Theorem metakunt30 39828

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt30.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt30.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt30.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt30.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt30.5	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt30.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt30.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt30.8	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
metakunt30.9	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt30.10	⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)

Assertion

Ref	Expression
metakunt30	⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐻   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt30

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt30.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		metakunt30.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
3		metakunt30.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
4		metakunt30.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
5		metakunt30.5	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
6		metakunt30.6	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
7		metakunt30.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
8		metakunt30.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	metakunt28 39826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 − 𝐼))
10	9	fveq2d 6710	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = (𝐶‘(𝑋 − 𝐼)))
11		metakunt30.9	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
13		elfznn 13124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
14	4, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
15		nnre 11820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
17	2	nnred 11828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℝ)
19	1	nnred 11828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19, 17	resubcld 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℝ)
21		elfzle2 13099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
22	4, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
23	16, 19, 17, 22	lesub1dd 11431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ≤ (𝑀 − 𝐼))
24	2	nnrpd 12609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ+)
25	19, 24	ltsubrpd 12643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) < 𝑀)
26	18, 20, 19, 23, 25	lelttrd 10973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) < 𝑀)
27	18, 26	ltned 10951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ≠ 𝑀)
28	27	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) → (𝑋 − 𝐼) ≠ 𝑀)
29		neeq1 2997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 𝐼) → (𝑦 ≠ 𝑀 ↔ (𝑋 − 𝐼) ≠ 𝑀))
30	29	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) → (𝑦 ≠ 𝑀 ↔ (𝑋 − 𝐼) ≠ 𝑀))
31	28, 30	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) → 𝑦 ≠ 𝑀)
32	31	neneqd 2940	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) → ¬ 𝑦 = 𝑀)
33	32	iffalsed 4440	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))
34	17, 18	lenltd 10961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼) ↔ ¬ (𝑋 − 𝐼) < 𝐼))
35	34	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ¬ (𝑋 − 𝐼) < 𝐼)
36	35	3adant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ¬ (𝑋 − 𝐼) < 𝐼)
37		breq1 5046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑋 − 𝐼) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑋 − 𝐼) < 𝐼))
38	37	3ad2ant2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑋 − 𝐼) < 𝐼))
39	36, 38	mtbird 328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ¬ 𝑦 < 𝐼)
40	39	iffalsed 4440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1))
41		simp2 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝑦 = (𝑋 − 𝐼))
42	41	oveq1d 7217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑦 + 1) = ((𝑋 − 𝐼) + 1))
43		simp3 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼))
44	43	iftrued 4437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) = 1)
45	44	eqcomd 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 1 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
46		metakunt30.10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
48	47	eqcomd 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) = 𝐻)
49	45, 48	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 1 = 𝐻)
50	49	oveq2d 7218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ((𝑋 − 𝐼) + 1) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
51	42, 50	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑦 + 1) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
52	40, 51	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
53	52	3expa 1120	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
54		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼))
55	18	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℝ)
56	17	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝐼 ∈ ℝ)
57	55, 56	ltnled 10962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ((𝑋 − 𝐼) < 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)))
58	54, 57	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑋 − 𝐼) < 𝐼)
59	58	3adant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑋 − 𝐼) < 𝐼)
60	37	3ad2ant2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑋 − 𝐼) < 𝐼))
61	59, 60	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝑦 < 𝐼)
62	61	iftrued 4437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = 𝑦)
63		simp2 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝑦 = (𝑋 − 𝐼))
64		nncn 11821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
65	14, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
66	65	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝑋 ∈ ℂ)
67	2	nncnd 11829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
68	67	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝐼 ∈ ℂ)
69	66, 68	subcld 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℂ)
70	69	addid1d 11015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ((𝑋 − 𝐼) + 0) = (𝑋 − 𝐼))
71	70	eqcomd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑋 − 𝐼) = ((𝑋 − 𝐼) + 0))
72	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
73		simp3 1140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼))
74	73	iffalsed 4440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) = 0)
75	72, 74	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝐻 = 0)
76	75	eqcomd 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 0 = 𝐻)
77	76	oveq2d 7218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → ((𝑋 − 𝐼) + 0) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
78	71, 77	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → (𝑋 − 𝐼) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
79	63, 78	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → 𝑦 = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
80	62, 79	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
81	80	3expa 1120	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
82	53, 81	pm2.61dan 813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
83	33, 82	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑋 − 𝐼)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
84		1zzd 12191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
85	1	nnzd 12264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
86	14	nnzd 12264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
87	2	nnzd 12264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
88	86, 87	zsubcld 12270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℤ)
89		1m1e0 11885	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
90	17, 16, 8	nltled 10965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋)
91	7	neqned 2942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐼)
92	90, 91	jca 515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝐼))
93	17, 16	ltlend 10960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 ↔ (𝐼 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝐼)))
94	92, 93	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝑋)
95	17, 16	posdifd 11402	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 ↔ 0 < (𝑋 − 𝐼)))
96	94, 95	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑋 − 𝐼))
97	89, 96	eqbrtrid 5078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) < (𝑋 − 𝐼))
98		zlem1lt 12212	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑋 − 𝐼) ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑋 − 𝐼) ↔ (1 − 1) < (𝑋 − 𝐼)))
99	84, 88, 98	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ (𝑋 − 𝐼) ↔ (1 − 1) < (𝑋 − 𝐼)))
100	97, 99	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 − 𝐼))
101	18, 19, 26	ltled 10963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ≤ 𝑀)
102	84, 85, 88, 100, 101	elfzd 13086	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ (1...𝑀))
103		0zd 12171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
104	84, 103	ifcld 4475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ)
105	46	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
106	105	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ))
107	104, 106	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
108	88, 107	zaddcld 12269	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻) ∈ ℤ)
109	12, 83, 102, 108	fvmptd 6814	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝑋 − 𝐼)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
110	10, 109	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  ifcif 4429   class class class wbr 5043   ↦ cmpt 5124  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  ℝcr 10711  0cc0 10712  1c1 10713   + caddc 10715   < clt 10850   ≤ cle 10851   − cmin 11045  ℕcn 11813  ℤcz 12159  ...cfz 13078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-rp 12570  df-fz 13079

This theorem is referenced by:  metakunt31  39829