MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfzolem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsfzolem 16375
Description: Lemma for bitsfzo 16376. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bitsfzo.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
bitsfzo.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
bitsfzo.3 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀))
bitsfzo.4 𝑆 = inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
bitsfzolem (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑛)
Proof of Theorem bitsfzolem
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsfzo.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 nn0uz 12864 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
31, 2eleqtrdi 2844 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
4 2nn 12285 . . . . 5 2 ∈ β„•
54a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
6 bitsfzo.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
75, 6nnexpcld 14208 . . 3 (πœ‘ β†’ (2↑𝑀) ∈ β„•)
87nnzd 12585 . 2 (πœ‘ β†’ (2↑𝑀) ∈ β„€)
9 bitsfzo.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀))
109adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^𝑀))
11 n2dvds1 16311 . . . . . . . . 9 Β¬ 2 βˆ₯ 1
124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 2 ∈ β„•)
13 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} βŠ† β„•0
14 bitsfzo.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑆 = inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
1513, 2sseqtri 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} βŠ† (β„€β‰₯β€˜0)
16 nnssnn0 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 β„• βŠ† β„•0
171nn0red 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
18 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
20 1lt2 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 < 2
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 1 < 2)
22 expnbnd 14195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑁 < (2↑𝑛))
2317, 19, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑁 < (2↑𝑛))
24 ssrexv 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (β„• βŠ† β„•0 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑁 < (2↑𝑛) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑁 < (2↑𝑛)))
2516, 23, 24mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑁 < (2↑𝑛))
26 rabn0 4386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑁 < (2↑𝑛))
2725, 26sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} β‰  βˆ…)
28 infssuzcl 12916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∧ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} β‰  βˆ…) β†’ inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
2915, 27, 28sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
3014, 29eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
3113, 30sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
3231nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„€)
3332adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 𝑆 ∈ β„€)
34 0red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 0 ∈ ℝ)
356nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3736zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3833zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
396adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4039nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ 𝑀)
4118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 2 ∈ ℝ)
4241, 39reexpcld 14128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (2↑𝑀) ∈ ℝ)
4317adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
445, 31nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (2↑𝑆) ∈ β„•)
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (2↑𝑆) ∈ β„•)
4645nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (2↑𝑆) ∈ ℝ)
47 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (2↑𝑀) ≀ 𝑁)
4830adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
49 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘š = 𝑆 β†’ (2β†‘π‘š) = (2↑𝑆))
5049breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘š = 𝑆 β†’ (𝑁 < (2β†‘π‘š) ↔ 𝑁 < (2↑𝑆)))
51 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = π‘š β†’ (2↑𝑛) = (2β†‘π‘š))
5251breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑁 < (2↑𝑛) ↔ 𝑁 < (2β†‘π‘š)))
5352cbvrabv 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} = {π‘š ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2β†‘π‘š)}
5450, 53elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑆)))
5554simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} β†’ 𝑁 < (2↑𝑆))
5648, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 < (2↑𝑆))
5742, 43, 46, 47, 56lelttrd 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (2↑𝑀) < (2↑𝑆))
5820a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 1 < 2)
5941, 36, 33, 58ltexp2d 14214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 < 𝑆 ↔ (2↑𝑀) < (2↑𝑆)))
6057, 59mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 < 𝑆)
6134, 37, 38, 40, 60lelttrd 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 0 < 𝑆)
62 elnnz 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 ∈ β„• ↔ (𝑆 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑆))
6333, 61, 62sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 𝑆 ∈ β„•)
64 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ β„• β†’ (𝑆 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (𝑆 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6612, 65nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (2↑(𝑆 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
6766nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (2↑(𝑆 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
6867mullidd 11232 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (1 Β· (2↑(𝑆 βˆ’ 1))) = (2↑(𝑆 βˆ’ 1)))
6966nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (2↑(𝑆 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
7038ltm1d 12146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (𝑆 βˆ’ 1) < 𝑆)
7165nn0red 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (𝑆 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
7271, 38ltnled 11361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ ((𝑆 βˆ’ 1) < 𝑆 ↔ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑆 βˆ’ 1)))
7370, 72mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑆 βˆ’ 1))
74 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š = (𝑆 βˆ’ 1) β†’ (2β†‘π‘š) = (2↑(𝑆 βˆ’ 1)))
7574breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š = (𝑆 βˆ’ 1) β†’ (𝑁 < (2β†‘π‘š) ↔ 𝑁 < (2↑(𝑆 βˆ’ 1))))
7675, 53elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 βˆ’ 1) ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ ((𝑆 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 βˆ’ 1))))
77 infssuzle 12915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (({𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (𝑆 βˆ’ 1) ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}) β†’ inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≀ (𝑆 βˆ’ 1))
7815, 77mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 βˆ’ 1) ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} β†’ inf({𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≀ (𝑆 βˆ’ 1))
7914, 78eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 βˆ’ 1) ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 βˆ’ 1))
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ ((𝑆 βˆ’ 1) ∈ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 βˆ’ 1)))
8176, 80biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (((𝑆 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 βˆ’ 1))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 βˆ’ 1)))
8265, 81mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 < (2↑(𝑆 βˆ’ 1)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 βˆ’ 1)))
8373, 82mtod 197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑁 < (2↑(𝑆 βˆ’ 1)))
8469, 43, 83nltled 11364 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (2↑(𝑆 βˆ’ 1)) ≀ 𝑁)
8568, 84eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (1 Β· (2↑(𝑆 βˆ’ 1))) ≀ 𝑁)
86 1red 11215 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 1 ∈ ℝ)
87 2rp 12979 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 2 ∈ ℝ+)
89 1z 12592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„€
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 1 ∈ β„€)
9133, 90zsubcld 12671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (𝑆 βˆ’ 1) ∈ β„€)
9288, 91rpexpcld 14210 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (2↑(𝑆 βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
9386, 43, 92lemuldivd 13065 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ ((1 Β· (2↑(𝑆 βˆ’ 1))) ≀ 𝑁 ↔ 1 ≀ (𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1)))))
9485, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 1 ≀ (𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1))))
95 2cn 12287 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„‚
96 expm1t 14056 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝑆 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 βˆ’ 1)) Β· 2))
9795, 63, 96sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 βˆ’ 1)) Β· 2))
9856, 97breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 < ((2↑(𝑆 βˆ’ 1)) Β· 2))
9943, 41, 92ltdivmuld 13067 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ ((𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1))) < 2 ↔ 𝑁 < ((2↑(𝑆 βˆ’ 1)) Β· 2)))
10098, 99mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1))) < 2)
101 df-2 12275 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
102100, 101breqtrdi 5190 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1))) < (1 + 1))
10343, 92rerpdivcld 13047 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
104 flbi 13781 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1)))) = 1 ↔ (1 ≀ (𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1))) < (1 + 1))))
105103, 89, 104sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1)))) = 1 ↔ (1 ≀ (𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1))) < (1 + 1))))
10694, 102, 105mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1)))) = 1)
107106breq2d 5161 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1)))) ↔ 2 βˆ₯ 1))
10811, 107mtbiri 327 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1)))))
1091nn0zd 12584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
110 bitsval2 16366 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑆 βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 βˆ’ 1) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1))))))
111109, 65, 110syl2an2r 684 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ ((𝑆 βˆ’ 1) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑆 βˆ’ 1))))))
112108, 111mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (𝑆 βˆ’ 1) ∈ (bitsβ€˜π‘))
11310, 112sseldd 3984 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (𝑆 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑀))
114 elfzolt2 13641 . . . . . 6 ((𝑆 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑆 βˆ’ 1) < 𝑀)
115113, 114syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (𝑆 βˆ’ 1) < 𝑀)
116 zlem1lt 12614 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑆 ≀ 𝑀 ↔ (𝑆 βˆ’ 1) < 𝑀))
11732, 36, 116syl2an2r 684 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (𝑆 ≀ 𝑀 ↔ (𝑆 βˆ’ 1) < 𝑀))
118115, 117mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ 𝑆 ≀ 𝑀)
11937, 38ltnled 11361 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀 < 𝑆 ↔ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑀))
12060, 119mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (2↑𝑀) ≀ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑀)
121118, 120pm2.65da 816 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (2↑𝑀) ≀ 𝑁)
1227nnred 12227 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2↑𝑀) ∈ ℝ)
12317, 122ltnled 11361 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 < (2↑𝑀) ↔ Β¬ (2↑𝑀) ≀ 𝑁))
124121, 123mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 < (2↑𝑀))
125 elfzo2 13635 . 2 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (2↑𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝑁 < (2↑𝑀)))
1263, 8, 124, 125syl3anbrc 1344 1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  ..^cfzo 13627  βŒŠcfl 13755  β†‘cexp 14027   βˆ₯ cdvds 16197  bitscbits 16360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-dvds 16198  df-bits 16363
This theorem is referenced by:  bitsfzo  16376
  Copyright terms: Public domain W3C validator