Theorem nv0lid 30665

Description: The zero vector is a left identity element. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nv0id.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nv0id.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nv0id.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nv0lid	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑍𝐺𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem nv0lid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nv0id.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2		nv0id.6	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	0vfval 30635	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘𝐺))
4	3	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑍𝐺𝐴) = ((GId‘𝐺)𝐺𝐴))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑍𝐺𝐴) = ((GId‘𝐺)𝐺𝐴))
6	1	nvgrp 30646	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
7		nv0id.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8	7, 1	bafval 30633	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (GId‘𝐺) = (GId‘𝐺)
10	8, 9	grpolid 30545	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((GId‘𝐺)𝐺𝐴) = 𝐴)
11	6, 10	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((GId‘𝐺)𝐺𝐴) = 𝐴)
12	5, 11	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑍𝐺𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  GrpOpcgr 30518  GIdcgi 30519  NrmCVeccnv 30613   +_𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615  0_veccn0v 30617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629

This theorem is referenced by:  nvpncan2  30682  nvmeq0  30687  imsmetlem  30719  ipdirilem  30858