MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nv0 28328
Description: Zero times a vector is the zero vector. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nv0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nv0.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nv0.6 𝑍 = (0vec𝑈)
Assertion
Ref Expression
nv0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem nv0
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . . 4 (1st𝑈) = (1st𝑈)
21nvvc 28306 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st𝑈) ∈ CVecOLD)
3 eqid 2826 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
43vafval 28294 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = (1st ‘(1st𝑈))
5 nv0.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
65smfval 28296 . . . 4 𝑆 = (2nd ‘(1st𝑈))
7 nv0.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
87, 3bafval 28295 . . . 4 𝑋 = ran ( +𝑣𝑈)
9 eqid 2826 . . . 4 (GId‘( +𝑣𝑈)) = (GId‘( +𝑣𝑈))
104, 6, 8, 9vc0 28265 . . 3 (((1st𝑈) ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = (GId‘( +𝑣𝑈)))
112, 10sylan 580 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = (GId‘( +𝑣𝑈)))
12 nv0.6 . . . 4 𝑍 = (0vec𝑈)
133, 120vfval 28297 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘( +𝑣𝑈)))
1413adantr 481 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 𝑍 = (GId‘( +𝑣𝑈)))
1511, 14eqtr4d 2864 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6352  (class class class)co 7148  1st c1st 7678  0cc0 10526  GIdcgi 28181  CVecOLDcvc 28249  NrmCVeccnv 28275   +𝑣 cpv 28276  BaseSetcba 28277   ·𝑠OLD cns 28278  0veccn0v 28279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-grpo 28184  df-gid 28185  df-ginv 28186  df-ablo 28236  df-vc 28250  df-nv 28283  df-va 28286  df-ba 28287  df-sm 28288  df-0v 28289  df-nmcv 28291
This theorem is referenced by:  nvmul0or  28341  nvz0  28359  nvge0  28364  ipasslem1  28522  hlmul0  28600
  Copyright terms: Public domain W3C validator