MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnsymd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltnsymd 10778
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltnsymd (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem ltnsymd
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltled.1 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
41, 2, 3ltled 10777 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
51, 2lenltd 10775 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
64, 5mpbid 233 1 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5063  cr 10525   < clt 10664  cle 10665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670
This theorem is referenced by:  fvmptnn04ifd  21377  chfacfscmulgsum  21384  chfacfpmmulgsum  21388  bposlem9  25782  ostth2lem1  26108  tgcgr4  26231  signsvtp  31739  dffltz  39136  rpnnen3lem  39493  limcrecl  41775  icccncfext  42035  fourierdlem10  42268  fourierdlem40  42298  fourierdlem74  42331  fourierdlem75  42332  fourierdlem78  42335  fourierdlem103  42360  sqwvfoura  42379  sqwvfourb  42380  fourierswlem  42381
  Copyright terms: Public domain W3C validator