| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | bitsfzo.1 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 2 | | nn0uz 12920 |
. . 3
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
| 3 | 1, 2 | eleqtrdi 2851 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
(ℤ≥‘0)) |
| 4 | | 2nn 12339 |
. . . . 5
⊢ 2 ∈
ℕ |
| 5 | 4 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℕ) |
| 6 | | bitsfzo.2 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈
ℕ0) |
| 7 | 5, 6 | nnexpcld 14284 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℕ) |
| 8 | 7 | nnzd 12640 |
. 2
⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℤ) |
| 9 | | bitsfzo.3 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) |
| 10 | 9 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑀)) |
| 11 | | n2dvds1 16405 |
. . . . . . . . 9
⊢ ¬ 2
∥ 1 |
| 12 | 4 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ) |
| 13 | | ssrab2 4080 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ {𝑛 ∈ ℕ0
∣ 𝑁 <
(2↑𝑛)} ⊆
ℕ0 |
| 14 | | bitsfzo.4 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 𝑆 = inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) |
| 15 | 13, 2 | sseqtri 4032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ {𝑛 ∈ ℕ0
∣ 𝑁 <
(2↑𝑛)} ⊆
(ℤ≥‘0) |
| 16 | | nnssnn0 12529 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ℕ
⊆ ℕ0 |
| 17 | 1 | nn0red 12588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 18 | | 2re 12340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 19 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ) |
| 20 | | 1lt2 12437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ 1 <
2 |
| 21 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → 1 < 2) |
| 22 | | expnbnd 14271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈
ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛)) |
| 23 | 17, 19, 21, 22 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛)) |
| 24 | | ssrexv 4053 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (ℕ
⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛))) |
| 25 | 16, 23, 24 | mpsyl 68 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 < (2↑𝑛)) |
| 26 | | rabn0 4389 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0
∣ 𝑁 <
(2↑𝑛)} ≠ ∅
↔ ∃𝑛 ∈
ℕ0 𝑁 <
(2↑𝑛)) |
| 27 | 25, 26 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅) |
| 28 | | infssuzcl 12974 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (({𝑛 ∈ ℕ0
∣ 𝑁 <
(2↑𝑛)} ⊆
(ℤ≥‘0) ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ0
∣ 𝑁 <
(2↑𝑛)}, ℝ, <
) ∈ {𝑛 ∈
ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}) |
| 29 | 15, 27, 28 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0
∣ 𝑁 <
(2↑𝑛)}) |
| 30 | 14, 29 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}) |
| 31 | 13, 30 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈
ℕ0) |
| 32 | 31 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ) |
| 33 | 32 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ) |
| 34 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ) |
| 35 | 6 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
| 36 | 35 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ) |
| 37 | 36 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ) |
| 38 | 33 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ) |
| 39 | 6 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈
ℕ0) |
| 40 | 39 | nn0ge0d 12590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑀) |
| 41 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ) |
| 42 | 41, 39 | reexpcld 14203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ∈ ℝ) |
| 43 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 44 | 5, 31 | nnexpcld 14284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (2↑𝑆) ∈ ℕ) |
| 45 | 44 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℕ) |
| 46 | 45 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) ∈ ℝ) |
| 47 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) ≤ 𝑁) |
| 48 | 30 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}) |
| 49 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑚 = 𝑆 → (2↑𝑚) = (2↑𝑆)) |
| 50 | 49 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑚 = 𝑆 → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑𝑆))) |
| 51 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2↑𝑛) = (2↑𝑚)) |
| 52 | 51 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑁 < (2↑𝑛) ↔ 𝑁 < (2↑𝑚))) |
| 53 | 52 | cbvrabv 3447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ {𝑛 ∈ ℕ0
∣ 𝑁 <
(2↑𝑛)} = {𝑚 ∈ ℕ0
∣ 𝑁 <
(2↑𝑚)} |
| 54 | 50, 53 | elrab2 3695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < (2↑𝑆))) |
| 55 | 54 | simprbi 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑆 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑁 < (2↑𝑆)) |
| 56 | 48, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < (2↑𝑆)) |
| 57 | 42, 43, 46, 47, 56 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑀) < (2↑𝑆)) |
| 58 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 < 2) |
| 59 | 41, 36, 33, 58 | ltexp2d 14290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ (2↑𝑀) < (2↑𝑆))) |
| 60 | 57, 59 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑆) |
| 61 | 34, 37, 38, 40, 60 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑆) |
| 62 | | elnnz 12623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 0 <
𝑆)) |
| 63 | 33, 61, 62 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ) |
| 64 | | nnm1nn0 12567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈
ℕ0) |
| 65 | 63, 64 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈
ℕ0) |
| 66 | 12, 65 | nnexpcld 14284 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈
ℕ) |
| 67 | 66 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈
ℂ) |
| 68 | 67 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) = (2↑(𝑆 − 1))) |
| 69 | 66 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈
ℝ) |
| 70 | 38 | ltm1d 12200 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑆) |
| 71 | 65 | nn0red 12588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℝ) |
| 72 | 71, 38 | ltnled 11408 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))) |
| 73 | 70, 72 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)) |
| 74 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑚 = (𝑆 − 1) → (2↑𝑚) = (2↑(𝑆 − 1))) |
| 75 | 74 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑚 = (𝑆 − 1) → (𝑁 < (2↑𝑚) ↔ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)))) |
| 76 | 75, 53 | elrab2 3695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0
∣ 𝑁 <
(2↑𝑛)} ↔ ((𝑆 − 1) ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
< (2↑(𝑆 −
1)))) |
| 77 | | infssuzle 12973 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (({𝑛 ∈ ℕ0
∣ 𝑁 <
(2↑𝑛)} ⊆
(ℤ≥‘0) ∧ (𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1)) |
| 78 | 15, 77 | mpan 690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0
∣ 𝑁 <
(2↑𝑛)} →
inf({𝑛 ∈
ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)}, ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 1)) |
| 79 | 14, 78 | eqbrtrid 5178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0
∣ 𝑁 <
(2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1)) |
| 80 | 79 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ 𝑁 < (2↑𝑛)} → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))) |
| 81 | 76, 80 | biimtrrid 243 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 ∧
𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))) |
| 82 | 65, 81 | mpand 695 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 < (2↑(𝑆 − 1)) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 1))) |
| 83 | 73, 82 | mtod 198 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑁 < (2↑(𝑆 − 1))) |
| 84 | 69, 43, 83 | nltled 11411 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ≤ 𝑁) |
| 85 | 68, 84 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁) |
| 86 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ) |
| 87 | | 2rp 13039 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
| 88 | 87 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 2 ∈
ℝ+) |
| 89 | | 1z 12647 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 ∈
ℤ |
| 90 | 89 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ) |
| 91 | 33, 90 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ ℤ) |
| 92 | 88, 91 | rpexpcld 14286 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑(𝑆 − 1)) ∈
ℝ+) |
| 93 | 86, 43, 92 | lemuldivd 13126 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((1 · (2↑(𝑆 − 1))) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))))) |
| 94 | 85, 93 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) |
| 95 | | 2cn 12341 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 96 | | expm1t 14131 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((2
∈ ℂ ∧ 𝑆
∈ ℕ) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2)) |
| 97 | 95, 63, 96 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2↑𝑆) = ((2↑(𝑆 − 1)) · 2)) |
| 98 | 56, 97 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) · 2)) |
| 99 | 43, 41, 92 | ltdivmuld 13128 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2 ↔ 𝑁 < ((2↑(𝑆 − 1)) ·
2))) |
| 100 | 98, 99 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < 2) |
| 101 | | df-2 12329 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 = (1 +
1) |
| 102 | 100, 101 | breqtrdi 5184 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 + 1)) |
| 103 | 43, 92 | rerpdivcld 13108 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈
ℝ) |
| 104 | | flbi 13856 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 +
1)))) |
| 105 | 103, 89, 104 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) ∧ (𝑁 / (2↑(𝑆 − 1))) < (1 +
1)))) |
| 106 | 94, 102, 105 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) = 1) |
| 107 | 106 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑆 − 1)))) ↔ 2 ∥
1)) |
| 108 | 11, 107 | mtbiri 327 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 2 ∥
(⌊‘(𝑁 /
(2↑(𝑆 −
1))))) |
| 109 | 1 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 110 | | bitsval2 16462 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑆 − 1) ∈
ℕ0) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥
(⌊‘(𝑁 /
(2↑(𝑆 −
1)))))) |
| 111 | 109, 65, 110 | syl2an2r 685 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ((𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥
(⌊‘(𝑁 /
(2↑(𝑆 −
1)))))) |
| 112 | 108, 111 | mpbird 257 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (bits‘𝑁)) |
| 113 | 10, 112 | sseldd 3984 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀)) |
| 114 | | elfzolt2 13708 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑆 − 1) ∈ (0..^𝑀) → (𝑆 − 1) < 𝑀) |
| 115 | 113, 114 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 − 1) < 𝑀) |
| 116 | | zlem1lt 12669 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑆 ≤ 𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀)) |
| 117 | 32, 36, 116 | syl2an2r 685 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑆 ≤ 𝑀 ↔ (𝑆 − 1) < 𝑀)) |
| 118 | 115, 117 | mpbird 257 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → 𝑆 ≤ 𝑀) |
| 119 | 37, 38 | ltnled 11408 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → (𝑀 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ 𝑀)) |
| 120 | 60, 119 | mpbid 232 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑆 ≤ 𝑀) |
| 121 | 118, 120 | pm2.65da 817 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁) |
| 122 | 7 | nnred 12281 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (2↑𝑀) ∈ ℝ) |
| 123 | 17, 122 | ltnled 11408 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑁 < (2↑𝑀) ↔ ¬ (2↑𝑀) ≤ 𝑁)) |
| 124 | 121, 123 | mpbird 257 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (2↑𝑀)) |
| 125 | | elfzo2 13702 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)
∧ (2↑𝑀) ∈
ℤ ∧ 𝑁 <
(2↑𝑀))) |
| 126 | 3, 8, 124, 125 | syl3anbrc 1344 |
1
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑀))) |