Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbdfbdioolem2 40940
Description: A function on an open interval, with bounded derivative, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioolem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
dvbdfbdioolem2.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
dvbdfbdioolem2.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvbdfbdioolem2.k (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.dvbd (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
dvbdfbdioolem2.m 𝑀 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴)))
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioolem2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem dvbdfbdioolem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbdfbdioolem2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
21ffvelrnda 6609 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
32recnd 10386 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
43abscld 14553 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
5 dvbdfbdioolem2.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65rexrd 10407 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
7 dvbdfbdioolem2.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
87rexrd 10407 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
95, 7readdcld 10387 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
109rehalfcld 11606 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
11 dvbdfbdioolem2.altb . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
12 avglt1 11597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
135, 7, 12syl2anc 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
1411, 13mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
15 avglt2 11598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
165, 7, 15syl2anc 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
1711, 16mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
186, 8, 10, 14, 17eliood 40520 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
191, 18ffvelrnd 6610 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
2019recnd 10386 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
2120abscld 14553 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
2221adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
234, 22resubcld 10783 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ∈ ℝ)
24 dvbdfbdioolem2.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
2524adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐾 ∈ ℝ)
267adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
275adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2826, 27resubcld 10783 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2925, 28remulcld 10388 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾 · (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
3020adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
313, 30subcld 10714 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
3231abscld 14553 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ∈ ℝ)
333, 30abs2difd 14574 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
34 simpll 785 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝜑)
3510rexrd 10407 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ*)
3635ad2antrr 719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ*)
378ad2antrr 719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38 elioore 12494 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
3938adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4039adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
41 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥)
426adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
438adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
45 iooltub 40533 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
4642, 43, 44, 45syl3anc 1496 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
4746adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 < 𝐵)
4836, 37, 40, 41, 47eliood 40520 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵))
495adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
507adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
511adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
52 dvbdfbdioolem2.dmdv . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
5352adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
5424adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐾 ∈ ℝ)
55 dvbdfbdioolem2.dvbd . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
56 2fveq3 6439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
5756breq1d 4884 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾))
5857cbvralv 3384 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
5955, 58sylib 210 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
6059adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
6118adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
62 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵))
6349, 50, 51, 53, 54, 60, 61, 62dvbdfbdioolem1 40939 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ((abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝑥 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∧ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
6463simprd 491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
6534, 48, 64syl2anc 581 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
66 fveq2 6434 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) = (𝐹𝑥))
6766eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))
6867adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))
6920adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
7068, 69eqeltrd 2907 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7170, 68subeq0bd 10781 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) = 0)
7271abs00bd 14409 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = 0)
7324adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐾 ∈ ℝ)
747adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
755adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
7674, 75resubcld 10783 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
77 0red 10361 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
78 ioossre 12524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
79 dvfre 24114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
801, 78, 79sylancl 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
8118, 52eleqtrrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
8280, 81ffvelrnd 6610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
8382recnd 10386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
8483abscld 14553 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
8583absge0d 14561 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
86 2fveq3 6439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
8786breq1d 4884 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾))
8887rspccva 3526 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾)
8955, 18, 88syl2anc 581 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾)
9077, 84, 24, 85, 89letrd 10514 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
9190adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ 𝐾)
927, 5resubcld 10783 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
935, 7posdifd 10940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
9411, 93mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
9577, 92, 94ltled 10505 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐴))
9695adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ (𝐵𝐴))
9773, 76, 91, 96mulge0d 10930 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
9872, 97eqbrtrd 4896 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
9998ad4ant14 761 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
100 simpll 785 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
10139ad2antrr 719 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
10210ad3antrrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
10339adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
10410ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
105 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥)
106103, 104, 105nltled 10507 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
107106adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
108 neqne 3008 . . . . . . . . . 10 (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≠ 𝑥)
109108adantl 475 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≠ 𝑥)
110101, 102, 107, 109leneltd 10511 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
1113, 30abssubd 14570 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))))
112111adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))))
1135ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1147ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1151ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
11652ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
11724ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐾 ∈ ℝ)
11859ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
11944adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
12038rexrd 10407 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
121120ad2antlr 720 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1228ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12310ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
124 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
12517ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
126121, 122, 123, 124, 125eliood 40520 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝑥(,)𝐵))
127113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 126dvbdfbdioolem1 40939 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (((𝐴 + 𝐵) / 2) − 𝑥)) ∧ (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
128127simprd 491 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
129112, 128eqbrtrd 4896 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
130100, 110, 129syl2anc 581 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13199, 130pm2.61dan 849 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13265, 131pm2.61dan 849 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13323, 32, 29, 33, 132letrd 10514 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13423, 29, 22, 133leadd1dd 10967 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
1354recnd 10386 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
13622recnd 10386 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
137135, 136npcand 10718 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘(𝐹𝑥)))
138137eqcomd 2832 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
139 dvbdfbdioolem2.m . . . . 5 𝑀 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴)))
14021recnd 10386 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
14124recnd 10386 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1427recnd 10386 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1435recnd 10386 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
144142, 143subcld 10714 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
145141, 144mulcld 10378 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · (𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
146140, 145addcomd 10558 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴))) = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
147139, 146syl5eq 2874 . . . 4 (𝜑𝑀 = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
148147adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑀 = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
149134, 138, 1483brtr4d 4906 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
150149ralrimiva 3176 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  wral 3118  wss 3799   class class class wbr 4874  dom cdm 5343  wf 6120  cfv 6124  (class class class)co 6906  cc 10251  cr 10252  0cc0 10253   + caddc 10256   · cmul 10258  *cxr 10391   < clt 10392  cle 10393  cmin 10586   / cdiv 11010  2c2 11407  (,)cioo 12464  abscabs 14352   D cdv 24027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-ioo 12468  df-ico 12470  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-hom 16330  df-cco 16331  df-rest 16437  df-topn 16438  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-topgen 16458  df-pt 16459  df-prds 16462  df-xrs 16516  df-qtop 16521  df-imas 16522  df-xps 16524  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-mulg 17896  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-fbas 20104  df-fg 20105  df-cnfld 20108  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-cld 21195  df-ntr 21196  df-cls 21197  df-nei 21274  df-lp 21312  df-perf 21313  df-cn 21403  df-cnp 21404  df-haus 21491  df-cmp 21562  df-tx 21737  df-hmeo 21930  df-fil 22021  df-fm 22113  df-flim 22114  df-flf 22115  df-xms 22496  df-ms 22497  df-tms 22498  df-cncf 23052  df-limc 24030  df-dv 24031
This theorem is referenced by:  dvbdfbdioo  40941
  Copyright terms: Public domain W3C validator