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Theorem bitsfzolem 15440
Description: Lemma for bitsfzo 15441. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bitsfzo.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
bitsfzo.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
bitsfzo.3 (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
bitsfzo.4 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
bitsfzolem (𝜑𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bitsfzolem
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsfzo.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 11925 . . 3 0 = (ℤ‘0)
31, 2syl6eleq 2854 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 2nn 11347 . . . . 5 2 ∈ ℕ
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
6 bitsfzo.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
75, 6nnexpcld 13240 . . 3 (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
87nnzd 11731 . 2 (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℤ)
9 bitsfzo.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
109adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
11 n2dvds1 15389 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ∥ 1
124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
13 ssrab2 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ ℕ0
14 bitsfzo.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
1513, 2sseqtri 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ‘0)
16 nnssnn0 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℕ ⊆ ℕ0
171nn0red 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
18 2re 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
20 1lt2 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 < 2
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 1 < 2)
22 expnbnd 13203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
2317, 19, 21, 22syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
24 ssrexv 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛)))
2516, 23, 24mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))
26 rabn0 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))
2725, 26sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅)
28 infssuzcl 11976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ‘0) ∧ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)})
2915, 27, 28sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)})
3014, 29syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)})
3113, 30sseldi 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
3231nn0zd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
34 0red 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
356nn0zd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3736zred 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
3833zred 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
396adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4039nn0ge0d 11603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
4118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
4241, 39reexpcld 13235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
4317adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
445, 31nnexpcld 13240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
4645nnred 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℝ)
47 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
4830adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)})
49 oveq2 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 = 𝑆 → (2↑𝑚) = (2↑𝑆))
5049breq2d 4823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 = 𝑆 → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑𝑆)))
51 oveq2 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
5251breq2d 4823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑚 → (𝑁 < (2↑𝑛) ↔ 𝑁 < (2↑𝑚)))
5352cbvrabv 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} = {𝑚 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑚)}
5450, 53elrab2 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ (𝑆 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑆)))
5554simprbi 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑁 < (2↑𝑆))
5648, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < (2↑𝑆))
5742, 43, 46, 47, 56lelttrd 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) < (2↑𝑆))
5820a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 < 2)
5941, 36, 33, 58ltexp2d 13248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ (2↑𝑀) < (2↑𝑆)))
6057, 59mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑆)
6134, 37, 38, 40, 60lelttrd 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑆)
62 elnnz 11636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑆))
6333, 61, 62sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ)
64 nnm1nn0 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
6612, 65nnexpcld 13240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℕ)
6766nncnd 11294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℂ)
6867mulid2d 10314 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) = (2↑(𝑆 − 1)))
6938ltm1d 11212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑆)
7065nn0red 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℝ)
7170, 38ltnled 10440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
7269, 71mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
73 oveq2 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 = (𝑆 − 1) → (2↑𝑚) = (2↑(𝑆 − 1)))
7473breq2d 4823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (𝑆 − 1) → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
7574, 53elrab2 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
76 infssuzle 11975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ‘0) ∧ (𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
7715, 76mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} → inf({𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
7814, 77syl5eqbr 4846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
8075, 79syl5bir 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (((𝑆 − 1) ∈ ℕ0𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
8165, 80mpand 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
8272, 81mtod 189 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))
8366nnred 11293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ)
8483, 43lenltd 10439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((2↑(𝑆 − 1)) ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
8582, 84mpbird 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ≤ 𝑁)
8668, 85eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁)
87 1red 10296 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
88 2rp 12036 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
90 1z 11657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℤ
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
9233, 91zsubcld 11737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
9389, 92rpexpcld 13242 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ+)
9487, 43, 93lemuldivd 12122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
9586, 94mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))
96 2cn 11349 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
97 expm1t 13098 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
9896, 63, 97sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
9956, 98breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
10043, 41, 93ltdivmuld 12124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2 ↔ 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2)))
10199, 100mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2)
102 df-2 11337 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
103101, 102syl6breq 4852 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))
10443, 93rerpdivcld 12104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℝ)
105 flbi 12828 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
106104, 90, 105sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
10795, 103, 106mpbir2and 704 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1)
108107breq2d 4823 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) ↔ 2 ∥ 1))
10911, 108mtbiri 318 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
1101nn0zd 11730 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
111110adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
112 bitsval2 15431 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑆 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
113111, 65, 112syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
114109, 113mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁))
11510, 114sseldd 3764 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀))
116 elfzolt2 12690 . . . . . 6 ((𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
117115, 116syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
118 zlem1lt 11679 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑆𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
11933, 36, 118syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
120117, 119mpbird 248 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆𝑀)
12137, 38ltnled 10440 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑀))
12260, 121mpbid 223 . . . 4 ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆𝑀)
123120, 122pm2.65da 851 . . 3 (𝜑 → ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
1247nnred 11293 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
12517, 124ltnled 10440 . . 3 (𝜑 → (𝑁 < (2↑𝑀) ↔ ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁))
126123, 125mpbird 248 . 2 (𝜑𝑁 < (2↑𝑀))
127 elfzo2 12684 . 2 (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ (2↑𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑀)))
1283, 8, 126, 127syl3anbrc 1443 1 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  {crab 3059  wss 3734  c0 4081   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  infcinf 8556  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196   < clt 10330  cle 10331  cmin 10522   / cdiv 10940  cn 11276  2c2 11329  0cn0 11540  cz 11626  cuz 11889  +crp 12031  ..^cfzo 12676  cfl 12802  cexp 13070  cdvds 15268  bitscbits 15425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-inf 8558  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-rp 12032  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-seq 13012  df-exp 13071  df-dvds 15269  df-bits 15428
This theorem is referenced by:  bitsfzo  15441
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