Theorem bitsfzolem 16345

Description: Lemma for bitsfzo 16346. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bitsfzo.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
bitsfzo.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
bitsfzo.3	⊢ (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
bitsfzo.4	⊢ 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
bitsfzolem	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bitsfzolem

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsfzo.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 12774	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
4		2nn 12198	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
6		bitsfzo.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nnexpcld 14152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12495	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℤ)
9		bitsfzo.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀))
11		n2dvds1 16279	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
12	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
13		ssrab2 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ ℕ0
14		bitsfzo.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < )
15	13, 2	sseqtri 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ≥‘0)
16		nnssnn0 12384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
17	1	nn0red 12443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
18		2re 12199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
20		1lt2 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 < 2
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
22		expnbnd 14139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛))
24		ssrexv 3999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛)))
25	16, 23, 24	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))
26		rabn0 4336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))
27	25, 26	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅)
28		infssuzcl 12830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
29	15, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
30	14, 29	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
31	13, 30	sselid 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 12494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
34		0red 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
35	6	nn0zd 12494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
37	36	zred 12577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
38	33	zred 12577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
39	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
40	39	nn0ge0d 12445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
41	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
42	41, 39	reexpcld 14070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
43	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
44	5, 31	nnexpcld 14152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℕ)
46	45	nnred 12140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℝ)
47		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
48	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)})
49		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 = 𝑆 → (2↑𝑚) = (2↑𝑆))
50	49	breq2d 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 = 𝑆 → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑𝑆)))
51		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚))
52	51	breq2d 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑁 < (2↑𝑛) ↔ 𝑁 < (2↑𝑚)))
53	52	cbvrabv 3405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑚)}
54	50, 53	elrab2 3645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑆)))
55	54	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑁 < (2↑𝑆))
56	48, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < (2↑𝑆))
57	42, 43, 46, 47, 56	lelttrd 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) < (2↑𝑆))
58	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 < 2)
59	41, 36, 33, 58	ltexp2d 14158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ (2↑𝑀) < (2↑𝑆)))
60	57, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑆)
61	34, 37, 38, 40, 60	lelttrd 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑆)
62		elnnz 12478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑆))
63	33, 61, 62	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ)
64		nnm1nn0 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
66	12, 65	nnexpcld 14152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 12141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℂ)
68	67	mullidd 11130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) = (2↑(𝑆 − 1)))
69	66	nnred 12140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ)
70	38	ltm1d 12054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑆)
71	65	nn0red 12443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℝ)
72	71, 38	ltnled 11260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
73	70, 72	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
74		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 = (𝑆 − 1) → (2↑𝑚) = (2↑(𝑆 − 1)))
75	74	breq2d 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = (𝑆 − 1) → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
76	75, 53	elrab2 3645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))))
77		infssuzle 12829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
78	15, 77	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1))
79	14, 78	eqbrtrid 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
81	76, 80	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
82	65, 81	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)))
83	73, 82	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))
84	69, 43, 83	nltled 11263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ≤ 𝑁)
85	68, 84	eqbrtrd 5111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁)
86		1red 11113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
87		2rp 12895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ+
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
89		1z 12502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℤ
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
91	33, 90	zsubcld 12582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℤ)
92	88, 91	rpexpcld 14154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈ ℝ+)
93	86, 43, 92	lemuldivd 12983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
94	85, 93	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))
95		2cn 12200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
96		expm1t 13997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
97	95, 63, 96	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
98	56, 97	breqtrd 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2))
99	43, 41, 92	ltdivmuld 12985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2 ↔ 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2)))
100	98, 99	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2)
101		df-2 12188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
102	100, 101	breqtrdi 5130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))
103	43, 92	rerpdivcld 12965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℝ)
104		flbi 13720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
105	103, 89, 104	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1))))
106	94, 102, 105	mpbir2and 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1)
107	106	breq2d 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) ↔ 2 ∥ 1))
108	11, 107	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))))
109	1	nn0zd 12494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
110		bitsval2 16336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑆 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
111	109, 65, 110	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))))
112	108, 111	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁))
113	10, 112	sseldd 3930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀))
114		elfzolt2 13568	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
115	113, 114	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑀)
116		zlem1lt 12524	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑆 ≤ 𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
117	32, 36, 116	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 ≤ 𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀))
118	115, 117	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑀)
119	37, 38	ltnled 11260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ 𝑀))
120	60, 119	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ 𝑀)
121	118, 120	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁)
122	7	nnred 12140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
123	17, 122	ltnled 11260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < (2↑𝑀) ↔ ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁))
124	121, 123	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (2↑𝑀))
125		elfzo2 13562	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (2↑𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑀)))
126	3, 8, 124, 125	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  {crab 3395   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  infcinf 9325  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ℝ⁺crp 12890  ..^cfzo 13554  ⌊cfl 13694  ↑cexp 13968   ∥ cdvds 16163  bitscbits 16330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-dvds 16164  df-bits 16333

This theorem is referenced by:  bitsfzo  16346