Theorem metakunt30 42247

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt30.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt30.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt30.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt30.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt30.5	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt30.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt30.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt30.8	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
metakunt30.9	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt30.10	⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)

Assertion

Ref	Expression
metakunt30	⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐻   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt30

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt30.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt30.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt30.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		metakunt30.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
5		metakunt30.5	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
6		metakunt30.6	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
7		metakunt30.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
8		metakunt30.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	metakunt28 42245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 − 𝐼))
10	9	fveq2d 6880	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = (𝐶‘(𝑋 − 𝐼)))
11		metakunt30.9	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
13		elfznn 13570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
14	4, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
15		nnre 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
17	2	nnred 12255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 11665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℝ)
19	1	nnred 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19, 17	resubcld 11665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℝ)
21		elfzle2 13545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
22	4, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
23	16, 19, 17, 22	lesub1dd 11853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ≤ (𝑀 − 𝐼))
24	2	nnrpd 13049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ+)
25	19, 24	ltsubrpd 13083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) < 𝑀)
26	18, 20, 19, 23, 25	lelttrd 11393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) < 𝑀)
27	18, 26	ltned 11371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ≠ 𝑀)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) → (𝑋 − 𝐼) ≠ 𝑀)
29		neeq1 2994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 𝐼) → (𝑦 ≠ 𝑀 ↔ (𝑋 − 𝐼) ≠ 𝑀))
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) → (𝑦 ≠ 𝑀 ↔ (𝑋 − 𝐼) ≠ 𝑀))
31	28, 30	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) → 𝑦 ≠ 𝑀)
32	31	neneqd 2937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) → ¬ 𝑦 = 𝑀)
33	32	iffalsed 4511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))
34	17, 18	lenltd 11381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼) ↔ ¬ (𝑋 − 𝐼) < 𝐼))
35	34	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ¬ (𝑋 − 𝐼) < 𝐼)
36	35	3adant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ¬ (𝑋 − 𝐼) < 𝐼)
37		breq1 5122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 𝐼) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑋 − 𝐼) < 𝐼))
38	37	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑋 − 𝐼) < 𝐼))
39	36, 38	mtbird 325	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ¬ 𝑦 < 𝐼)
40	39	iffalsed 4511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1))
41		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝑦 = (𝑋 − 𝐼))
42	41	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑦 + 1) = ((𝑋 − 𝐼) + 1))
43		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼))
44	43	iftrued 4508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) = 1)
45	44	eqcomd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 1 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
46		metakunt30.10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
48	47	eqcomd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) = 𝐻)
49	45, 48	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 1 = 𝐻)
50	49	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ((𝑋 − 𝐼) + 1) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
51	42, 50	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑦 + 1) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
52	40, 51	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
53	52	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
54		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼))
55	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℝ)
56	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝐼 ∈ ℝ)
57	55, 56	ltnled 11382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ((𝑋 − 𝐼) < 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)))
58	54, 57	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑋 − 𝐼) < 𝐼)
59	58	3adant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑋 − 𝐼) < 𝐼)
60	37	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑋 − 𝐼) < 𝐼))
61	59, 60	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝑦 < 𝐼)
62	61	iftrued 4508	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = 𝑦)
63		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝑦 = (𝑋 − 𝐼))
64		nncn 12248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
65	14, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
66	65	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝑋 ∈ ℂ)
67	2	nncnd 12256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
68	67	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝐼 ∈ ℂ)
69	66, 68	subcld 11594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℂ)
70	69	addridd 11435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ((𝑋 − 𝐼) + 0) = (𝑋 − 𝐼))
71	70	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑋 − 𝐼) = ((𝑋 − 𝐼) + 0))
72	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
73		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼))
74	73	iffalsed 4511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) = 0)
75	72, 74	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝐻 = 0)
76	75	eqcomd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 0 = 𝐻)
77	76	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ((𝑋 − 𝐼) + 0) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
78	71, 77	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑋 − 𝐼) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
79	63, 78	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝑦 = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
80	62, 79	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
81	80	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
82	53, 81	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
83	33, 82	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
84		1zzd 12623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
85	1	nnzd 12615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
86	14	nnzd 12615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
87	2	nnzd 12615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
88	86, 87	zsubcld 12702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℤ)
89		1m1e0 12312	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
90	17, 16, 8	nltled 11385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋)
91	7	neqned 2939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐼)
92	90, 91	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝐼))
93	17, 16	ltlend 11380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 ↔ (𝐼 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝐼)))
94	92, 93	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝑋)
95	17, 16	posdifd 11824	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 ↔ 0 < (𝑋 − 𝐼)))
96	94, 95	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 − 𝐼))
97	89, 96	eqbrtrid 5154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) < (𝑋 − 𝐼))
98		zlem1lt 12644	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑋 − 𝐼) ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑋 − 𝐼) ↔ (1 − 1) < (𝑋 − 𝐼)))
99	84, 88, 98	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ (𝑋 − 𝐼) ↔ (1 − 1) < (𝑋 − 𝐼)))
100	97, 99	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 − 𝐼))
101	18, 19, 26	ltled 11383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ≤ 𝑀)
102	84, 85, 88, 100, 101	elfzd 13532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ (1...𝑀))
103		0zd 12600	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
104	84, 103	ifcld 4547	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ)
105	46	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
106	105	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ))
107	104, 106	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
108	88, 107	zaddcld 12701	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻) ∈ ℤ)
109	12, 83, 102, 108	fvmptd 6993	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝑋 − 𝐼)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
110	10, 109	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℕcn 12240  ℤcz 12588  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525

This theorem is referenced by:  metakunt31  42248