Theorem ltnsymd 11294

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltnsymd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem ltnsymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltled.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4	1, 2, 3	ltled 11293	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 2	lenltd 11291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
6	4, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝcr 11037   < clt 11178   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  fvmptnn04ifd  22809  chfacfscmulgsum  22816  chfacfpmmulgsum  22820  bposlem9  27271  ostth2lem1  27597  tgcgr4  28615  signsvtp  34761  mulltgt0d  42852  mullt0b2d  42854  sn-mullt0d  42855  dffltz  42992  rpnnen3lem  43388  limcrecl  45989  icccncfext  46245  fourierdlem10  46475  fourierdlem40  46505  fourierdlem74  46538  fourierdlem75  46539  fourierdlem78  46542  fourierdlem103  46567  sqwvfoura  46586  sqwvfourb  46587  fourierswlem  46588