Theorem bitsfzolem 16613

Description: Lemma for bitsfzo 16614. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bitsfzo.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
bitsfzo.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
bitsfzo.3	⊢ (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
bitsfzo.4	⊢ 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
bitsfzolem	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bitsfzolem

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsfzo.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 13010	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2870	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
4		2nn 12423	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
6		bitsfzo.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nnexpcld 14396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12726	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℤ)
9		bitsfzo.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
11		n2dvds1 16547	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
12	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
13		ssrab2 4004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ ℕ0
14		bitsfzo.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
15	13, 2	sseqtri 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ≥‘0)
16		nnssnn0 12616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
17	1	nn0red 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
18		2re 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
20		1lt2 12522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 < 2
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
22		expnbnd 14383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
24		ssrexv 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛)))
25	16, 23, 24	mpsyl 69	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))
26		rabn0 4338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))
27	25, 26	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅)
28		infssuzcl 13066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
29	15, 27, 28	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
30	14, 29	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
31	13, 30	sselid 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
34		0red 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
35	6	nn0zd 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
37	36	zred 12810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
38	33	zred 12810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
39	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
40	39	nn0ge0d 12677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
41	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
42	41, 39	reexpcld 14313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
43	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
44	5, 31	nnexpcld 14396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
46	45	nnred 12357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℝ)
47		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
48	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
49		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 = 𝑆 → (2↑𝑚) = (2↑𝑆))
50	49	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 = 𝑆 → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑𝑆)))
51		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
52	51	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑁 < (2↑𝑛) ↔ 𝑁 < (2↑𝑚)))
53	52	cbvrabv 3422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑚)}
54	50, 53	elrab2 3648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑆)))
55	54	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑁 < (2↑𝑆))
56	48, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < (2↑𝑆))
57	42, 43, 46, 47, 56	lelttrd 11475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) < (2↑𝑆))
58	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 < 2)
59	41, 36, 33, 58	ltexp2d 14402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ (2↑𝑀) < (2↑𝑆)))
60	57, 59	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑆)
61	34, 37, 38, 40, 60	lelttrd 11475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑆)
62		elnnz 12710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑆))
63	33, 61, 62	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ)
64		nnm1nn0 12654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
65	63, 64	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
66	12, 65	nnexpcld 14396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 12358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℂ)
68	67	mullidd 11334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) = (2↑(𝑆 − 1)))
69	66	nnred 12357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ)
70	38	ltm1d 12256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑆)
71	65	nn0red 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℝ)
72	71, 38	ltnled 11464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
73	70, 72	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
74		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 = (𝑆 − 1) → (2↑𝑚) = (2↑(𝑆 − 1)))
75	74	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = (𝑆 − 1) → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
76	75, 53	elrab2 3648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
77		infssuzle 13065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
78	15, 77	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
79	14, 78	eqbrtrid 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
81	76, 80	biimtrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
82	65, 81	mpand 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
83	73, 82	mtod 201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))
84	69, 43, 83	nltled 11467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ≤ 𝑁)
85	68, 84	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁)
86		1red 11316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
87		2rp 13132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ+
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
89		1z 12733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℤ
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
91	33, 90	zsubcld 12815	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
92	88, 91	rpexpcld 14398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ+)
93	86, 43, 92	lemuldivd 13220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
94	85, 93	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))
95		2cn 12425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
96		expm1t 14240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
97	95, 63, 96	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
98	56, 97	breqtrd 5130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
99	43, 41, 92	ltdivmuld 13222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2 ↔ 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2)))
100	98, 99	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2)
101		df-2 12412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
102	100, 101	breqtrdi 5145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))
103	43, 92	rerpdivcld 13202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℝ)
104		flbi 13963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
105	103, 89, 104	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
106	94, 102, 105	mpbir2and 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1)
107	106	breq2d 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) ↔ 2 ∥ 1))
108	11, 107	mtbiri 330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
109	1	nn0zd 12725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
110		bitsval2 16604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑆 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
111	109, 65, 110	syl2an2r 698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
112	108, 111	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁))
113	10, 112	sseldd 3910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀))
114		elfzolt2 13810	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
115	113, 114	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
116		zlem1lt 12755	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑆 ≤ 𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
117	32, 36, 116	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 ≤ 𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
118	115, 117	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑀)
119	37, 38	ltnled 11464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ 𝑀))
120	60, 119	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ 𝑀)
121	118, 120	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
122	7	nnred 12357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
123	17, 122	ltnled 11464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < (2↑𝑀) ↔ ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁))
124	121, 123	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (2↑𝑀))
125		elfzo2 13803	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (2↑𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑀)))
126	3, 8, 124, 125	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3896  ∅c0 4277   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  infcinf 9440  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   < clt 11350   ≤ cle 11351   − cmin 11548   / cdiv 11980  ℕcn 12342  2c2 12404  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ℤ_≥cuz 12972  ℝ⁺crp 13127  ..^cfzo 13795  ⌊cfl 13937  ↑cexp 14211   ∥ cdvds 16431  bitscbits 16598

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-dvds 16432  df-bits 16601

This theorem is used by:  bitsfzo  16614