Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem15 46269
Description: Value of the term 𝑇, when 𝐽 = 0 and (𝐶‘0) = 𝑃 − 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem15.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem15.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem15.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem15.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem15.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
etransclem15.j (𝜑𝐽 = 0)
etransclem15.cpm1 (𝜑 → (𝐶‘0) ≠ (𝑃 − 1))
Assertion
Ref Expression
etransclem15 (𝜑𝑇 = 0)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem15
StepHypRef Expression
1 etransclem15.t . . 3 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
21a1i 11 . 2 (𝜑𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
3 iftrue 4530 . . . . . . 7 ((𝑃 − 1) < (𝐶‘0) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = 0)
43adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = 0)
5 iffalse 4533 . . . . . . . 8 (¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))
7 etransclem15.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 = 0)
87oveq1d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
10 etransclem15.p . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
1110nnzd 12642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
12 1zzd 12650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1311, 12zsubcld 12729 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
14 etransclem15.c . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
15 etransclem15.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
16 nn0uz 12921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (ℤ‘0)
1715, 16eleqtrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
18 eluzfz1 13572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
2014, 19ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
2120elfzelzd 13566 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℤ)
2213, 21zsubcld 12729 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
2421zred 12724 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
2613zred 12724 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
28 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
2925, 27, 28nltled 11412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1))
30 etransclem15.cpm1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶‘0) ≠ (𝑃 − 1))
3130necomd 2995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 1) ≠ (𝐶‘0))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝑃 − 1) ≠ (𝐶‘0))
3325, 27, 29, 32leneltd 11416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) < (𝑃 − 1))
3425, 27posdifd 11851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ↔ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
3533, 34mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))
36 elnnz 12625 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
3723, 35, 36sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ)
38370expd 14180 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 0)
399, 38eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 0)
4039oveq2d 7448 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · 0))
41 nnm1nn0 12569 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
4210, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
4342faccld 14324 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
4443nncnd 12283 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
4637nnnn0d 12589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0)
4746faccld 14324 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℕ)
4847nncnd 12283 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℂ)
4947nnne0d 12317 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ≠ 0)
5045, 48, 49divcld 12044 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℂ)
5150mul01d 11461 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · 0) = 0)
526, 40, 513eqtrd 2780 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = 0)
534, 52pm2.61dan 812 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = 0)
5453oveq1d 7447 . . . 4 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
557, 19eqeltrd 2840 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
5610, 14, 55etransclem7 46261 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
5756zcnd 12725 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℂ)
5857mul02d 11460 . . . 4 (𝜑 → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = 0)
5954, 58eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = 0)
6059oveq2d 7448 . 2 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · 0))
61 etransclem15.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6261faccld 14324 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
6362nncnd 12283 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
64 fzfid 14015 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
65 fzssnn0 45334 . . . . . . . 8 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
6614ffvelcdmda 7103 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ (0...𝑁))
6765, 66sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ ℕ0)
6867faccld 14324 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℕ)
6968nncnd 12283 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
7064, 69fprodcl 15989 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
7168nnne0d 12317 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
7264, 69, 71fprodn0 16016 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗)) ≠ 0)
7363, 70, 72divcld 12044 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) ∈ ℂ)
7473mul01d 11461 . 2 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · 0) = 0)
752, 60, 743eqtrd 2780 1 (𝜑𝑇 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  ifcif 4524   class class class wbr 5142  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161   < clt 11296  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  cexp 14103  !cfa 14313  cprod 15940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-prod 15941
This theorem is referenced by:  etransclem28  46282
  Copyright terms: Public domain W3C validator