Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt30 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt30 39370
 Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt30.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt30.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt30.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt30.4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt30.5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt30.6 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt30.7 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt30.8 (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
metakunt30.9 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt30.10 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0)
Assertion
Ref Expression
metakunt30 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐻   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt30
StepHypRef Expression
1 metakunt30.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 metakunt30.2 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
3 metakunt30.3 . . . 4 (𝜑𝐼𝑀)
4 metakunt30.4 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
5 metakunt30.5 . . . 4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
6 metakunt30.6 . . . 4 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
7 metakunt30.7 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
8 metakunt30.8 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8metakunt28 39368 . . 3 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝑋𝐼))
109fveq2d 6653 . 2 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = (𝐶‘(𝑋𝐼)))
11 metakunt30.9 . . . 4 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
1211a1i 11 . . 3 (𝜑𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
13 elfznn 12935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
144, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
15 nnre 11636 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
172nnred 11644 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
1816, 17resubcld 11061 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐼) ∈ ℝ)
191nnred 11644 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2019, 17resubcld 11061 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℝ)
21 elfzle2 12910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋𝑀)
224, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑀)
2316, 19, 17, 22lesub1dd 11249 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐼) ≤ (𝑀𝐼))
242nnrpd 12421 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ ℝ+)
2519, 24ltsubrpd 12455 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀𝐼) < 𝑀)
2618, 20, 19, 23, 25lelttrd 10791 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐼) < 𝑀)
2718, 26ltned 10769 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐼) ≠ 𝑀)
2827adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼)) → (𝑋𝐼) ≠ 𝑀)
29 neeq1 3052 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑋𝐼) → (𝑦𝑀 ↔ (𝑋𝐼) ≠ 𝑀))
3029adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼)) → (𝑦𝑀 ↔ (𝑋𝐼) ≠ 𝑀))
3128, 30mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼)) → 𝑦𝑀)
3231neneqd 2995 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼)) → ¬ 𝑦 = 𝑀)
3332iffalsed 4439 . . . 4 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))
3417, 18lenltd 10779 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 ≤ (𝑋𝐼) ↔ ¬ (𝑋𝐼) < 𝐼))
3534biimpa 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → ¬ (𝑋𝐼) < 𝐼)
36353adant2 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → ¬ (𝑋𝐼) < 𝐼)
37 breq1 5036 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑋𝐼) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑋𝐼) < 𝐼))
38373ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑋𝐼) < 𝐼))
3936, 38mtbird 328 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → ¬ 𝑦 < 𝐼)
4039iffalsed 4439 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1))
41 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → 𝑦 = (𝑋𝐼))
4241oveq1d 7154 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → (𝑦 + 1) = ((𝑋𝐼) + 1))
43 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → 𝐼 ≤ (𝑋𝐼))
4443iftrued 4436 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0) = 1)
4544eqcomd 2807 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → 1 = if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0))
46 metakunt30.10 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0)
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0))
4847eqcomd 2807 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0) = 𝐻)
4945, 48eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → 1 = 𝐻)
5049oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → ((𝑋𝐼) + 1) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
5142, 50eqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → (𝑦 + 1) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
5240, 51eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
53523expa 1115 . . . . 5 (((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
54 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼))
5518adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → (𝑋𝐼) ∈ ℝ)
5617adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → 𝐼 ∈ ℝ)
5755, 56ltnled 10780 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → ((𝑋𝐼) < 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)))
5854, 57mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → (𝑋𝐼) < 𝐼)
59583adant2 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → (𝑋𝐼) < 𝐼)
60373ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑋𝐼) < 𝐼))
6159, 60mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → 𝑦 < 𝐼)
6261iftrued 4436 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = 𝑦)
63 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → 𝑦 = (𝑋𝐼))
64 nncn 11637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
6514, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
66653ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → 𝑋 ∈ ℂ)
672nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
68673ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → 𝐼 ∈ ℂ)
6966, 68subcld 10990 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → (𝑋𝐼) ∈ ℂ)
7069addid1d 10833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → ((𝑋𝐼) + 0) = (𝑋𝐼))
7170eqcomd 2807 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → (𝑋𝐼) = ((𝑋𝐼) + 0))
7246a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0))
73 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼))
7473iffalsed 4439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0) = 0)
7572, 74eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → 𝐻 = 0)
7675eqcomd 2807 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → 0 = 𝐻)
7776oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → ((𝑋𝐼) + 0) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
7871, 77eqtrd 2836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → (𝑋𝐼) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
7963, 78eqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → 𝑦 = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
8062, 79eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
81803expa 1115 . . . . 5 (((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
8253, 81pm2.61dan 812 . . . 4 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
8333, 82eqtrd 2836 . . 3 ((𝜑𝑦 = (𝑋𝐼)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
84 1zzd 12005 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
851nnzd 12078 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8614nnzd 12078 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
872nnzd 12078 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
8886, 87zsubcld 12084 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐼) ∈ ℤ)
89 1m1e0 11701 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
9017, 16, 8nltled 10783 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑋)
917neqned 2997 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐼)
9290, 91jca 515 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼𝑋𝑋𝐼))
9317, 16ltlend 10778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 ↔ (𝐼𝑋𝑋𝐼)))
9492, 93mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 < 𝑋)
9517, 16posdifd 11220 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 ↔ 0 < (𝑋𝐼)))
9694, 95mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (𝑋𝐼))
9789, 96eqbrtrid 5068 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 1) < (𝑋𝐼))
98 zlem1lt 12026 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑋𝐼) ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑋𝐼) ↔ (1 − 1) < (𝑋𝐼)))
9984, 88, 98syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (1 ≤ (𝑋𝐼) ↔ (1 − 1) < (𝑋𝐼)))
10097, 99mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ (𝑋𝐼))
10118, 19, 26ltled 10781 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐼) ≤ 𝑀)
10284, 85, 88, 100, 101elfzd 12897 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼) ∈ (1...𝑀))
103 0zd 11985 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
10484, 103ifcld 4473 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0) ∈ ℤ)
10546a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0))
106105eleq1d 2877 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0) ∈ ℤ))
107104, 106mpbird 260 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
10888, 107zaddcld 12083 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐼) + 𝐻) ∈ ℤ)
10912, 83, 102, 108fvmptd 6756 . 2 (𝜑 → (𝐶‘(𝑋𝐼)) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
11010, 109eqtrd 2836 1 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℕcn 11629  ℤcz 11973  ...cfz 12889 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator