Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbdfbdioolem2 42098
Description: A function on an open interval, with bounded derivative, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioolem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
dvbdfbdioolem2.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
dvbdfbdioolem2.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvbdfbdioolem2.k (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.dvbd (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
dvbdfbdioolem2.m 𝑀 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴)))
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioolem2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem dvbdfbdioolem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbdfbdioolem2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
21ffvelrnda 6849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
32recnd 10663 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
43abscld 14791 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
5 dvbdfbdioolem2.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65rexrd 10685 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
7 dvbdfbdioolem2.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
87rexrd 10685 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
95, 7readdcld 10664 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
109rehalfcld 11878 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
11 dvbdfbdioolem2.altb . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
12 avglt1 11869 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
135, 7, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
1411, 13mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
15 avglt2 11870 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
165, 7, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
1711, 16mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
186, 8, 10, 14, 17eliood 41657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
191, 18ffvelrnd 6850 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
2019recnd 10663 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
2120abscld 14791 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
234, 22resubcld 11062 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ∈ ℝ)
24 dvbdfbdioolem2.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
2524adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐾 ∈ ℝ)
267adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
275adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2826, 27resubcld 11062 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2925, 28remulcld 10665 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾 · (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
3020adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
313, 30subcld 10991 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
3231abscld 14791 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ∈ ℝ)
333, 30abs2difd 14812 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
34 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝜑)
3510rexrd 10685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ*)
3635ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ*)
378ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38 elioore 12763 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
3938adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4039adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
41 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥)
426adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
438adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
45 iooltub 41670 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
4642, 43, 44, 45syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
4746adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 < 𝐵)
4836, 37, 40, 41, 47eliood 41657 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵))
495adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
507adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
511adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
52 dvbdfbdioolem2.dmdv . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
5352adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
5424adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐾 ∈ ℝ)
55 dvbdfbdioolem2.dvbd . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
56 2fveq3 6674 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
5756breq1d 5073 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾))
5857cbvralv 3458 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
5955, 58sylib 219 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
6059adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
6118adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
62 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵))
6349, 50, 51, 53, 54, 60, 61, 62dvbdfbdioolem1 42097 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ((abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝑥 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∧ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
6463simprd 496 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
6534, 48, 64syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
66 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) = (𝐹𝑥))
6766eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))
6920adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
7068, 69eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7170, 68subeq0bd 11060 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) = 0)
7271abs00bd 14646 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = 0)
7324adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐾 ∈ ℝ)
747adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
755adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
7674, 75resubcld 11062 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
77 0red 10638 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
78 ioossre 12793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
79 dvfre 24482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
801, 78, 79sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
8118, 52eleqtrrd 2921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
8280, 81ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
8382recnd 10663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
8483abscld 14791 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
8583absge0d 14799 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
86 2fveq3 6674 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
8786breq1d 5073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾))
8887rspccva 3626 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾)
8955, 18, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾)
9077, 84, 24, 85, 89letrd 10791 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
9190adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ 𝐾)
927, 5resubcld 11062 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
935, 7posdifd 11221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
9411, 93mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
9577, 92, 94ltled 10782 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐴))
9695adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ (𝐵𝐴))
9773, 76, 91, 96mulge0d 11211 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
9872, 97eqbrtrd 5085 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
9998ad4ant14 748 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
100 simpll 763 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
10139ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
10210ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
10339adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
10410ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
105 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥)
106103, 104, 105nltled 10784 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
107106adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
108 neqne 3029 . . . . . . . . . 10 (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≠ 𝑥)
109108adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≠ 𝑥)
110101, 102, 107, 109leneltd 10788 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
1113, 30abssubd 14808 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))))
112111adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))))
1135ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1147ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1151ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
11652ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
11724ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐾 ∈ ℝ)
11859ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
11944adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
12038rexrd 10685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
121120ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1228ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12310ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
124 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
12517ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
126121, 122, 123, 124, 125eliood 41657 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝑥(,)𝐵))
127113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 126dvbdfbdioolem1 42097 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (((𝐴 + 𝐵) / 2) − 𝑥)) ∧ (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
128127simprd 496 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
129112, 128eqbrtrd 5085 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
130100, 110, 129syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13199, 130pm2.61dan 809 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13265, 131pm2.61dan 809 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13323, 32, 29, 33, 132letrd 10791 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13423, 29, 22, 133leadd1dd 11248 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
1354recnd 10663 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
13622recnd 10663 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
137135, 136npcand 10995 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘(𝐹𝑥)))
138137eqcomd 2832 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
139 dvbdfbdioolem2.m . . . . 5 𝑀 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴)))
14021recnd 10663 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
14124recnd 10663 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1427recnd 10663 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1435recnd 10663 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
144142, 143subcld 10991 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
145141, 144mulcld 10655 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · (𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
146140, 145addcomd 10836 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴))) = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
147139, 146syl5eq 2873 . . . 4 (𝜑𝑀 = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
148147adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑀 = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
149134, 138, 1483brtr4d 5095 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
150149ralrimiva 3187 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  wss 3940   class class class wbr 5063  dom cdm 5554  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534   · cmul 10536  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  2c2 11686  (,)cioo 12733  abscabs 14588   D cdv 24395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-haus 21858  df-cmp 21930  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399
This theorem is referenced by:  dvbdfbdioo  42099
  Copyright terms: Public domain W3C validator