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Theorem fourierdlem10 45132
Description: Condition on the bounds of a nonempty subinterval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem10.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem10.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem10.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem10.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem10.5 (𝜑𝐶 < 𝐷)
fourierdlem10.6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem10 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐷𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem10
StepHypRef Expression
1 fourierdlem10.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem10.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 fourierdlem10.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
52rexrd 11269 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 fourierdlem10.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
87rexrd 11269 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ*)
102, 1readdcld 11248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
1110rehalfcld 12464 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
122, 7readdcld 11248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
1312rehalfcld 12464 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
1411, 13ifcld 4574 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
16 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶 < 𝐴)
172ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ ℝ)
181ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 avglt1 12455 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴𝐶 < ((𝐶 + 𝐴) / 2)))
2017, 18, 19syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐶 < 𝐴𝐶 < ((𝐶 + 𝐴) / 2)))
2116, 20mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶 < ((𝐶 + 𝐴) / 2))
22 iftrue 4534 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐴) / 2))
2322adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐴) / 2))
2421, 23breqtrrd 5176 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
25 fourierdlem10.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 < 𝐷)
2625adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 < 𝐷)
272adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ ℝ)
287adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
29 avglt1 12455 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐷𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3027, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐶 < 𝐷𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3126, 30mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
32 iffalse 4537 . . . . . . . . . . 11 𝐴𝐷 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐷) / 2))
3332eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 𝐴𝐷 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) = if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3433adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) = if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3531, 34breqtrd 5174 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3635adantlr 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3724, 36pm2.61dan 810 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐶 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3822adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐴) / 2))
3910adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
4012adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
41 2rp 12984 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → 2 ∈ ℝ+)
431adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
447adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
452adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ ℝ)
46 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐴𝐷)
4743, 44, 45, 46leadd2dd 11834 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐷))
4839, 40, 42, 47lediv1dd 13079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐴) / 2) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
4938, 48eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5032adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5113leidd 11785 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5251adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5350, 52eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5449, 53pm2.61dan 810 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
55 avglt2 12456 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ((𝐶 + 𝐷) / 2) < 𝐷))
562, 7, 55syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷 ↔ ((𝐶 + 𝐷) / 2) < 𝐷))
5725, 56mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) < 𝐷)
5814, 13, 7, 54, 57lelttrd 11377 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
5958adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
606, 9, 15, 37, 59eliood 44510 . . . . 5 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐶(,)𝐷))
611adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ((𝐶 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
6314adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
6463, 38eqled 11322 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐴) / 2))
6514adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
6611adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
67 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
681adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
6928, 68ltnled 11366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐷 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐷))
7067, 69mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐷 < 𝐴)
7112adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
7210adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
7341a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 2 ∈ ℝ+)
747adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ)
751adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
762adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
77 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 𝐷 < 𝐴)
7874, 75, 76, 77ltadd2dd 11378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → (𝐶 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐴))
7971, 72, 73, 78ltdiv1dd 13078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) < ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8070, 79syldan 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) < ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8150, 80eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8265, 66, 81ltled 11367 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8364, 82pm2.61dan 810 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8483adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐴) / 2))
85 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐶 < 𝐴)
862adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
87 avglt2 12456 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 ↔ ((𝐶 + 𝐴) / 2) < 𝐴))
8886, 61, 87syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → (𝐶 < 𝐴 ↔ ((𝐶 + 𝐴) / 2) < 𝐴))
8985, 88mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ((𝐶 + 𝐴) / 2) < 𝐴)
9015, 62, 61, 84, 89lelttrd 11377 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐴)
9115, 61, 90ltnsymd 11368 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
9291intn3an2d 1479 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ¬ (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵))
931rexrd 11269 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
9493adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
95 fourierdlem10.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
9695rexrd 11269 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9796adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
98 elioo2 13370 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)))
9994, 97, 98syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)))
10092, 99mtbird 325 . . . . 5 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ¬ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
101 nelss 4047 . . . . 5 ((if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ¬ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
10260, 100, 101syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ¬ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1034, 102pm2.65da 814 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶 < 𝐴)
1041, 2, 103nltled 11369 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
1053adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1065adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐶 ∈ ℝ*)
1078adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ*)
10895, 7readdcld 11248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
109108rehalfcld 12464 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
110109, 13ifcld 4574 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
111110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
1122adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
11313adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
114110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
1152, 7, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
11625, 115mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
117116adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
11812adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
119108adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
12041a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝐵) → 2 ∈ ℝ+)
12195adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
1227adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
123 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
124112, 121, 122, 123leadd1dd 11833 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ≤ (𝐵 + 𝐷))
125118, 119, 120, 124lediv1dd 13079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ≤ ((𝐵 + 𝐷) / 2))
126 iftrue 4534 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐵 → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐵 + 𝐷) / 2))
127126adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐵 + 𝐷) / 2))
128125, 127breqtrrd 5176 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
129112, 113, 114, 117, 128ltletrd 11379 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
130116adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
131 iffalse 4537 . . . . . . . . . . 11 𝐶𝐵 → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐷) / 2))
132131eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 𝐶𝐵 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) = if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
133132adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) = if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
134130, 133breqtrd 5174 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐶 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
135129, 134pm2.61dan 810 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
136135adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐶 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
137126adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐵 + 𝐷) / 2))
138 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 < 𝐷)
13995adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 ∈ ℝ)
1407adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
141 avglt2 12456 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷 ↔ ((𝐵 + 𝐷) / 2) < 𝐷))
142139, 140, 141syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → (𝐵 < 𝐷 ↔ ((𝐵 + 𝐷) / 2) < 𝐷))
143138, 142mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ((𝐵 + 𝐷) / 2) < 𝐷)
144143adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐵 + 𝐷) / 2) < 𝐷)
145137, 144eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
146131adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐷) / 2))
14757adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) < 𝐷)
148146, 147eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
149148adantlr 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
150145, 149pm2.61dan 810 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
151106, 107, 111, 136, 150eliood 44510 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐶(,)𝐷))
152109adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ((𝐵 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
153 avglt1 12455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷𝐵 < ((𝐵 + 𝐷) / 2)))
154139, 140, 153syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → (𝐵 < 𝐷𝐵 < ((𝐵 + 𝐷) / 2)))
155138, 154mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 < ((𝐵 + 𝐷) / 2))
156139, 152, 155ltled 11367 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 ≤ ((𝐵 + 𝐷) / 2))
157156adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ ((𝐵 + 𝐷) / 2))
158157, 137breqtrrd 5176 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
15995adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
16013adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
1612adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
162 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ¬ 𝐶𝐵)
163159, 161ltnled 11366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → (𝐵 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐵))
164162, 163mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 < 𝐶)
165159, 161, 160, 164, 130lttrd 11380 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
166159, 160, 165ltled 11367 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
167166, 133breqtrd 5174 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
168167adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
169158, 168pm2.61dan 810 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
170139, 111, 169lensymd 11370 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ¬ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)
171170intn3an3d 1480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ¬ (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵))
17293adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17396adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 ∈ ℝ*)
174 elioo2 13370 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)))
175172, 173, 174syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)))
176171, 175mtbird 325 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ¬ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
177 nelss 4047 . . . . 5 ((if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ¬ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
178151, 176, 177syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ¬ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
179105, 178pm2.65da 814 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐷)
1807, 95, 179nltled 11369 . 2 (𝜑𝐷𝐵)
181104, 180jca 511 1 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  cr 11113   + caddc 11117  *cxr 11252   < clt 11253  cle 11254   / cdiv 11876  2c2 12272  +crp 12979  (,)cioo 13329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-2 12280  df-rp 12980  df-ioo 13333
This theorem is referenced by:  fourierdlem32  45154  fourierdlem33  45155  fourierdlem46  45167  fourierdlem50  45171  fourierdlem72  45193  fourierdlem76  45197  fourierdlem89  45210  fourierdlem91  45212  fourierdlem103  45224  fourierdlem104  45225
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