Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem32 45467
Description: This is the proof for the last equation in the proof of the derivative calculated in [Juillerat] p. 12, just after equation *(6) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem32.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
etransclem32.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
etransclem32.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem32.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem32.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem32.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
etransclem32.ngt (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)) < 𝑁)
etransclem32.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
Assertion
Ref Expression
etransclem32 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐻,π‘₯   𝑗,𝑀,π‘₯   𝑗,𝑁,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘₯   𝑆,𝑗,π‘₯   𝑗,𝑋,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑗)

Proof of Theorem etransclem32
Dummy variables 𝐴 𝑐 π‘˜ 𝑛 𝑑 π‘š β„Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem32.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 etransclem32.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
3 etransclem32.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4 etransclem32.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
5 etransclem32.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
6 etransclem32.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 etransclem32.h . . 3 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
8 etransclem11 45446 . . 3 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 45465 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯))))
10 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘))
118, 6etransclem12 45447 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
1211adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
1310, 12eleqtrd 2827 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
1413adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
15 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
16 nfre1 3274 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)
1716nfn 1852 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)
1815, 17nfan 1894 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜))
19 fzssre 44509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0...𝑁) βŠ† ℝ
20 rabid 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} ↔ (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁))
2120simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
22 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
2423adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
2524ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ (0...𝑁))
2619, 25sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2726adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
28 nnm1nn0 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3029nn0red 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
313nnred 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
3230, 31ifcld 4566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ ℝ)
3332ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ ℝ)
34 ralnex 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀) Β¬ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜) ↔ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜))
3534biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀) Β¬ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜))
3635r19.21bi 3240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ Β¬ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜))
3736adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ Β¬ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜))
3827, 33, 37nltled 11361 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
3938ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
4018, 39ralrimi 3246 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
4120simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁)
42 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜π‘˜))
4342cbvsumv 15639 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜)
4441, 43eqtr3di 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜))
4544ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) β†’ 𝑁 = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜))
46 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = β„Ž β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜β„Ž))
4746cbvsumv 15639 . . . . . . . . . . . . . 14 Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = Ξ£β„Ž ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜β„Ž)
48 fzfid 13935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
4924ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜β„Ž) ∈ (0...𝑁))
5019, 49sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜β„Ž) ∈ ℝ)
5150adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜β„Ž) ∈ ℝ)
5230, 31ifcld 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ ℝ)
5352ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ ℝ)
54 eqeq1 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = β„Ž β†’ (π‘˜ = 0 ↔ β„Ž = 0))
5554ifbid 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = β„Ž β†’ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
5646, 55breq12d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = β„Ž β†’ ((π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ↔ (π‘β€˜β„Ž) ≀ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
5756rspccva 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜β„Ž) ≀ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
5857adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜β„Ž) ≀ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
5948, 51, 53, 58fsumle 15742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) β†’ Ξ£β„Ž ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜β„Ž) ≀ Ξ£β„Ž ∈ (0...𝑀)if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
60 nn0uz 12861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
614, 60eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
623nnnn0d 12529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
6329, 62ifcld 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„•0)
6564nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (0...𝑀)) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) ∈ β„‚)
66 iftrue 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = 0 β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = (𝑃 βˆ’ 1))
6761, 65, 66fsum1p 15696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ Ξ£β„Ž ∈ (0...𝑀)if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = ((𝑃 βˆ’ 1) + Ξ£β„Ž ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))
68 0p1e1 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 + 1) = 1
6968oveq1i 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
7170sumeq1d 15644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ Ξ£β„Ž ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = Ξ£β„Ž ∈ (1...𝑀)if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))
72 0red 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (β„Ž ∈ (1...𝑀) β†’ 0 ∈ ℝ)
73 1red 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (β„Ž ∈ (1...𝑀) β†’ 1 ∈ ℝ)
74 elfzelz 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (β„Ž ∈ (1...𝑀) β†’ β„Ž ∈ β„€)
7574zred 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (β„Ž ∈ (1...𝑀) β†’ β„Ž ∈ ℝ)
76 0lt1 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 < 1
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (β„Ž ∈ (1...𝑀) β†’ 0 < 1)
78 elfzle1 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (β„Ž ∈ (1...𝑀) β†’ 1 ≀ β„Ž)
7972, 73, 75, 77, 78ltletrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (β„Ž ∈ (1...𝑀) β†’ 0 < β„Ž)
8079gt0ne0d 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (β„Ž ∈ (1...𝑀) β†’ β„Ž β‰  0)
8180neneqd 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (β„Ž ∈ (1...𝑀) β†’ Β¬ β„Ž = 0)
8281iffalsed 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (β„Ž ∈ (1...𝑀) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = 𝑃)
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (1...𝑀)) β†’ if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = 𝑃)
8483sumeq2dv 15646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ Ξ£β„Ž ∈ (1...𝑀)if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = Ξ£β„Ž ∈ (1...𝑀)𝑃)
85 fzfid 13935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
863nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
87 fsumconst 15733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ β„‚) β†’ Ξ£β„Ž ∈ (1...𝑀)𝑃 = ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 𝑃))
8885, 86, 87syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ Ξ£β„Ž ∈ (1...𝑀)𝑃 = ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 𝑃))
89 hashfz1 14303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
904, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
9190oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 𝑃) = (𝑀 Β· 𝑃))
9288, 91eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ Ξ£β„Ž ∈ (1...𝑀)𝑃 = (𝑀 Β· 𝑃))
9371, 84, 923eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ Ξ£β„Ž ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = (𝑀 Β· 𝑃))
9493oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) + Ξ£β„Ž ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) = ((𝑃 βˆ’ 1) + (𝑀 Β· 𝑃)))
9529nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
964, 62nn0mulcld 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑃) ∈ β„•0)
9796nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑃) ∈ β„‚)
9895, 97addcomd 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) + (𝑀 Β· 𝑃)) = ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))
9967, 94, 983eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Ξ£β„Ž ∈ (0...𝑀)if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))
10099ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) β†’ Ξ£β„Ž ∈ (0...𝑀)if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) = ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))
10159, 100breqtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) β†’ Ξ£β„Ž ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜β„Ž) ≀ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))
10247, 101eqbrtrid 5173 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ≀ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))
10345, 102eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ≀ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)) β†’ 𝑁 ≀ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))
10440, 103syldan 590 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ 𝑁 ≀ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))
105 etransclem32.ngt . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)) < 𝑁)
10696, 29nn0addcld 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
107106nn0red 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
1086nn0red 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
109107, 108ltnled 11358 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)) < 𝑁 ↔ Β¬ 𝑁 ≀ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1))))
110105, 109mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑁 ≀ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))
111110ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ Β¬ 𝑁 ≀ ((𝑀 Β· 𝑃) + (𝑃 βˆ’ 1)))
112104, 111condan 815 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜))
113112adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜))
114 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)
115 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑗(0...𝑀)
116115nfsum1 15633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑗Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—)
117116nfeq1 2910 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑗Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁
118 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑗((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))
119117, 118nfrabw 3460 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗{𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}
120119nfcri 2882 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}
121114, 120nfan 1894 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
122 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗 π‘˜ ∈ (0...𝑀)
123 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)
124121, 122, 123nf3an 1896 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜))
125 nfcv 2895 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯)
126 fzfid 13935 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
1271ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
1282ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
1293ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
130 etransclem5 45440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
1317, 130eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐻 = (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
132 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
13323ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
134 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
135133, 134ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ (0...𝑁))
136135adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ (0...𝑁))
137 elfznn0 13591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘β€˜π‘—) ∈ (0...𝑁) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ β„•0)
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ β„•0)
139127, 128, 129, 131, 132, 138etransclem20 45455 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—)):π‘‹βŸΆβ„‚)
140 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
141139, 140ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1421413ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
143 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π»β€˜π‘—) = (π»β€˜π‘˜))
144143oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—)) = (𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜)))
145144, 42fveq12d 6888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—)) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜)))
146145fveq1d 6883 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯))
147 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
1481ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
1491483ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
1502ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
1511503ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
1523ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
1531523ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
154 etransclem5 45440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (β„Ž ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
1557, 154eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (β„Ž ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 βˆ’ β„Ž)↑if(β„Ž = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
15625elfzelzd 13499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„€)
157156adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„€)
1581573adant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„€)
159 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜))
160149, 151, 153, 155, 147, 158, 159etransclem19 45454 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 0))
161 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 0 = 0)
162 simp1lr 1234 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
163 0red 11214 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ 0 ∈ ℝ)
164160, 161, 162, 163fvmptd 6995 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘˜))β€˜(π‘β€˜π‘˜))β€˜π‘₯) = 0)
165124, 125, 126, 142, 146, 147, 164fprod0 44797 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀) ∧ if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯) = 0)
166165rexlimdv3a 3151 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑀)if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃) < (π‘β€˜π‘˜) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯) = 0))
167113, 166mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯) = 0)
16814, 167syldan 590 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯) = 0)
169168oveq2d 7417 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯)) = (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· 0))
1706faccld 14241 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
171170nncnd 12225 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
172171adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
173 fzfid 13935 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
174 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ πœ‘)
17513adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
176 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
177174, 175, 176, 135syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ (0...𝑁))
178177, 137syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ β„•0)
179178faccld 14241 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ β„•)
180179nncnd 12225 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
181173, 180fprodcl 15893 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
182179nnne0d 12259 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘—)) β‰  0)
183173, 180, 182fprodn0 15920 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—)) β‰  0)
184172, 181, 183divcld 11987 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„‚)
185184mul01d 11410 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· 0) = 0)
186185adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· 0) = 0)
187169, 186eqtrd 2764 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)) β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯)) = 0)
188187sumeq2dv 15646 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Σ𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯)) = Σ𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)0)
189 eqid 2724 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š}) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})
190189, 6etransclem16 45451 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘) ∈ Fin)
191190olcd 871 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π΄) ∨ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘) ∈ Fin))
192191adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π΄) ∨ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘) ∈ Fin))
193 sumz 15665 . . . . 5 ((((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π΄) ∨ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘) ∈ Fin) β†’ Σ𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)0 = 0)
194192, 193syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Σ𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)0 = 0)
195188, 194eqtrd 2764 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Σ𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯)) = 0)
196195mpteq2dva 5238 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})β€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘—))β€˜(π‘β€˜π‘—))β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
1979, 196eqtrd 2764 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  {crab 3424   βŠ† wss 3940  ifcif 4520  {cpr 4622   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11245   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  ...cfz 13481  β†‘cexp 14024  !cfa 14230  β™―chash 14287  Ξ£csu 15629  βˆcprod 15846   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 21228   D𝑛 cdvn 25715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-prod 15847  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718  df-dvn 25719
This theorem is referenced by:  etransclem46  45481
  Copyright terms: Public domain W3C validator