Theorem bitsfzolem 16069

Description: Lemma for bitsfzo 16070. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bitsfzo.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
bitsfzo.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
bitsfzo.3	⊢ (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
bitsfzo.4	⊢ 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
bitsfzolem	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bitsfzolem

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsfzo.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 12549	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2849	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
4		2nn 11976	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
6		bitsfzo.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nnexpcld 13888	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12354	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℤ)
9		bitsfzo.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
11		n2dvds1 16005	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
12	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
13		ssrab2 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ ℕ0
14		bitsfzo.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
15	13, 2	sseqtri 3953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ≥‘0)
16		nnssnn0 12166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
17	1	nn0red 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
18		2re 11977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
20		1lt2 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 < 2
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
22		expnbnd 13875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
24		ssrexv 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛)))
25	16, 23, 24	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))
26		rabn0 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))
27	25, 26	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅)
28		infssuzcl 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
29	15, 27, 28	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
30	14, 29	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
31	13, 30	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 12353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
34		0red 10909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
35	6	nn0zd 12353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
37	36	zred 12355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
38	33	zred 12355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
39	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
40	39	nn0ge0d 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
41	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
42	41, 39	reexpcld 13809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
43	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
44	5, 31	nnexpcld 13888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
46	45	nnred 11918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℝ)
47		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
48	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
49		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 = 𝑆 → (2↑𝑚) = (2↑𝑆))
50	49	breq2d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 = 𝑆 → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑𝑆)))
51		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
52	51	breq2d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑁 < (2↑𝑛) ↔ 𝑁 < (2↑𝑚)))
53	52	cbvrabv 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑚)}
54	50, 53	elrab2 3620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑆)))
55	54	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑁 < (2↑𝑆))
56	48, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < (2↑𝑆))
57	42, 43, 46, 47, 56	lelttrd 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) < (2↑𝑆))
58	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 < 2)
59	41, 36, 33, 58	ltexp2d 13896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ (2↑𝑀) < (2↑𝑆)))
60	57, 59	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑆)
61	34, 37, 38, 40, 60	lelttrd 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑆)
62		elnnz 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑆))
63	33, 61, 62	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ)
64		nnm1nn0 12204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
66	12, 65	nnexpcld 13888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 11919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℂ)
68	67	mulid2d 10924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) = (2↑(𝑆 − 1)))
69	66	nnred 11918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ)
70	38	ltm1d 11837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑆)
71	65	nn0red 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℝ)
72	71, 38	ltnled 11052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
73	70, 72	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
74		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 = (𝑆 − 1) → (2↑𝑚) = (2↑(𝑆 − 1)))
75	74	breq2d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = (𝑆 − 1) → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
76	75, 53	elrab2 3620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
77		infssuzle 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
78	15, 77	mpan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
79	14, 78	eqbrtrid 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
81	76, 80	syl5bir 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
82	65, 81	mpand 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
83	73, 82	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))
84	69, 43, 83	nltled 11055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ≤ 𝑁)
85	68, 84	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁)
86		1red 10907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
87		2rp 12664	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ+
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
89		1z 12280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℤ
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
91	33, 90	zsubcld 12360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
92	88, 91	rpexpcld 13890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ+)
93	86, 43, 92	lemuldivd 12750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
94	85, 93	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))
95		2cn 11978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
96		expm1t 13739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
97	95, 63, 96	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
98	56, 97	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
99	43, 41, 92	ltdivmuld 12752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2 ↔ 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2)))
100	98, 99	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2)
101		df-2 11966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
102	100, 101	breqtrdi 5111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))
103	43, 92	rerpdivcld 12732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℝ)
104		flbi 13464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
105	103, 89, 104	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
106	94, 102, 105	mpbir2and 709	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1)
107	106	breq2d 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) ↔ 2 ∥ 1))
108	11, 107	mtbiri 326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
109	1	nn0zd 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
110		bitsval2 16060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑆 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
111	109, 65, 110	syl2an2r 681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
112	108, 111	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁))
113	10, 112	sseldd 3918	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀))
114		elfzolt2 13325	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
115	113, 114	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
116		zlem1lt 12302	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑆 ≤ 𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
117	32, 36, 116	syl2an2r 681	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 ≤ 𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
118	115, 117	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑀)
119	37, 38	ltnled 11052	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ 𝑀))
120	60, 119	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ 𝑀)
121	118, 120	pm2.65da 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
122	7	nnred 11918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
123	17, 122	ltnled 11052	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < (2↑𝑀) ↔ ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁))
124	121, 123	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (2↑𝑀))
125		elfzo2 13319	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (2↑𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑀)))
126	3, 8, 124, 125	syl3anbrc 1341	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  infcinf 9130  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  ..^cfzo 13311  ⌊cfl 13438  ↑cexp 13710   ∥ cdvds 15891  bitscbits 16054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-dvds 15892  df-bits 16057

This theorem is referenced by:  bitsfzo  16070