Theorem ntrneicls11 44072

Description: If (pseudo-)interior and (pseudo-)neighborhood functions are related by the operator, 𝐹, then conditions equal to claiming that the interior of the empty set is the empty set hold equally. (Contributed by RP, 2-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneicls11	⊢ (𝜑 → ((𝐼‘∅) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)

Proof of Theorem ntrneicls11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrnei.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
2		ntrnei.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3		ntrnei.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
4	1, 2, 3	ntrneiiex 44058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
5		elmapi 8799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
7		0elpw 5306	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐵
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝐵)
9	6, 8	ffvelcdmd 7039	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘∅) ∈ 𝒫 𝐵)
10	9	elpwid 4568	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘∅) ⊆ 𝐵)
11		reldisj 4412	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘∅) ⊆ 𝐵 → (((𝐼‘∅) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵)))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘∅) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵)))
13	12	bicomd 223	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵) ↔ ((𝐼‘∅) ∩ 𝐵) = ∅))
14		difid 4335	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐵) = ∅
15	14	sseq2i 3973	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵) ↔ (𝐼‘∅) ⊆ ∅)
16		ss0b 4360	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘∅) ⊆ ∅ ↔ (𝐼‘∅) = ∅)
17	15, 16	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐼‘∅) ⊆ (𝐵 ∖ 𝐵) ↔ (𝐼‘∅) = ∅)
18		disjr 4410	. . 3 ⊢ (((𝐼‘∅) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘∅))
19	13, 17, 18	3bitr3g 313	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘∅) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘∅)))
20	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
21		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
22	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∅ ∈ 𝒫 𝐵)
23	1, 2, 20, 21, 22	ntrneiel 44063	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘∅) ↔ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))
24	23	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘∅) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))
25	24	ralbidva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))
26	19, 25	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘∅) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ∅ ∈ (𝑁‘𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3402  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371   ↑_m cmap 8776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-map 8778

This theorem is referenced by: (None)