Theorem ntrneicls11 40793

Description: If (pseudo-)interior and (pseudo-)neighborhood functions are related by the operator, 𝐹, then conditions equal to claiming that the interior of the empty set is the empty set hold equally. (Contributed by RP, 2-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneicls11	⊢ (𝜑 → ((𝐼‘∅) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)

Proof of Theorem ntrneicls11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrnei.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
2		ntrnei.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3		ntrnei.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
4	1, 2, 3	ntrneiiex 40779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
5		elmapi 8411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
7		0elpw 5221	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐵
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝐵)
9	6, 8	ffvelrnd 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘∅) ∈ 𝒫 𝐵)
10	9	elpwid 4508	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘∅) ⊆ 𝐵)
11		reldisj 4359	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘∅) ⊆ 𝐵 → (((𝐼‘∅) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵)))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘∅) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵)))
13	12	bicomd 226	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵) ↔ ((𝐼‘∅) ∩ 𝐵) = ∅))
14		difid 4284	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐵) = ∅
15	14	sseq2i 3944	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵) ↔ (𝐼‘∅) ⊆ ∅)
16		ss0b 4305	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘∅) ⊆ ∅ ↔ (𝐼‘∅) = ∅)
17	15, 16	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵) ↔ (𝐼‘∅) = ∅)
18		disjr 4357	. . 3 ⊢ (((𝐼‘∅) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘∅))
19	13, 17, 18	3bitr3g 316	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘∅) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘∅)))
20	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
21		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
22	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∅ ∈ 𝒫 𝐵)
23	1, 2, 20, 21, 22	ntrneiel 40784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘∅) ↔ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))
24	23	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘∅) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))
25	24	ralbidva 3161	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))
26	19, 25	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘∅) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  {crab 3110  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137   ↑_m cmap 8389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-map 8391

This theorem is referenced by: (None)