd 13529 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ โ„ค)
2213, 21zsubcld 12696 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค)
2322adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค)
2421zred 12691 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ โ„)
2524adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ โ„)
2613zred 12691 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2726adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
28 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0))
2925, 27, 28nltled 11389 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ถโ€˜0) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
30 etransclem15.cpm1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โ‰  (๐‘ƒ โˆ’ 1))
3130necomd 2986 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ‰  (๐ถโ€˜0))
3231adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ‰  (๐ถโ€˜0))
3325, 27, 29, 32leneltd 11393 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ถโ€˜0) < (๐‘ƒ โˆ’ 1))
3425, 27posdifd 11826 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐ถโ€˜0) < (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” 0 < ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))
3533, 34mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ 0 < ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))
36 elnnz 12593 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„• โ†” (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))
3723, 35, 36sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„•)
38370expd 14130 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (0โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) = 0)
399, 38eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) = 0)
4039oveq2d 7429 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) = (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท 0))
41 nnm1nn0 12538 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
4210, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
4342faccld 14270 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
4443nncnd 12253 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
4544adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
4637nnnn0d 12557 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„•0)
4746faccld 14270 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) โˆˆ โ„•)
4847nncnd 12253 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) โˆˆ โ„‚)
4947nnne0d 12287 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) โ‰  0)
5045, 48, 49divcld 12015 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) โˆˆ โ„‚)
5150mul01d 11438 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท 0) = 0)
526, 40, 513eqtrd 2769 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) = 0)
534, 52pm2.61dan 811 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) = 0)
5453oveq1d 7428 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))) = (0 ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))))
557, 19eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (0...๐‘€))
5610, 14, 55etransclem7 45688 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„ค)
5756zcnd 12692 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„‚)
5857mul02d 11437 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0 ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))) = 0)
5954, 58eqtrd 2765 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))) = 0)
6059oveq2d 7429 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))))) = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท 0))
61 etransclem15.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
6261faccld 14270 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
6362nncnd 12253 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
64 fzfid 13965 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0...๐‘€) โˆˆ Fin)
65 fzssnn0 44758 . . . . . . . 8 (0...๐‘) โІ โ„•0
6614ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ (0...๐‘))
6765, 66sselid 3971 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„•0)
6867faccld 14270 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„•)
6968nncnd 12253 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
7064, 69fprodcl 15923 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
7168nnne0d 12287 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—)) โ‰  0)
7264, 69, 71fprodn0 15950 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—)) โ‰  0)
7363, 70, 72divcld 12015 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„‚)
7473mul01d 11438 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท 0) = 0)
752, 60, 743eqtrd 2769 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  ifcif 4525   class class class wbr 5144  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   ยท cmul 11138   < clt 11273   โˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  โ„•cn 12237  โ„•0cn0 12497  โ„คcz 12583  โ„คโ‰ฅcuz 12847  ...cfz 13511  โ†‘cexp 14053  !cfa 14259  โˆcprod 15876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-prod 15877
This theorem is referenced by:  etransclem28  45709
  Copyright terms: Public domain W3C validator