Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbdfbdioolem2 45584
Description: A function on an open interval, with bounded derivative, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioolem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
dvbdfbdioolem2.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
dvbdfbdioolem2.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvbdfbdioolem2.k (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.dvbd (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
dvbdfbdioolem2.m 𝑀 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴)))
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioolem2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem dvbdfbdioolem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbdfbdioolem2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
21ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
32recnd 11281 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
43abscld 15434 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
5 dvbdfbdioolem2.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65rexrd 11303 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
7 dvbdfbdioolem2.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
87rexrd 11303 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
95, 7readdcld 11282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
109rehalfcld 12503 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
11 dvbdfbdioolem2.altb . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
12 avglt1 12494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
135, 7, 12syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
1411, 13mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
15 avglt2 12495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
165, 7, 15syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
1711, 16mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
186, 8, 10, 14, 17eliood 45150 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
191, 18ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
2019recnd 11281 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
2120abscld 15434 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
2221adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
234, 22resubcld 11681 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ∈ ℝ)
24 dvbdfbdioolem2.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
2524adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐾 ∈ ℝ)
267adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
275adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2826, 27resubcld 11681 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2925, 28remulcld 11283 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾 · (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
3020adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
313, 30subcld 11610 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
3231abscld 15434 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ∈ ℝ)
333, 30abs2difd 15455 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
34 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝜑)
3510rexrd 11303 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ*)
3635ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ*)
378ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38 elioore 13400 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
3938adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4039adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
41 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥)
426adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
438adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
45 iooltub 45162 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
4642, 43, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
4746adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 < 𝐵)
4836, 37, 40, 41, 47eliood 45150 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵))
495adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
507adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
511adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
52 dvbdfbdioolem2.dmdv . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
5352adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
5424adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐾 ∈ ℝ)
55 dvbdfbdioolem2.dvbd . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
56 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
5756breq1d 5154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾))
5857cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
5955, 58sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
6059adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
6118adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
62 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵))
6349, 50, 51, 53, 54, 60, 61, 62dvbdfbdioolem1 45583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ((abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝑥 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∧ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
6463simprd 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
6534, 48, 64syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
66 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) = (𝐹𝑥))
6766eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))
6867adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))
6920adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
7068, 69eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7170, 68subeq0bd 11679 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) = 0)
7271abs00bd 15289 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = 0)
7324adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐾 ∈ ℝ)
747adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
755adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
7674, 75resubcld 11681 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
77 0red 11256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
78 ioossre 13431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
79 dvfre 25969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
801, 78, 79sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
8118, 52eleqtrrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
8280, 81ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
8382recnd 11281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
8483abscld 15434 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
8583absge0d 15442 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
86 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
8786breq1d 5154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾))
8887rspccva 3607 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾)
8955, 18, 88syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾)
9077, 84, 24, 85, 89letrd 11410 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
9190adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ 𝐾)
927, 5resubcld 11681 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
935, 7posdifd 11840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
9411, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
9577, 92, 94ltled 11401 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐴))
9695adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ (𝐵𝐴))
9773, 76, 91, 96mulge0d 11830 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
9872, 97eqbrtrd 5166 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
9998ad4ant14 750 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
100 simpll 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
10139ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
10210ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
10339adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
10410ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
105 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥)
106103, 104, 105nltled 11403 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
107106adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
108 neqne 2938 . . . . . . . . . 10 (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≠ 𝑥)
109108adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≠ 𝑥)
110101, 102, 107, 109leneltd 11407 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
1113, 30abssubd 15451 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))))
112111adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))))
1135ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1147ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1151ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
11652ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
11724ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐾 ∈ ℝ)
11859ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
11944adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
12038rexrd 11303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
121120ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1228ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12310ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
124 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
12517ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
126121, 122, 123, 124, 125eliood 45150 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝑥(,)𝐵))
127113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 126dvbdfbdioolem1 45583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (((𝐴 + 𝐵) / 2) − 𝑥)) ∧ (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
128127simprd 494 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
129112, 128eqbrtrd 5166 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
130100, 110, 129syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13199, 130pm2.61dan 811 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13265, 131pm2.61dan 811 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13323, 32, 29, 33, 132letrd 11410 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13423, 29, 22, 133leadd1dd 11867 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
1354recnd 11281 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
13622recnd 11281 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
137135, 136npcand 11614 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘(𝐹𝑥)))
138137eqcomd 2732 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
139 dvbdfbdioolem2.m . . . . 5 𝑀 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴)))
14021recnd 11281 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
14124recnd 11281 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1427recnd 11281 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1435recnd 11281 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
144142, 143subcld 11610 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
145141, 144mulcld 11273 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · (𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
146140, 145addcomd 11455 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴))) = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
147139, 146eqtrid 2778 . . . 4 (𝜑𝑀 = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
148147adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑀 = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
149134, 138, 1483brtr4d 5176 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
150149ralrimiva 3136 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wss 3947   class class class wbr 5144  dom cdm 5673  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7414  cc 11145  cr 11146  0cc0 11147   + caddc 11150   · cmul 11152  *cxr 11286   < clt 11287  cle 11288  cmin 11483   / cdiv 11910  2c2 12311  (,)cioo 13370  abscabs 15232   D cdv 25878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225  ax-addf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9397  df-fi 9445  df-sup 9476  df-inf 9477  df-oi 9544  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13374  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-seq 14014  df-exp 14074  df-hash 14341  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-ip 17277  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-hom 17283  df-cco 17284  df-rest 17430  df-topn 17431  df-0g 17449  df-gsum 17450  df-topgen 17451  df-pt 17452  df-prds 17455  df-xrs 17510  df-qtop 17515  df-imas 17516  df-xps 17518  df-mre 17592  df-mrc 17593  df-acs 17595  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19774  df-psmet 21329  df-xmet 21330  df-met 21331  df-bl 21332  df-mopn 21333  df-fbas 21334  df-fg 21335  df-cnfld 21338  df-top 22882  df-topon 22899  df-topsp 22921  df-bases 22935  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-cmp 23377  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24312  df-ms 24313  df-tms 24314  df-cncf 24884  df-limc 25881  df-dv 25882
This theorem is referenced by:  dvbdfbdioo  45585
  Copyright terms: Public domain W3C validator