Theorem ipdirilem 31440

Description: Lemma for ipdiri 31441. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipdiri.8	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipdiri.9	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ipdiri.10	⊢ 𝐶 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipdirilem	⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))

Proof of Theorem ipdirilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2thalfe1 12457	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
2	1	oveq1i 7434	. . . . 5 ⊢ ((2 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (1𝑆(𝐴𝐺𝐵))
3		ip1i.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 31427	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		2cn 12425	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		halfcn 12567	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
7		ipdiri.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
8		ipdiri.9	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
9		ip1i.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
10		ip1i.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
11	9, 10	nvgcl 31231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
12	4, 7, 8, 11	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
13	5, 6, 12	3pm3.2i 1358	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
14		ip1i.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
15	9, 14	nvsass 31239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)) → ((2 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))))
16	4, 13, 15	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((2 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)))
17	9, 14	nvsid 31238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → (1𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (𝐴𝐺𝐵))
18	4, 12, 17	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (1𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (𝐴𝐺𝐵)
19	2, 16, 18	3eqtr3i 2791	. . . 4 ⊢ (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))) = (𝐴𝐺𝐵)
20	19	oveq1i 7434	. . 3 ⊢ ((2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)))𝑃𝐶) = ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)
21		ip1i.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
22	9, 14	nvscl 31237	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)) ∈ 𝑋)
23	4, 6, 12, 22	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)) ∈ 𝑋
24		ipdiri.10	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
25	9, 10, 14, 21, 3, 23, 24	ip2i 31439	. . 3 ⊢ ((2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)))𝑃𝐶) = (2 · (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝑃𝐶))
26	20, 25	eqtr3i 2785	. 2 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = (2 · (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝑃𝐶))
27		neg1cn 12312	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
28	9, 14	nvscl 31237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
29	4, 27, 8, 28	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ( -1𝑆𝐵) ∈ 𝑋
30	9, 10	nvgcl 31231	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
31	4, 7, 29, 30	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
32	9, 14	nvscl 31237	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))) ∈ 𝑋)
33	4, 6, 31, 32	mp3an 1490	. . 3 ⊢ ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))) ∈ 𝑋
34	9, 10, 14, 21, 3, 23, 33, 24	ip1i 31438	. 2 ⊢ (((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))))𝑃𝐶) + ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺( -1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)))))𝑃𝐶)) = (2 · (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝑃𝐶))
35		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ‘𝑈) = (1st ‘𝑈)
36	35	nvvc 31226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD)
37	4, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD
38	10	vafval 31214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (1st ‘(1st ‘𝑈))
39	38	vcablo 31180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD → 𝐺 ∈ AbelOp)
40	37, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ AbelOp
41	7, 8	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
42	7, 29	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
43	9, 10	bafval 31215	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
44	43	ablo4 31161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))) = ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐵𝐺( -1𝑆𝐵))))
45	40, 41, 42, 44	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))) = ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐵𝐺( -1𝑆𝐵)))
46	14	smfval 31216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (2nd ‘(1st ‘𝑈))
47	38, 46, 43	vc2OLD 31179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐴) = (2𝑆𝐴))
48	37, 7, 47	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴𝐺𝐴) = (2𝑆𝐴)
49		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
50	9, 10, 14, 49	nvrinv 31262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺( -1𝑆𝐵)) = (0vec‘𝑈))
51	4, 8, 50	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵𝐺( -1𝑆𝐵)) = (0vec‘𝑈)
52	48, 51	oveq12i 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐵𝐺( -1𝑆𝐵))) = ((2𝑆𝐴)𝐺(0vec‘𝑈))
53	9, 14	nvscl 31237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
54	4, 5, 7, 53	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋
55	9, 10, 49	nv0rid 31246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((2𝑆𝐴)𝐺(0vec‘𝑈)) = (2𝑆𝐴))
56	4, 54, 55	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝐺(0vec‘𝑈)) = (2𝑆𝐴)
57	45, 52, 56	3eqtri 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))) = (2𝑆𝐴)
58	57	oveq2i 7435	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)))) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴))
59	6, 5, 7	3pm3.2i 1358	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
60	9, 14	nvsass 31239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴)))
61	4, 59, 60	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴))
62	58, 61	eqtr4i 2786	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)))) = (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴)
63	6, 12, 31	3pm3.2i 1358	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
64	9, 10, 14	nvdi 31241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)) → ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)))))
65	4, 63, 64	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))))
66		ax-1cn 11265	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
67		2ne0 12456	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
68	66, 5, 67	divcan1i 12068	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) · 2) = 1
69	68	oveq1i 7434	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
70	9, 14	nvsid 31238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
71	4, 7, 70	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (1𝑆𝐴) = 𝐴
72	69, 71	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = 𝐴
73	62, 65, 72	3eqtr3i 2791	. . . 4 ⊢ (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)))) = 𝐴
74	73	oveq1i 7434	. . 3 ⊢ ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))))𝑃𝐶) = (𝐴𝑃𝐶)
75	27, 6	mulcomi 11324	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -1 · (1 / 2)) = ((1 / 2) · -1)
76	75	oveq1i 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))) = (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)))
77	27, 6, 31	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
78	9, 14	nvsass 31239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)) → (( -1 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))) = ( -1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)))))
79	4, 77, 78	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))) = ( -1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))))
80	6, 27, 31	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
81	9, 14	nvsass 31239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)) → (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))) = ((1 / 2)𝑆( -1𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)))))
82	4, 80, 81	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))) = ((1 / 2)𝑆( -1𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))))
83	27, 7, 29	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
84	9, 10, 14	nvdi 31241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ( -1𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))) = (( -1𝑆𝐴)𝐺( -1𝑆( -1𝑆𝐵))))
85	4, 83, 84	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -1𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))) = (( -1𝑆𝐴)𝐺( -1𝑆( -1𝑆𝐵)))
86		neg1mulneg1e1 12565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( -1 · -1) = 1
87	86	oveq1i 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -1 · -1)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵)
88	27, 27, 8	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( -1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
89	9, 14	nvsass 31239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (( -1 · -1)𝑆𝐵) = ( -1𝑆( -1𝑆𝐵)))
90	4, 88, 89	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -1 · -1)𝑆𝐵) = ( -1𝑆( -1𝑆𝐵))
91	9, 14	nvsid 31238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
92	4, 8, 91	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1𝑆𝐵) = 𝐵
93	87, 90, 92	3eqtr3i 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -1𝑆( -1𝑆𝐵)) = 𝐵
94	93	oveq2i 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1𝑆𝐴)𝐺( -1𝑆( -1𝑆𝐵))) = (( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵)
95	85, 94	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -1𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))) = (( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵)
96	95	oveq2i 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2)𝑆( -1𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)))) = ((1 / 2)𝑆(( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵))
97	82, 96	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))) = ((1 / 2)𝑆(( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵))
98	76, 79, 97	3eqtr3i 2791	. . . . . . 7 ⊢ ( -1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)))) = ((1 / 2)𝑆(( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵))
99	98	oveq2i 7435	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺( -1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵)))
100	9, 14	nvscl 31237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
101	4, 27, 7, 100	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋
102	9, 10	nvgcl 31231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
103	4, 101, 8, 102	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋
104	6, 12, 103	3pm3.2i 1358	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
105	9, 10, 14	nvdi 31241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋)) → ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵))))
106	4, 104, 105	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵)))
107	99, 106	eqtr4i 2786	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺( -1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))))) = ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵)))
108	101, 8	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
109	43	ablo4 31161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵)) = ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵)))
110	40, 41, 108, 109	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵)) = ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵))
111	9, 10, 14, 49	nvrinv 31262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺( -1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
112	4, 7, 111	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴𝐺( -1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈)
113	112	oveq1i 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = ((0vec‘𝑈)𝐺(𝐵𝐺𝐵))
114	9, 10	nvgcl 31231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
115	4, 8, 8, 114	mp3an 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵𝐺𝐵) ∈ 𝑋
116	9, 10, 49	nv0lid 31247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = (𝐵𝐺𝐵))
117	4, 115, 116	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = (𝐵𝐺𝐵)
118	113, 117	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = (𝐵𝐺𝐵)
119	38, 46, 43	vc2OLD 31179	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺𝐵) = (2𝑆𝐵))
120	37, 8, 119	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵𝐺𝐵) = (2𝑆𝐵)
121	110, 118, 120	3eqtri 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵)) = (2𝑆𝐵)
122	121	oveq2i 7435	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐵))
123	6, 5, 8	3pm3.2i 1358	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
124	9, 14	nvsass 31239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((1 / 2) · 2)𝑆𝐵) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐵)))
125	4, 123, 124	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐵) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐵))
126	68	oveq1i 7434	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵)
127	122, 125, 126	3eqtr2i 2789	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(( -1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = (1𝑆𝐵)
128	107, 127, 92	3eqtri 2787	. . . 4 ⊢ (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺( -1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))))) = 𝐵
129	128	oveq1i 7434	. . 3 ⊢ ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺( -1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)))))𝑃𝐶) = (𝐵𝑃𝐶)
130	74, 129	oveq12i 7436	. 2 ⊢ (((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))))𝑃𝐶) + ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺( -1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)))))𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))
131	26, 34, 130	3eqtr2i 2789	1 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  1^st c1st 8003  ℂcc 11205  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   -cneg 11549   / cdiv 11980  2c2 12404  AbelOpcablo 31155  CVec_OLDcvc 31169  NrmCVeccnv 31195   +_𝑣 cpv 31196  BaseSetcba 31197   ·_𝑠OLD cns 31198  0_veccn0v 31199  ·_𝑖OLDcdip 31311  CPreHil_OLDccphlo 31423

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863  df-grpo 31104  df-gid 31105  df-ginv 31106  df-ablo 31156  df-vc 31170  df-nv 31203  df-va 31206  df-ba 31207  df-sm 31208  df-0v 31209  df-nmcv 31211  df-dip 31312  df-ph 31424

This theorem is used by:  ipdiri  31441