Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbdfbdioolem2 43961
Description: A function on an open interval, with bounded derivative, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioolem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
dvbdfbdioolem2.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
dvbdfbdioolem2.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvbdfbdioolem2.k (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.dvbd (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
dvbdfbdioolem2.m 𝑀 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴)))
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioolem2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem dvbdfbdioolem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbdfbdioolem2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
21ffvelcdmda 7030 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
32recnd 11117 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
43abscld 15257 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
5 dvbdfbdioolem2.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65rexrd 11139 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
7 dvbdfbdioolem2.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
87rexrd 11139 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
95, 7readdcld 11118 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
109rehalfcld 12334 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
11 dvbdfbdioolem2.altb . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
12 avglt1 12325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
135, 7, 12syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
1411, 13mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
15 avglt2 12326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
165, 7, 15syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
1711, 16mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
186, 8, 10, 14, 17eliood 43527 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
191, 18ffvelcdmd 7031 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
2019recnd 11117 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
2120abscld 15257 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
2221adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
234, 22resubcld 11517 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ∈ ℝ)
24 dvbdfbdioolem2.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
2524adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐾 ∈ ℝ)
267adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
275adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2826, 27resubcld 11517 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2925, 28remulcld 11119 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾 · (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
3020adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
313, 30subcld 11446 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
3231abscld 15257 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ∈ ℝ)
333, 30abs2difd 15278 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
34 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝜑)
3510rexrd 11139 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ*)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ*)
378ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38 elioore 13224 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
3938adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4039adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
41 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥)
426adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
438adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
45 iooltub 43539 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
4642, 43, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
4746adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 < 𝐵)
4836, 37, 40, 41, 47eliood 43527 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵))
495adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
507adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
511adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
52 dvbdfbdioolem2.dmdv . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
5352adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
5424adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐾 ∈ ℝ)
55 dvbdfbdioolem2.dvbd . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
56 2fveq3 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
5756breq1d 5114 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾))
5857cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
5955, 58sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
6059adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
6118adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
62 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵))
6349, 50, 51, 53, 54, 60, 61, 62dvbdfbdioolem1 43960 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ((abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝑥 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∧ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
6463simprd 497 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
6534, 48, 64syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
66 fveq2 6838 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) = (𝐹𝑥))
6766eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))
6867adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))
6920adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
7068, 69eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7170, 68subeq0bd 11515 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) = 0)
7271abs00bd 15112 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = 0)
7324adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐾 ∈ ℝ)
747adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
755adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
7674, 75resubcld 11517 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
77 0red 11092 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
78 ioossre 13255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
79 dvfre 25243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
801, 78, 79sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
8118, 52eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
8280, 81ffvelcdmd 7031 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
8382recnd 11117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
8483abscld 15257 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
8583absge0d 15265 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
86 2fveq3 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
8786breq1d 5114 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾))
8887rspccva 3579 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾)
8955, 18, 88syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾)
9077, 84, 24, 85, 89letrd 11246 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
9190adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ 𝐾)
927, 5resubcld 11517 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
935, 7posdifd 11676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
9411, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
9577, 92, 94ltled 11237 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐴))
9695adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ (𝐵𝐴))
9773, 76, 91, 96mulge0d 11666 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
9872, 97eqbrtrd 5126 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
9998ad4ant14 751 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
100 simpll 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
10139ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
10210ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
10339adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
10410ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
105 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥)
106103, 104, 105nltled 11239 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
107106adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
108 neqne 2950 . . . . . . . . . 10 (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≠ 𝑥)
109108adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≠ 𝑥)
110101, 102, 107, 109leneltd 11243 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
1113, 30abssubd 15274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))))
112111adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))))
1135ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1147ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1151ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
11652ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
11724ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐾 ∈ ℝ)
11859ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
11944adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
12038rexrd 11139 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
121120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1228ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12310ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
124 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
12517ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
126121, 122, 123, 124, 125eliood 43527 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝑥(,)𝐵))
127113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 126dvbdfbdioolem1 43960 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (((𝐴 + 𝐵) / 2) − 𝑥)) ∧ (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
128127simprd 497 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
129112, 128eqbrtrd 5126 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
130100, 110, 129syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13199, 130pm2.61dan 812 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13265, 131pm2.61dan 812 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13323, 32, 29, 33, 132letrd 11246 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13423, 29, 22, 133leadd1dd 11703 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
1354recnd 11117 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
13622recnd 11117 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
137135, 136npcand 11450 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘(𝐹𝑥)))
138137eqcomd 2744 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
139 dvbdfbdioolem2.m . . . . 5 𝑀 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴)))
14021recnd 11117 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
14124recnd 11117 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1427recnd 11117 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1435recnd 11117 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
144142, 143subcld 11446 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
145141, 144mulcld 11109 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · (𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
146140, 145addcomd 11291 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴))) = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
147139, 146eqtrid 2790 . . . 4 (𝜑𝑀 = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
148147adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑀 = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
149134, 138, 1483brtr4d 5136 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
150149ralrimiva 3142 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  wral 3063  wss 3909   class class class wbr 5104  dom cdm 5631  wf 6488  cfv 6492  (class class class)co 7350  cc 10983  cr 10984  0cc0 10985   + caddc 10988   · cmul 10990  *cxr 11122   < clt 11123  cle 11124  cmin 11319   / cdiv 11746  2c2 12142  (,)cioo 13194  abscabs 15054   D cdv 25155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-q 12804  df-rp 12846  df-xneg 12963  df-xadd 12964  df-xmul 12965  df-ioo 13198  df-ico 13200  df-icc 13201  df-fz 13355  df-fzo 13498  df-seq 13837  df-exp 13898  df-hash 14160  df-cj 14919  df-re 14920  df-im 14921  df-sqrt 15055  df-abs 15056  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-starv 17084  df-sca 17085  df-vsca 17086  df-ip 17087  df-tset 17088  df-ple 17089  df-ds 17091  df-unif 17092  df-hom 17093  df-cco 17094  df-rest 17240  df-topn 17241  df-0g 17259  df-gsum 17260  df-topgen 17261  df-pt 17262  df-prds 17265  df-xrs 17320  df-qtop 17325  df-imas 17326  df-xps 17328  df-mre 17402  df-mrc 17403  df-acs 17405  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-submnd 18538  df-mulg 18808  df-cntz 19032  df-cmn 19499  df-psmet 20717  df-xmet 20718  df-met 20719  df-bl 20720  df-mopn 20721  df-fbas 20722  df-fg 20723  df-cnfld 20726  df-top 22171  df-topon 22188  df-topsp 22210  df-bases 22224  df-cld 22298  df-ntr 22299  df-cls 22300  df-nei 22377  df-lp 22415  df-perf 22416  df-cn 22506  df-cnp 22507  df-haus 22594  df-cmp 22666  df-tx 22841  df-hmeo 23034  df-fil 23125  df-fm 23217  df-flim 23218  df-flf 23219  df-xms 23601  df-ms 23602  df-tms 23603  df-cncf 24169  df-limc 25158  df-dv 25159
This theorem is referenced by:  dvbdfbdioo  43962
  Copyright terms: Public domain W3C validator