MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdirilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipdirilem 30350
Description: Lemma for ipdiri 30351. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipdiri.8 𝐴 ∈ 𝑋
ipdiri.9 𝐡 ∈ 𝑋
ipdiri.10 𝐢 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
ipdirilem ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢))

Proof of Theorem ipdirilem
StepHypRef Expression
1 2cn 12292 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
2 2ne0 12321 . . . . . . 7 2 β‰  0
31, 2recidi 11950 . . . . . 6 (2 Β· (1 / 2)) = 1
43oveq1i 7422 . . . . 5 ((2 Β· (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐡)) = (1𝑆(𝐴𝐺𝐡))
5 ip1i.9 . . . . . . 7 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
65phnvi 30337 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
7 halfcn 12432 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ β„‚
8 ipdiri.8 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ 𝑋
9 ipdiri.9 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ 𝑋
10 ip1i.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
11 ip1i.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
1210, 11nvgcl 30141 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
136, 8, 9, 12mp3an 1460 . . . . . . 7 (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋
141, 7, 133pm3.2i 1338 . . . . . 6 (2 ∈ β„‚ ∧ (1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
15 ip1i.4 . . . . . . 7 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
1610, 15nvsass 30149 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ (1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)) β†’ ((2 Β· (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐡)) = (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))))
176, 14, 16mp2an 689 . . . . 5 ((2 Β· (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐡)) = (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡)))
1810, 15nvsid 30148 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆(𝐴𝐺𝐡)) = (𝐴𝐺𝐡))
196, 13, 18mp2an 689 . . . . 5 (1𝑆(𝐴𝐺𝐡)) = (𝐴𝐺𝐡)
204, 17, 193eqtr3i 2767 . . . 4 (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))) = (𝐴𝐺𝐡)
2120oveq1i 7422 . . 3 ((2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡)))𝑃𝐢) = ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢)
22 ip1i.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
2310, 15nvscl 30147 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋) β†’ ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡)) ∈ 𝑋)
246, 7, 13, 23mp3an 1460 . . . 4 ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡)) ∈ 𝑋
25 ipdiri.10 . . . 4 𝐢 ∈ 𝑋
2610, 11, 15, 22, 5, 24, 25ip2i 30349 . . 3 ((2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡)))𝑃𝐢) = (2 Β· (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝑃𝐢))
2721, 26eqtr3i 2761 . 2 ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = (2 Β· (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝑃𝐢))
28 neg1cn 12331 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
2910, 15nvscl 30147 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
306, 28, 9, 29mp3an 1460 . . . . 5 (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋
3110, 11nvgcl 30141 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
326, 8, 30, 31mp3an 1460 . . . 4 (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋
3310, 15nvscl 30147 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) ∈ 𝑋)
346, 7, 32, 33mp3an 1460 . . 3 ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) ∈ 𝑋
3510, 11, 15, 22, 5, 24, 34, 25ip1i 30348 . 2 (((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))𝑃𝐢) + ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))))𝑃𝐢)) = (2 Β· (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝑃𝐢))
36 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (1st β€˜π‘ˆ) = (1st β€˜π‘ˆ)
3736nvvc 30136 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (1st β€˜π‘ˆ) ∈ CVecOLD)
386, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1st β€˜π‘ˆ) ∈ CVecOLD
3911vafval 30124 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (1st β€˜(1st β€˜π‘ˆ))
4039vcablo 30090 . . . . . . . . . 10 ((1st β€˜π‘ˆ) ∈ CVecOLD β†’ 𝐺 ∈ AbelOp)
4138, 40ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ AbelOp
428, 9pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)
438, 30pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
4410, 11bafval 30125 . . . . . . . . . 10 𝑋 = ran 𝐺
4544ablo4 30071 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐡𝐺(-1𝑆𝐡))))
4641, 42, 43, 45mp3an 1460 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐡𝐺(-1𝑆𝐡)))
4715smfval 30126 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (2nd β€˜(1st β€˜π‘ˆ))
4839, 47, 44vc2OLD 30089 . . . . . . . . . 10 (((1st β€˜π‘ˆ) ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺𝐴) = (2𝑆𝐴))
4938, 8, 48mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐺𝐴) = (2𝑆𝐴)
50 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
5110, 11, 15, 50nvrinv 30172 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺(-1𝑆𝐡)) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
526, 9, 51mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝐡𝐺(-1𝑆𝐡)) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
5349, 52oveq12i 7424 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐡𝐺(-1𝑆𝐡))) = ((2𝑆𝐴)𝐺(0vecβ€˜π‘ˆ))
5410, 15nvscl 30147 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
556, 1, 8, 54mp3an 1460 . . . . . . . . 9 (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋
5610, 11, 50nv0rid 30156 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ ((2𝑆𝐴)𝐺(0vecβ€˜π‘ˆ)) = (2𝑆𝐴))
576, 55, 56mp2an 689 . . . . . . . 8 ((2𝑆𝐴)𝐺(0vecβ€˜π‘ˆ)) = (2𝑆𝐴)
5846, 53, 573eqtri 2763 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = (2𝑆𝐴)
5958oveq2i 7423 . . . . . 6 ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐡)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴))
607, 1, 83pm3.2i 1338 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
6110, 15nvsass 30149 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (((1 / 2) Β· 2)𝑆𝐴) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴)))
626, 60, 61mp2an 689 . . . . . 6 (((1 / 2) Β· 2)𝑆𝐴) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴))
6359, 62eqtr4i 2762 . . . . 5 ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐡)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))) = (((1 / 2) Β· 2)𝑆𝐴)
647, 13, 323pm3.2i 1338 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
6510, 11, 15nvdi 30151 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)) β†’ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐡)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))))
666, 64, 65mp2an 689 . . . . 5 ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐡)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))
67 ax-1cn 11172 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
6867, 1, 2divcan1i 11963 . . . . . . 7 ((1 / 2) Β· 2) = 1
6968oveq1i 7422 . . . . . 6 (((1 / 2) Β· 2)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
7010, 15nvsid 30148 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐴) = 𝐴)
716, 8, 70mp2an 689 . . . . . 6 (1𝑆𝐴) = 𝐴
7269, 71eqtri 2759 . . . . 5 (((1 / 2) Β· 2)𝑆𝐴) = 𝐴
7363, 66, 723eqtr3i 2767 . . . 4 (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))) = 𝐴
7473oveq1i 7422 . . 3 ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))𝑃𝐢) = (𝐴𝑃𝐢)
7528, 7mulcomi 11227 . . . . . . . . 9 (-1 Β· (1 / 2)) = ((1 / 2) Β· -1)
7675oveq1i 7422 . . . . . . . 8 ((-1 Β· (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = (((1 / 2) Β· -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))
7728, 7, 323pm3.2i 1338 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ β„‚ ∧ (1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
7810, 15nvsass 30149 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ (1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)) β†’ ((-1 Β· (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = (-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))))
796, 77, 78mp2an 689 . . . . . . . 8 ((-1 Β· (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = (-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))
807, 28, 323pm3.2i 1338 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
8110, 15nvsass 30149 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)) β†’ (((1 / 2) Β· -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = ((1 / 2)𝑆(-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))))
826, 80, 81mp2an 689 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) Β· -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = ((1 / 2)𝑆(-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))
8328, 8, 303pm3.2i 1338 . . . . . . . . . . . 12 (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
8410, 11, 15nvdi 30151 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)) β†’ (-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐡))))
856, 83, 84mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐡)))
86 neg1mulneg1e1 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 Β· -1) = 1
8786oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 Β· -1)𝑆𝐡) = (1𝑆𝐡)
8828, 28, 93pm3.2i 1338 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)
8910, 15nvsass 30149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((-1 Β· -1)𝑆𝐡) = (-1𝑆(-1𝑆𝐡)))
906, 88, 89mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 Β· -1)𝑆𝐡) = (-1𝑆(-1𝑆𝐡))
9110, 15nvsid 30148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
926, 9, 91mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 (1𝑆𝐡) = 𝐡
9387, 90, 923eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . 12 (-1𝑆(-1𝑆𝐡)) = 𝐡
9493oveq2i 7423 . . . . . . . . . . 11 ((-1𝑆𝐴)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐡))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡)
9585, 94eqtri 2759 . . . . . . . . . 10 (-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡)
9695oveq2i 7423 . . . . . . . . 9 ((1 / 2)𝑆(-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))) = ((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡))
9782, 96eqtri 2759 . . . . . . . 8 (((1 / 2) Β· -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = ((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡))
9876, 79, 973eqtr3i 2767 . . . . . . 7 (-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))) = ((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡))
9998oveq2i 7423 . . . . . 6 (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡)))
10010, 15nvscl 30147 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1016, 28, 8, 100mp3an 1460 . . . . . . . . 9 (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋
10210, 11nvgcl 30141 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
1036, 101, 9, 102mp3an 1460 . . . . . . . 8 ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡) ∈ 𝑋
1047, 13, 1033pm3.2i 1338 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋 ∧ ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
10510, 11, 15nvdi 30151 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋 ∧ ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡) ∈ 𝑋)) β†’ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐡)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡))))
1066, 104, 105mp2an 689 . . . . . 6 ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐡)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡)))
10799, 106eqtr4i 2762 . . . . 5 (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))) = ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐡)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡)))
108101, 9pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)
10944ablo4 30071 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡)) = ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐡𝐺𝐡)))
11041, 42, 108, 109mp3an 1460 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐺𝐡)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡)) = ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐡𝐺𝐡))
11110, 11, 15, 50nvrinv 30172 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
1126, 8, 111mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
113112oveq1i 7422 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐡𝐺𝐡)) = ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝐺(𝐡𝐺𝐡))
11410, 11nvgcl 30141 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
1156, 9, 9, 114mp3an 1460 . . . . . . . . . 10 (𝐡𝐺𝐡) ∈ 𝑋
11610, 11, 50nv0lid 30157 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐡𝐺𝐡) ∈ 𝑋) β†’ ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝐺(𝐡𝐺𝐡)) = (𝐡𝐺𝐡))
1176, 115, 116mp2an 689 . . . . . . . . 9 ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝐺(𝐡𝐺𝐡)) = (𝐡𝐺𝐡)
118113, 117eqtri 2759 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐡𝐺𝐡)) = (𝐡𝐺𝐡)
11939, 47, 44vc2OLD 30089 . . . . . . . . 9 (((1st β€˜π‘ˆ) ∈ CVecOLD ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺𝐡) = (2𝑆𝐡))
12038, 9, 119mp2an 689 . . . . . . . 8 (𝐡𝐺𝐡) = (2𝑆𝐡)
121110, 118, 1203eqtri 2763 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺𝐡)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡)) = (2𝑆𝐡)
122121oveq2i 7423 . . . . . 6 ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐡)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡))) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐡))
1237, 1, 93pm3.2i 1338 . . . . . . 7 ((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)
12410, 15nvsass 30149 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (((1 / 2) Β· 2)𝑆𝐡) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐡)))
1256, 123, 124mp2an 689 . . . . . 6 (((1 / 2) Β· 2)𝑆𝐡) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐡))
12668oveq1i 7422 . . . . . 6 (((1 / 2) Β· 2)𝑆𝐡) = (1𝑆𝐡)
127122, 125, 1263eqtr2i 2765 . . . . 5 ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐡)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐡))) = (1𝑆𝐡)
128107, 127, 923eqtri 2763 . . . 4 (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))) = 𝐡
129128oveq1i 7422 . . 3 ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))))𝑃𝐢) = (𝐡𝑃𝐢)
13074, 129oveq12i 7424 . 2 (((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))𝑃𝐢) + ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐡))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))))𝑃𝐢)) = ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢))
13127, 35, 1303eqtr2i 2765 1 ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + (𝐡𝑃𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  1st c1st 7977  β„‚cc 11112  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119  -cneg 11450   / cdiv 11876  2c2 12272  AbelOpcablo 30065  CVecOLDcvc 30079  NrmCVeccnv 30105   +𝑣 cpv 30106  BaseSetcba 30107   ·𝑠OLD cns 30108  0veccn0v 30109  Β·π‘–OLDcdip 30221  CPreHilOLDccphlo 30333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-grpo 30014  df-gid 30015  df-ginv 30016  df-ablo 30066  df-vc 30080  df-nv 30113  df-va 30116  df-ba 30117  df-sm 30118  df-0v 30119  df-nmcv 30121  df-dip 30222  df-ph 30334
This theorem is referenced by:  ipdiri  30351
  Copyright terms: Public domain W3C validator