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Theorem fourierdlem10 43333
Description: Condition on the bounds of a nonempty subinterval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem10.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem10.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem10.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem10.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem10.5 (𝜑𝐶 < 𝐷)
fourierdlem10.6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem10 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐷𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem10
StepHypRef Expression
1 fourierdlem10.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem10.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 fourierdlem10.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
43adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
52rexrd 10883 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
65adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 fourierdlem10.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
87rexrd 10883 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
98adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ*)
102, 1readdcld 10862 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
1110rehalfcld 12077 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
122, 7readdcld 10862 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
1312rehalfcld 12077 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
1411, 13ifcld 4485 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
16 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶 < 𝐴)
172ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ ℝ)
181ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 avglt1 12068 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴𝐶 < ((𝐶 + 𝐴) / 2)))
2017, 18, 19syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → (𝐶 < 𝐴𝐶 < ((𝐶 + 𝐴) / 2)))
2116, 20mpbid 235 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶 < ((𝐶 + 𝐴) / 2))
22 iftrue 4445 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐴) / 2))
2322adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐴) / 2))
2421, 23breqtrrd 5081 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ 𝐴𝐷) → 𝐶 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
25 fourierdlem10.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 < 𝐷)
2625adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 < 𝐷)
272adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ ℝ)
287adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
29 avglt1 12068 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐷𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3027, 28, 29syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐶 < 𝐷𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3126, 30mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
32 iffalse 4448 . . . . . . . . . . 11 𝐴𝐷 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐷) / 2))
3332eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 𝐴𝐷 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) = if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3433adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) = if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3531, 34breqtrd 5079 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3635adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 < 𝐴) ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3724, 36pm2.61dan 813 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐶 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
3822adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐴) / 2))
3910adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
4012adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
41 2rp 12591 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → 2 ∈ ℝ+)
431adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
447adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
452adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ ℝ)
46 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐴𝐷)
4743, 44, 45, 46leadd2dd 11447 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐷))
4839, 40, 42, 47lediv1dd 12686 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐴) / 2) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
4938, 48eqbrtrd 5075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5032adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5113leidd 11398 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5251adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5350, 52eqbrtrd 5075 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
5449, 53pm2.61dan 813 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
55 avglt2 12069 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐷 ↔ ((𝐶 + 𝐷) / 2) < 𝐷))
562, 7, 55syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷 ↔ ((𝐶 + 𝐷) / 2) < 𝐷))
5725, 56mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) < 𝐷)
5814, 13, 7, 54, 57lelttrd 10990 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
5958adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
606, 9, 15, 37, 59eliood 42711 . . . . 5 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐶(,)𝐷))
611adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6211adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ((𝐶 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
6314adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
6463, 38eqled 10935 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐴) / 2))
6514adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
6611adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
67 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
681adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
6928, 68ltnled 10979 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐷 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐷))
7067, 69mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐷 < 𝐴)
7112adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
7210adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
7341a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 2 ∈ ℝ+)
747adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ)
751adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
762adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
77 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → 𝐷 < 𝐴)
7874, 75, 76, 77ltadd2dd 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → (𝐶 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐴))
7971, 72, 73, 78ltdiv1dd 12685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐷 < 𝐴) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) < ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8070, 79syldan 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) < ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8150, 80eqbrtrd 5075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8265, 66, 81ltled 10980 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8364, 82pm2.61dan 813 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐴) / 2))
8483adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ≤ ((𝐶 + 𝐴) / 2))
85 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐶 < 𝐴)
862adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
87 avglt2 12069 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 ↔ ((𝐶 + 𝐴) / 2) < 𝐴))
8886, 61, 87syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → (𝐶 < 𝐴 ↔ ((𝐶 + 𝐴) / 2) < 𝐴))
8985, 88mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ((𝐶 + 𝐴) / 2) < 𝐴)
9015, 62, 61, 84, 89lelttrd 10990 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐴)
9115, 61, 90ltnsymd 10981 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
9291intn3an2d 1482 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ¬ (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵))
931rexrd 10883 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
9493adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
95 fourierdlem10.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
9695rexrd 10883 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9796adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
98 elioo2 12976 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)))
9994, 97, 98syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)))
10092, 99mtbird 328 . . . . 5 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ¬ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
101 nelss 3964 . . . . 5 ((if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ¬ if(𝐴𝐷, ((𝐶 + 𝐴) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
10260, 100, 101syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝐴) → ¬ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1034, 102pm2.65da 817 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶 < 𝐴)
1041, 2, 103nltled 10982 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
1053adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1065adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐶 ∈ ℝ*)
1078adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ*)
10895, 7readdcld 10862 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
109108rehalfcld 12077 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
110109, 13ifcld 4485 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
111110adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
1122adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
11313adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
114110adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ)
1152, 7, 29syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
11625, 115mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
117116adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
11812adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
119108adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
12041a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝐵) → 2 ∈ ℝ+)
12195adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
1227adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
123 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
124112, 121, 122, 123leadd1dd 11446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐶 + 𝐷) ≤ (𝐵 + 𝐷))
125118, 119, 120, 124lediv1dd 12686 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ≤ ((𝐵 + 𝐷) / 2))
126 iftrue 4445 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐵 → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐵 + 𝐷) / 2))
127126adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐵 + 𝐷) / 2))
128125, 127breqtrrd 5081 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
129112, 113, 114, 117, 128ltletrd 10992 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝐵) → 𝐶 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
130116adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐶 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
131 iffalse 4448 . . . . . . . . . . 11 𝐶𝐵 → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐷) / 2))
132131eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 𝐶𝐵 → ((𝐶 + 𝐷) / 2) = if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
133132adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) = if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
134130, 133breqtrd 5079 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐶 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
135129, 134pm2.61dan 813 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
136135adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐶 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
137126adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐵 + 𝐷) / 2))
138 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 < 𝐷)
13995adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 ∈ ℝ)
1407adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
141 avglt2 12069 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷 ↔ ((𝐵 + 𝐷) / 2) < 𝐷))
142139, 140, 141syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → (𝐵 < 𝐷 ↔ ((𝐵 + 𝐷) / 2) < 𝐷))
143138, 142mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ((𝐵 + 𝐷) / 2) < 𝐷)
144143adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐵 + 𝐷) / 2) < 𝐷)
145137, 144eqbrtrd 5075 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
146131adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) = ((𝐶 + 𝐷) / 2))
14757adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) < 𝐷)
148146, 147eqbrtrd 5075 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
149148adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
150145, 149pm2.61dan 813 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐷)
151106, 107, 111, 136, 150eliood 42711 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐶(,)𝐷))
152109adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ((𝐵 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
153 avglt1 12068 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷𝐵 < ((𝐵 + 𝐷) / 2)))
154139, 140, 153syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → (𝐵 < 𝐷𝐵 < ((𝐵 + 𝐷) / 2)))
155138, 154mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 < ((𝐵 + 𝐷) / 2))
156139, 152, 155ltled 10980 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 ≤ ((𝐵 + 𝐷) / 2))
157156adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ ((𝐵 + 𝐷) / 2))
158157, 137breqtrrd 5081 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
15995adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
16013adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ((𝐶 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
1612adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
162 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → ¬ 𝐶𝐵)
163159, 161ltnled 10979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → (𝐵 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐵))
164162, 163mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 < 𝐶)
165159, 161, 160, 164, 130lttrd 10993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 < ((𝐶 + 𝐷) / 2))
166159, 160, 165ltled 10980 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ ((𝐶 + 𝐷) / 2))
167166, 133breqtrd 5079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
168167adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 𝐷) ∧ ¬ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
169158, 168pm2.61dan 813 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)))
170139, 111, 169lensymd 10983 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ¬ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)
171170intn3an3d 1483 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ¬ (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵))
17293adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17396adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → 𝐵 ∈ ℝ*)
174 elioo2 12976 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)))
175172, 173, 174syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∧ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) < 𝐵)))
176171, 175mtbird 328 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ¬ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
177 nelss 3964 . . . . 5 ((if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ¬ if(𝐶𝐵, ((𝐵 + 𝐷) / 2), ((𝐶 + 𝐷) / 2)) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
178151, 176, 177syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐷) → ¬ (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
179105, 178pm2.65da 817 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐷)
1807, 95, 179nltled 10982 . 2 (𝜑𝐷𝐵)
181104, 180jca 515 1 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wss 3866  ifcif 4439   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  cr 10728   + caddc 10732  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868   / cdiv 11489  2c2 11885  +crp 12586  (,)cioo 12935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-rp 12587  df-ioo 12939
This theorem is referenced by:  fourierdlem32  43355  fourierdlem33  43356  fourierdlem46  43368  fourierdlem50  43372  fourierdlem72  43394  fourierdlem76  43398  fourierdlem89  43411  fourierdlem91  43413  fourierdlem103  43425  fourierdlem104  43426
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