Theorem ntrneicls11 45034

Description: If (pseudo-)interior and (pseudo-)neighborhood functions are related by the operator, 𝐹, then conditions equal to claiming that the interior of the empty set is the empty set hold equally. (Contributed by RP, 2-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneicls11	⊢ (𝜑 → ((𝐼‘∅) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)   𝐼(𝑖, 𝑗)   𝑁(𝑥, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)   𝑂(𝑥, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)

Proof of Theorem ntrneicls11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrnei.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
2		ntrnei.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3		ntrnei.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
4	1, 2, 3	ntrneiiex 45020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
5		elmapi 8847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
7		0elpw 5316	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐵
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝐵)
9	6, 8	ffvelcdmd 7073	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘∅) ∈ 𝒫 𝐵)
10	9	elpwid 4565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘∅) ⊆ 𝐵)
11		reldisj 4405	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘∅) ⊆ 𝐵 → (((𝐼‘∅) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵)))
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘∅) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵)))
13	12	bicomd 226	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵) ↔ ((𝐼‘∅) ∩ 𝐵) = ∅))
14		difid 4324	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐵) = ∅
15	14	sseq2i 3959	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵) ↔ (𝐼‘∅) ⊆ ∅)
16		ss0b 4350	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘∅) ⊆ ∅ ↔ (𝐼‘∅) = ∅)
17	15, 16	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵) ↔ (𝐼‘∅) = ∅)
18		disjr 4403	. . 3 ⊢ (((𝐼‘∅) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘∅))
19	13, 17, 18	3bitr3g 316	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘∅) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘∅)))
20	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
21		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
22	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∅ ∈ 𝒫 𝐵)
23	1, 2, 20, 21, 22	ntrneiel 45025	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘∅) ↔ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))
24	23	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘∅) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))
25	24	ralbidva 3183	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))
26	19, 25	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘∅) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   ↑_m cmap 8825

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-map 8827

This theorem is used by: (None)