Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbdfbdioolem2 40940
 Description: A function on an open interval, with bounded derivative, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioolem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
dvbdfbdioolem2.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
dvbdfbdioolem2.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvbdfbdioolem2.k (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem2.dvbd (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
dvbdfbdioolem2.m 𝑀 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴)))
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioolem2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem dvbdfbdioolem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbdfbdioolem2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
21ffvelrnda 6609 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
32recnd 10386 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
43abscld 14553 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
5 dvbdfbdioolem2.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65rexrd 10407 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
7 dvbdfbdioolem2.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
87rexrd 10407 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
95, 7readdcld 10387 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
109rehalfcld 11606 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
11 dvbdfbdioolem2.altb . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
12 avglt1 11597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
135, 7, 12syl2anc 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
1411, 13mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
15 avglt2 11598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
165, 7, 15syl2anc 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
1711, 16mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
186, 8, 10, 14, 17eliood 40520 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
191, 18ffvelrnd 6610 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
2019recnd 10386 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
2120abscld 14553 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
2221adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
234, 22resubcld 10783 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ∈ ℝ)
24 dvbdfbdioolem2.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
2524adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐾 ∈ ℝ)
267adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
275adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2826, 27resubcld 10783 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2925, 28remulcld 10388 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾 · (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
3020adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
313, 30subcld 10714 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
3231abscld 14553 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ∈ ℝ)
333, 30abs2difd 14574 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
34 simpll 785 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝜑)
3510rexrd 10407 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ*)
3635ad2antrr 719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ*)
378ad2antrr 719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38 elioore 12494 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
3938adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4039adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
41 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥)
426adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
438adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
45 iooltub 40533 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
4642, 43, 44, 45syl3anc 1496 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
4746adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 < 𝐵)
4836, 37, 40, 41, 47eliood 40520 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵))
495adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
507adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
511adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
52 dvbdfbdioolem2.dmdv . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
5352adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
5424adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝐾 ∈ ℝ)
55 dvbdfbdioolem2.dvbd . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
56 2fveq3 6439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
5756breq1d 4884 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾))
5857cbvralv 3384 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
5955, 58sylib 210 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
6059adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
6118adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
62 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵))
6349, 50, 51, 53, 54, 60, 61, 62dvbdfbdioolem1 40939 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → ((abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝑥 − ((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∧ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
6463simprd 491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝐴 + 𝐵) / 2)(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
6534, 48, 64syl2anc 581 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
66 fveq2 6434 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) = (𝐹𝑥))
6766eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))
6867adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))
6920adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
7068, 69eqeltrd 2907 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7170, 68subeq0bd 10781 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) = 0)
7271abs00bd 14409 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = 0)
7324adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐾 ∈ ℝ)
747adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
755adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
7674, 75resubcld 10783 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
77 0red 10361 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
78 ioossre 12524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
79 dvfre 24114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
801, 78, 79sylancl 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
8118, 52eleqtrrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
8280, 81ffvelrnd 6610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
8382recnd 10386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
8483abscld 14553 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
8583absge0d 14561 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
86 2fveq3 6439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
8786breq1d 4884 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾))
8887rspccva 3526 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾)
8955, 18, 88syl2anc 581 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝐾)
9077, 84, 24, 85, 89letrd 10514 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
9190adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ 𝐾)
927, 5resubcld 10783 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
935, 7posdifd 10940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
9411, 93mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
9577, 92, 94ltled 10505 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐴))
9695adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ (𝐵𝐴))
9773, 76, 91, 96mulge0d 10930 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 0 ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
9872, 97eqbrtrd 4896 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
9998ad4ant14 761 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
100 simpll 785 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
10139ad2antrr 719 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
10210ad3antrrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
10339adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
10410ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
105 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥)
106103, 104, 105nltled 10507 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → 𝑥 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
107106adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
108 neqne 3008 . . . . . . . . . 10 (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≠ 𝑥)
109108adantl 475 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≠ 𝑥)
110101, 102, 107, 109leneltd 10511 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
1113, 30abssubd 14570 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))))
112111adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))))
1135ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1147ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1151ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
11652ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
11724ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐾 ∈ ℝ)
11859ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝐾)
11944adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
12038rexrd 10407 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
121120ad2antlr 720 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1228ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12310ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
124 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
12517ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
126121, 122, 123, 124, 125eliood 40520 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝑥(,)𝐵))
127113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 126dvbdfbdioolem1 40939 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → ((abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (((𝐴 + 𝐵) / 2) − 𝑥)) ∧ (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
128127simprd 491 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) − (𝐹𝑥))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
129112, 128eqbrtrd 4896 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
130100, 110, 129syl2anc 581 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) = 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13199, 130pm2.61dan 849 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13265, 131pm2.61dan 849 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13323, 32, 29, 33, 132letrd 10514 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13423, 29, 22, 133leadd1dd 10967 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) ≤ ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
1354recnd 10386 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
13622recnd 10386 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
137135, 136npcand 10718 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) = (abs‘(𝐹𝑥)))
138137eqcomd 2832 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (((abs‘(𝐹𝑥)) − (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
139 dvbdfbdioolem2.m . . . . 5 𝑀 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴)))
14021recnd 10386 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
14124recnd 10386 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1427recnd 10386 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1435recnd 10386 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
144142, 143subcld 10714 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
145141, 144mulcld 10378 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · (𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
146140, 145addcomd 10558 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝐾 · (𝐵𝐴))) = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
147139, 146syl5eq 2874 . . . 4 (𝜑𝑀 = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
148147adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑀 = ((𝐾 · (𝐵𝐴)) + (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)))))
149134, 138, 1483brtr4d 4906 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
150149ralrimiva 3176 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑀)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  ∀wral 3118   ⊆ wss 3799   class class class wbr 4874  dom cdm 5343  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  ℝcr 10252  0cc0 10253   + caddc 10256   · cmul 10258  ℝ*cxr 10391   < clt 10392   ≤ cle 10393   − cmin 10586   / cdiv 11010  2c2 11407  (,)cioo 12464  abscabs 14352   D cdv 24027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-ioo 12468  df-ico 12470  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-hom 16330  df-cco 16331  df-rest 16437  df-topn 16438  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-topgen 16458  df-pt 16459  df-prds 16462  df-xrs 16516  df-qtop 16521  df-imas 16522  df-xps 16524  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-mulg 17896  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-fbas 20104  df-fg 20105  df-cnfld 20108  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-cld 21195  df-ntr 21196  df-cls 21197  df-nei 21274  df-lp 21312  df-perf 21313  df-cn 21403  df-cnp 21404  df-haus 21491  df-cmp 21562  df-tx 21737  df-hmeo 21930  df-fil 22021  df-fm 22113  df-flim 22114  df-flf 22115  df-xms 22496  df-ms 22497  df-tms 22498  df-cncf 23052  df-limc 24030  df-dv 24031 This theorem is referenced by:  dvbdfbdioo  40941
 Copyright terms: Public domain W3C validator