Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem15 45550
Description: Value of the term ๐‘‡, when ๐ฝ = 0 and (๐ถโ€˜0) = ๐‘ƒ โˆ’ 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem15.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
etransclem15.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
etransclem15.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
etransclem15.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
etransclem15.t ๐‘‡ = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))))
etransclem15.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ = 0)
etransclem15.cpm1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โ‰  (๐‘ƒ โˆ’ 1))
Assertion
Ref Expression
etransclem15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = 0)
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘€   ๐œ‘,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘—)   ๐‘ƒ(๐‘—)   ๐‘‡(๐‘—)   ๐ฝ(๐‘—)   ๐‘(๐‘—)

Proof of Theorem etransclem15
StepHypRef Expression
1 etransclem15.t . . 3 ๐‘‡ = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))))
21a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))))))
3 iftrue 4530 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0) โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) = 0)
43adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) = 0)
5 iffalse 4533 . . . . . . . 8 (ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0) โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) = (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))))
65adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) = (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))))
7 etransclem15.j . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ = 0)
87oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) = (0โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) = (0โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))
10 etransclem15.p . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1110nnzd 12601 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
12 1zzd 12609 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
1311, 12zsubcld 12687 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
14 etransclem15.c . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
15 etransclem15.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
16 nn0uz 12880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
1715, 16eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
18 eluzfz1 13526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘€))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘€))
2014, 19ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ (0...๐‘))
2120elfzelzd 13520 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ โ„ค)
2213, 21zsubcld 12687 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค)
2421zred 12682 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ โ„)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ โ„)
2613zred 12682 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
28 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0))
2925, 27, 28nltled 11380 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ถโ€˜0) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
30 etransclem15.cpm1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โ‰  (๐‘ƒ โˆ’ 1))
3130necomd 2991 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ‰  (๐ถโ€˜0))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ‰  (๐ถโ€˜0))
3325, 27, 29, 32leneltd 11384 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ถโ€˜0) < (๐‘ƒ โˆ’ 1))
3425, 27posdifd 11817 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐ถโ€˜0) < (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” 0 < ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))
3533, 34mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ 0 < ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))
36 elnnz 12584 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„• โ†” (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))
3723, 35, 36sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„•)
38370expd 14121 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (0โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) = 0)
399, 38eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) = 0)
4039oveq2d 7430 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) = (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท 0))
41 nnm1nn0 12529 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
4210, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
4342faccld 14261 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
4443nncnd 12244 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
4637nnnn0d 12548 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„•0)
4746faccld 14261 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) โˆˆ โ„•)
4847nncnd 12244 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) โˆˆ โ„‚)
4947nnne0d 12278 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) โ‰  0)
5045, 48, 49divcld 12006 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) โˆˆ โ„‚)
5150mul01d 11429 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท 0) = 0)
526, 40, 513eqtrd 2771 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) = 0)
534, 52pm2.61dan 812 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) = 0)
5453oveq1d 7429 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))) = (0 ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))))
557, 19eqeltrd 2828 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (0...๐‘€))
5610, 14, 55etransclem7 45542 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„ค)
5756zcnd 12683 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„‚)
5857mul02d 11428 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0 ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))) = 0)
5954, 58eqtrd 2767 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))) = 0)
6059oveq2d 7430 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))))) = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท 0))
61 etransclem15.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
6261faccld 14261 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
6362nncnd 12244 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
64 fzfid 13956 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0...๐‘€) โˆˆ Fin)
65 fzssnn0 44612 . . . . . . . 8 (0...๐‘) โІ โ„•0
6614ffvelcdmda 7088 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ (0...๐‘))
6765, 66sselid 3976 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„•0)
6867faccld 14261 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„•)
6968nncnd 12244 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
7064, 69fprodcl 15914 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„‚)
7168nnne0d 12278 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)) โ†’ (!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—)) โ‰  0)
7264, 69, 71fprodn0 15941 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—)) โ‰  0)
7363, 70, 72divcld 12006 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„‚)
7473mul01d 11429 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท 0) = 0)
752, 60, 743eqtrd 2771 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  ifcif 4524   class class class wbr 5142  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   ยท cmul 11129   < clt 11264   โˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  โ„•cn 12228  โ„•0cn0 12488  โ„คcz 12574  โ„คโ‰ฅcuz 12838  ...cfz 13502  โ†‘cexp 14044  !cfa 14250  โˆcprod 15867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-prod 15868
This theorem is referenced by:  etransclem28  45563
  Copyright terms: Public domain W3C validator