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Theorem fourierdlem10 44444
Description: Condition on the bounds of a nonempty subinterval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem10.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem10.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem10.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem10.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem10.5 (𝜑𝐶 < 𝐷)
fourierdlem10.6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem10 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐷𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem10
StepHypRef Expression
1 fourierdlem10.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem10.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 fourierdlem10.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
43adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
52rexrd 11210 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
65adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 fourierdlem10.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
87rexrd 11210 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
98adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ*)
102, 1readdcld 11189 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
1110rehalfcld 12405 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
122, 7readdcld 11189 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
1312rehalfcld 12405 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
1411, 13ifcld 4533 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
1514adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
16 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶 < 𝐴)
172ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ ℝ)
181ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 avglt1 12396 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴𝐶 < ((𝐶 + 𝐴) / 2)))
2017, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐶 < 𝐴𝐶 < ((𝐶 + 𝐴) / 2)))
2116, 20mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶 < ((𝐶 + 𝐴) / 2))
22 iftrue 4493 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐴) / 2))
2322adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐴) / 2))
2421, 23breqtrrd 5134 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
25 fourierdlem10.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 < 𝐷)
2625adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 < 𝐷)
272adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ ℝ)
287adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
29 avglt1 12396 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐷𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3027, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐶 < 𝐷𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3126, 30mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
32 iffalse 4496 . . . . . . . . . . 11 𝐴𝐷 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐷) / 2))
3332eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 𝐴𝐷 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) = if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3433adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) = if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3531, 34breqtrd 5132 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3635adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3724, 36pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐶 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3822adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐴) / 2))
3910adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
4012adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
41 2rp 12925 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → 2 ∈ ℝ+)
431adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
447adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
452adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ ℝ)
46 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐴𝐷)
4743, 44, 45, 46leadd2dd 11775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐷))
4839, 40, 42, 47lediv1dd 13020 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐴) / 2) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
4938, 48eqbrtrd 5128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5032adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5113leidd 11726 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5251adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5350, 52eqbrtrd 5128 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5449, 53pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
55 avglt2 12397 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ((𝐶 + 𝐷) / 2) < 𝐷))
562, 7, 55syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷 ↔ ((𝐶 + 𝐷) / 2) < 𝐷))
5725, 56mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) < 𝐷)
5814, 13, 7, 54, 57lelttrd 11318 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
5958adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
606, 9, 15, 37, 59eliood 43822 . . . . 5 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐶(,)𝐷))
611adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6211adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ((𝐶 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
6314adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
6463, 38eqled 11263 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐴) / 2))
6514adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
6611adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
67 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
681adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
6928, 68ltnled 11307 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐷 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐷))
7067, 69mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐷 < 𝐴)
7112adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
7210adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
7341a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 2 ∈ ℝ+)
747adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ)
751adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
762adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
77 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 𝐷 < 𝐴)
7874, 75, 76, 77ltadd2dd 11319 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → (𝐶 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐴))
7971, 72, 73, 78ltdiv1dd 13019 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) < ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8070, 79syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) < ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8150, 80eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8265, 66, 81ltled 11308 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8364, 82pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8483adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐴) / 2))
85 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐶 < 𝐴)
862adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
87 avglt2 12397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 ↔ ((𝐶 + 𝐴) / 2) < 𝐴))
8886, 61, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → (𝐶 < 𝐴 ↔ ((𝐶 + 𝐴) / 2) < 𝐴))
8985, 88mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ((𝐶 + 𝐴) / 2) < 𝐴)
9015, 62, 61, 84, 89lelttrd 11318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐴)
9115, 61, 90ltnsymd 11309 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
9291intn3an2d 1481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ¬ (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵))
931rexrd 11210 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
9493adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
95 fourierdlem10.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
9695rexrd 11210 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9796adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
98 elioo2 13311 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)))
9994, 97, 98syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)))
10092, 99mtbird 325 . . . . 5 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ¬ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
101 nelss 4008 . . . . 5 ((if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ¬ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
10260, 100, 101syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ¬ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1034, 102pm2.65da 816 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶 < 𝐴)
1041, 2, 103nltled 11310 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
1053adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1065adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐶 ∈ ℝ*)
1078adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ*)
10895, 7readdcld 11189 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
109108rehalfcld 12405 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
110109, 13ifcld 4533 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
111110adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
1122adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
11313adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
114110adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
1152, 7, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
11625, 115mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
117116adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
11812adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
119108adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
12041a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝐵) → 2 ∈ ℝ+)
12195adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
1227adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
123 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
124112, 121, 122, 123leadd1dd 11774 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ≤ (𝐵 + 𝐷))
125118, 119, 120, 124lediv1dd 13020 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ≤ ((𝐵 + 𝐷) / 2))
126 iftrue 4493 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐵 → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐵 + 𝐷) / 2))
127126adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐵 + 𝐷) / 2))
128125, 127breqtrrd 5134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
129112, 113, 114, 117, 128ltletrd 11320 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
130116adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
131 iffalse 4496 . . . . . . . . . . 11 𝐶𝐵 → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐷) / 2))
132131eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 𝐶𝐵 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) = if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
133132adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) = if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
134130, 133breqtrd 5132 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐶 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
135129, 134pm2.61dan 812 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
136135adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐶 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
137126adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐵 + 𝐷) / 2))
138 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 < 𝐷)
13995adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 ∈ ℝ)
1407adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
141 avglt2 12397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷 ↔ ((𝐵 + 𝐷) / 2) < 𝐷))
142139, 140, 141syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → (𝐵 < 𝐷 ↔ ((𝐵 + 𝐷) / 2) < 𝐷))
143138, 142mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ((𝐵 + 𝐷) / 2) < 𝐷)
144143adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐵 + 𝐷) / 2) < 𝐷)
145137, 144eqbrtrd 5128 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
146131adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐷) / 2))
14757adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) < 𝐷)
148146, 147eqbrtrd 5128 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
149148adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
150145, 149pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
151106, 107, 111, 136, 150eliood 43822 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐶(,)𝐷))
152109adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ((𝐵 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
153 avglt1 12396 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷𝐵 < ((𝐵 + 𝐷) / 2)))
154139, 140, 153syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → (𝐵 < 𝐷𝐵 < ((𝐵 + 𝐷) / 2)))
155138, 154mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 < ((𝐵 + 𝐷) / 2))
156139, 152, 155ltled 11308 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 ≤ ((𝐵 + 𝐷) / 2))
157156adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ ((𝐵 + 𝐷) / 2))
158157, 137breqtrrd 5134 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
15995adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
16013adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
1612adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
162 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ¬ 𝐶𝐵)
163159, 161ltnled 11307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → (𝐵 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐵))
164162, 163mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 < 𝐶)
165159, 161, 160, 164, 130lttrd 11321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
166159, 160, 165ltled 11308 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
167166, 133breqtrd 5132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
168167adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
169158, 168pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
170139, 111, 169lensymd 11311 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ¬ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)
171170intn3an3d 1482 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ¬ (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵))
17293adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17396adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 ∈ ℝ*)
174 elioo2 13311 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)))
175172, 173, 174syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)))
176171, 175mtbird 325 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ¬ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
177 nelss 4008 . . . . 5 ((if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ¬ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
178151, 176, 177syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ¬ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
179105, 178pm2.65da 816 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐷)
1807, 95, 179nltled 11310 . 2 (𝜑𝐷𝐵)
181104, 180jca 513 1 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3911  ifcif 4487   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11055   + caddc 11059  *cxr 11193   < clt 11194  cle 11195   / cdiv 11817  2c2 12213  +crp 12920  (,)cioo 13270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-2 12221  df-rp 12921  df-ioo 13274
This theorem is referenced by:  fourierdlem32  44466  fourierdlem33  44467  fourierdlem46  44479  fourierdlem50  44483  fourierdlem72  44505  fourierdlem76  44509  fourierdlem89  44522  fourierdlem91  44524  fourierdlem103  44536  fourierdlem104  44537
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