Theorem ipdirilem 29834

Description: Lemma for ipdiri 29835. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipdiri.8	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipdiri.9	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ipdiri.10	⊢ 𝐶 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipdirilem	⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))

Proof of Theorem ipdirilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12237	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		2ne0 12266	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
3	1, 2	recidi 11895	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
4	3	oveq1i 7372	. . . . 5 ⊢ ((2 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (1𝑆(𝐴𝐺𝐵))
5		ip1i.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
6	5	phnvi 29821	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7		halfcn 12377	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
8		ipdiri.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
9		ipdiri.9	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
10		ip1i.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		ip1i.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
12	10, 11	nvgcl 29625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
13	6, 8, 9, 12	mp3an 1461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
14	1, 7, 13	3pm3.2i 1339	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
15		ip1i.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
16	10, 15	nvsass 29633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)) → ((2 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))))
17	6, 14, 16	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((2 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)))
18	10, 15	nvsid 29632	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → (1𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (𝐴𝐺𝐵))
19	6, 13, 18	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (1𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (𝐴𝐺𝐵)
20	4, 17, 19	3eqtr3i 2767	. . . 4 ⊢ (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))) = (𝐴𝐺𝐵)
21	20	oveq1i 7372	. . 3 ⊢ ((2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)))𝑃𝐶) = ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)
22		ip1i.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
23	10, 15	nvscl 29631	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)) ∈ 𝑋)
24	6, 7, 13, 23	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)) ∈ 𝑋
25		ipdiri.10	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
26	10, 11, 15, 22, 5, 24, 25	ip2i 29833	. . 3 ⊢ ((2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)))𝑃𝐶) = (2 · (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝑃𝐶))
27	21, 26	eqtr3i 2761	. 2 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = (2 · (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝑃𝐶))
28		neg1cn 12276	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
29	10, 15	nvscl 29631	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
30	6, 28, 9, 29	mp3an 1461	. . . . 5 ⊢ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋
31	10, 11	nvgcl 29625	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
32	6, 8, 30, 31	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
33	10, 15	nvscl 29631	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ 𝑋)
34	6, 7, 32, 33	mp3an 1461	. . 3 ⊢ ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ 𝑋
35	10, 11, 15, 22, 5, 24, 34, 25	ip1i 29832	. 2 ⊢ (((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))𝑃𝐶) + ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))𝑃𝐶)) = (2 · (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝑃𝐶))
36		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ‘𝑈) = (1st ‘𝑈)
37	36	nvvc 29620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD)
38	6, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD
39	11	vafval 29608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (1st ‘(1st ‘𝑈))
40	39	vcablo 29574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD → 𝐺 ∈ AbelOp)
41	38, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ AbelOp
42	8, 9	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
43	8, 30	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
44	10, 11	bafval 29609	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
45	44	ablo4 29555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐵))))
46	41, 42, 43, 45	mp3an 1461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐵)))
47	15	smfval 29610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (2nd ‘(1st ‘𝑈))
48	39, 47, 44	vc2OLD 29573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐴) = (2𝑆𝐴))
49	38, 8, 48	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴𝐺𝐴) = (2𝑆𝐴)
50		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
51	10, 11, 15, 50	nvrinv 29656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐵)) = (0vec‘𝑈))
52	6, 9, 51	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐵)) = (0vec‘𝑈)
53	49, 52	oveq12i 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((2𝑆𝐴)𝐺(0vec‘𝑈))
54	10, 15	nvscl 29631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
55	6, 1, 8, 54	mp3an 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋
56	10, 11, 50	nv0rid 29640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((2𝑆𝐴)𝐺(0vec‘𝑈)) = (2𝑆𝐴))
57	6, 55, 56	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝐺(0vec‘𝑈)) = (2𝑆𝐴)
58	46, 53, 57	3eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (2𝑆𝐴)
59	58	oveq2i 7373	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴))
60	7, 1, 8	3pm3.2i 1339	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
61	10, 15	nvsass 29633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴)))
62	6, 60, 61	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴))
63	59, 62	eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴)
64	7, 13, 32	3pm3.2i 1339	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
65	10, 11, 15	nvdi 29635	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)) → ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))
66	6, 64, 65	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
67		ax-1cn 11118	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
68	67, 1, 2	divcan1i 11908	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) · 2) = 1
69	68	oveq1i 7372	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
70	10, 15	nvsid 29632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
71	6, 8, 70	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (1𝑆𝐴) = 𝐴
72	69, 71	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = 𝐴
73	63, 66, 72	3eqtr3i 2767	. . . 4 ⊢ (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = 𝐴
74	73	oveq1i 7372	. . 3 ⊢ ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))𝑃𝐶) = (𝐴𝑃𝐶)
75	28, 7	mulcomi 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · (1 / 2)) = ((1 / 2) · -1)
76	75	oveq1i 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
77	28, 7, 32	3pm3.2i 1339	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
78	10, 15	nvsass 29633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)) → ((-1 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))
79	6, 77, 78	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
80	7, 28, 32	3pm3.2i 1339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
81	10, 15	nvsass 29633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)) → (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((1 / 2)𝑆(-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))
82	6, 80, 81	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((1 / 2)𝑆(-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
83	28, 8, 30	3pm3.2i 1339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
84	10, 11, 15	nvdi 29635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐵))))
85	6, 83, 84	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐵)))
86		neg1mulneg1e1 12375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 · -1) = 1
87	86	oveq1i 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 · -1)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵)
88	28, 28, 9	3pm3.2i 1339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
89	10, 15	nvsass 29633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((-1 · -1)𝑆𝐵) = (-1𝑆(-1𝑆𝐵)))
90	6, 88, 89	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 · -1)𝑆𝐵) = (-1𝑆(-1𝑆𝐵))
91	10, 15	nvsid 29632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
92	6, 9, 91	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1𝑆𝐵) = 𝐵
93	87, 90, 92	3eqtr3i 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1𝑆(-1𝑆𝐵)) = 𝐵
94	93	oveq2i 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1𝑆𝐴)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐵))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)
95	85, 94	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)
96	95	oveq2i 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2)𝑆(-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = ((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))
97	82, 96	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))
98	76, 79, 97	3eqtr3i 2767	. . . . . . 7 ⊢ (-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = ((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))
99	98	oveq2i 7373	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)))
100	10, 15	nvscl 29631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
101	6, 28, 8, 100	mp3an 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋
102	10, 11	nvgcl 29625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
103	6, 101, 9, 102	mp3an 1461	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋
104	7, 13, 103	3pm3.2i 1339	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
105	10, 11, 15	nvdi 29635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋)) → ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))))
106	6, 104, 105	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)))
107	99, 106	eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))) = ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)))
108	101, 9	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
109	44	ablo4 29555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)) = ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵)))
110	41, 42, 108, 109	mp3an 1461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)) = ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵))
111	10, 11, 15, 50	nvrinv 29656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
112	6, 8, 111	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈)
113	112	oveq1i 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = ((0vec‘𝑈)𝐺(𝐵𝐺𝐵))
114	10, 11	nvgcl 29625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
115	6, 9, 9, 114	mp3an 1461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵𝐺𝐵) ∈ 𝑋
116	10, 11, 50	nv0lid 29641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = (𝐵𝐺𝐵))
117	6, 115, 116	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = (𝐵𝐺𝐵)
118	113, 117	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = (𝐵𝐺𝐵)
119	39, 47, 44	vc2OLD 29573	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺𝐵) = (2𝑆𝐵))
120	38, 9, 119	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵𝐺𝐵) = (2𝑆𝐵)
121	110, 118, 120	3eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)) = (2𝑆𝐵)
122	121	oveq2i 7373	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐵))
123	7, 1, 9	3pm3.2i 1339	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
124	10, 15	nvsass 29633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((1 / 2) · 2)𝑆𝐵) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐵)))
125	6, 123, 124	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐵) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐵))
126	68	oveq1i 7372	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵)
127	122, 125, 126	3eqtr2i 2765	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = (1𝑆𝐵)
128	107, 127, 92	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))) = 𝐵
129	128	oveq1i 7372	. . 3 ⊢ ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))𝑃𝐶) = (𝐵𝑃𝐶)
130	74, 129	oveq12i 7374	. 2 ⊢ (((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))𝑃𝐶) + ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))
131	27, 35, 130	3eqtr2i 2765	1 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  1^st c1st 7924  ℂcc 11058  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065  -cneg 11395   / cdiv 11821  2c2 12217  AbelOpcablo 29549  CVec_OLDcvc 29563  NrmCVeccnv 29589   +_𝑣 cpv 29590  BaseSetcba 29591   ·_𝑠OLD cns 29592  0_veccn0v 29593  ·_𝑖OLDcdip 29705  CPreHil_OLDccphlo 29817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12925  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-sum 15583  df-grpo 29498  df-gid 29499  df-ginv 29500  df-ablo 29550  df-vc 29564  df-nv 29597  df-va 29600  df-ba 29601  df-sm 29602  df-0v 29603  df-nmcv 29605  df-dip 29706  df-ph 29818

This theorem is referenced by:  ipdiri  29835