Theorem ipdirilem 30853

Description: Lemma for ipdiri 30854. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipdiri.8	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipdiri.9	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ipdiri.10	⊢ 𝐶 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipdirilem	⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))

Proof of Theorem ipdirilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12218	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		2ne0 12247	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
3	1, 2	recidi 11870	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
4	3	oveq1i 7366	. . . . 5 ⊢ ((2 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (1𝑆(𝐴𝐺𝐵))
5		ip1i.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
6	5	phnvi 30840	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7		halfcn 12353	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
8		ipdiri.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
9		ipdiri.9	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
10		ip1i.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11		ip1i.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
12	10, 11	nvgcl 30644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
13	6, 8, 9, 12	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
14	1, 7, 13	3pm3.2i 1340	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
15		ip1i.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
16	10, 15	nvsass 30652	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)) → ((2 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))))
17	6, 14, 16	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((2 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)))
18	10, 15	nvsid 30651	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → (1𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (𝐴𝐺𝐵))
19	6, 13, 18	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (1𝑆(𝐴𝐺𝐵)) = (𝐴𝐺𝐵)
20	4, 17, 19	3eqtr3i 2765	. . . 4 ⊢ (2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))) = (𝐴𝐺𝐵)
21	20	oveq1i 7366	. . 3 ⊢ ((2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)))𝑃𝐶) = ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)
22		ip1i.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
23	10, 15	nvscl 30650	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)) ∈ 𝑋)
24	6, 7, 13, 23	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)) ∈ 𝑋
25		ipdiri.10	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
26	10, 11, 15, 22, 5, 24, 25	ip2i 30852	. . 3 ⊢ ((2𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵)))𝑃𝐶) = (2 · (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝑃𝐶))
27	21, 26	eqtr3i 2759	. 2 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = (2 · (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝑃𝐶))
28		neg1cn 12128	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
29	10, 15	nvscl 30650	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
30	6, 28, 9, 29	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋
31	10, 11	nvgcl 30644	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
32	6, 8, 30, 31	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
33	10, 15	nvscl 30650	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ 𝑋)
34	6, 7, 32, 33	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ 𝑋
35	10, 11, 15, 22, 5, 24, 34, 25	ip1i 30851	. 2 ⊢ (((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))𝑃𝐶) + ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))𝑃𝐶)) = (2 · (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝑃𝐶))
36		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1st ‘𝑈) = (1st ‘𝑈)
37	36	nvvc 30639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD)
38	6, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD
39	11	vafval 30627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (1st ‘(1st ‘𝑈))
40	39	vcablo 30593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD → 𝐺 ∈ AbelOp)
41	38, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ AbelOp
42	8, 9	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
43	8, 30	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
44	10, 11	bafval 30628	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
45	44	ablo4 30574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐵))))
46	41, 42, 43, 45	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐵)))
47	15	smfval 30629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (2nd ‘(1st ‘𝑈))
48	39, 47, 44	vc2OLD 30592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐴) = (2𝑆𝐴))
49	38, 8, 48	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴𝐺𝐴) = (2𝑆𝐴)
50		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
51	10, 11, 15, 50	nvrinv 30675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐵)) = (0vec‘𝑈))
52	6, 9, 51	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐵)) = (0vec‘𝑈)
53	49, 52	oveq12i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝐺𝐴)𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((2𝑆𝐴)𝐺(0vec‘𝑈))
54	10, 15	nvscl 30650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
55	6, 1, 8, 54	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋
56	10, 11, 50	nv0rid 30659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((2𝑆𝐴)𝐺(0vec‘𝑈)) = (2𝑆𝐴))
57	6, 55, 56	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝐺(0vec‘𝑈)) = (2𝑆𝐴)
58	46, 53, 57	3eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (2𝑆𝐴)
59	58	oveq2i 7367	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴))
60	7, 1, 8	3pm3.2i 1340	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
61	10, 15	nvsass 30652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴)))
62	6, 60, 61	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐴))
63	59, 62	eqtr4i 2760	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴)
64	7, 13, 32	3pm3.2i 1340	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
65	10, 11, 15	nvdi 30654	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)) → ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))
66	6, 64, 65	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
67		ax-1cn 11082	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
68	67, 1, 2	divcan1i 11883	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) · 2) = 1
69	68	oveq1i 7366	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
70	10, 15	nvsid 30651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
71	6, 8, 70	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (1𝑆𝐴) = 𝐴
72	69, 71	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐴) = 𝐴
73	63, 66, 72	3eqtr3i 2765	. . . 4 ⊢ (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = 𝐴
74	73	oveq1i 7366	. . 3 ⊢ ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))𝑃𝐶) = (𝐴𝑃𝐶)
75	28, 7	mulcomi 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · (1 / 2)) = ((1 / 2) · -1)
76	75	oveq1i 7366	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
77	28, 7, 32	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
78	10, 15	nvsass 30652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)) → ((-1 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))
79	6, 77, 78	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 · (1 / 2))𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
80	7, 28, 32	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
81	10, 15	nvsass 30652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)) → (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((1 / 2)𝑆(-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))
82	6, 80, 81	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((1 / 2)𝑆(-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
83	28, 8, 30	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
84	10, 11, 15	nvdi 30654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐵))))
85	6, 83, 84	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐵)))
86		neg1mulneg1e1 12351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 · -1) = 1
87	86	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 · -1)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵)
88	28, 28, 9	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
89	10, 15	nvsass 30652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((-1 · -1)𝑆𝐵) = (-1𝑆(-1𝑆𝐵)))
90	6, 88, 89	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 · -1)𝑆𝐵) = (-1𝑆(-1𝑆𝐵))
91	10, 15	nvsid 30651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
92	6, 9, 91	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1𝑆𝐵) = 𝐵
93	87, 90, 92	3eqtr3i 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1𝑆(-1𝑆𝐵)) = 𝐵
94	93	oveq2i 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1𝑆𝐴)𝐺(-1𝑆(-1𝑆𝐵))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)
95	85, 94	eqtri 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)
96	95	oveq2i 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2)𝑆(-1𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = ((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))
97	82, 96	eqtri 2757	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) · -1)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = ((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))
98	76, 79, 97	3eqtr3i 2765	. . . . . . 7 ⊢ (-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))) = ((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))
99	98	oveq2i 7367	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)))
100	10, 15	nvscl 30650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
101	6, 28, 8, 100	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋
102	10, 11	nvgcl 30644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
103	6, 101, 9, 102	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋
104	7, 13, 103	3pm3.2i 1340	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
105	10, 11, 15	nvdi 30654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵) ∈ 𝑋)) → ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))))
106	6, 104, 105	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)))
107	99, 106	eqtr4i 2760	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))) = ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)))
108	101, 9	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
109	44	ablo4 30574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)) = ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵)))
110	41, 42, 108, 109	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)) = ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵))
111	10, 11, 15, 50	nvrinv 30675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
112	6, 8, 111	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈)
113	112	oveq1i 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = ((0vec‘𝑈)𝐺(𝐵𝐺𝐵))
114	10, 11	nvgcl 30644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
115	6, 9, 9, 114	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵𝐺𝐵) ∈ 𝑋
116	10, 11, 50	nv0lid 30660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = (𝐵𝐺𝐵))
117	6, 115, 116	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = (𝐵𝐺𝐵)
118	113, 117	eqtri 2757	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺(𝐵𝐺𝐵)) = (𝐵𝐺𝐵)
119	39, 47, 44	vc2OLD 30592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺𝐵) = (2𝑆𝐵))
120	38, 9, 119	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵𝐺𝐵) = (2𝑆𝐵)
121	110, 118, 120	3eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵)) = (2𝑆𝐵)
122	121	oveq2i 7367	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐵))
123	7, 1, 9	3pm3.2i 1340	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
124	10, 15	nvsass 30652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((1 / 2) · 2)𝑆𝐵) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐵)))
125	6, 123, 124	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐵) = ((1 / 2)𝑆(2𝑆𝐵))
126	68	oveq1i 7366	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) · 2)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵)
127	122, 125, 126	3eqtr2i 2763	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2)𝑆((𝐴𝐺𝐵)𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐵))) = (1𝑆𝐵)
128	107, 127, 92	3eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))) = 𝐵
129	128	oveq1i 7366	. . 3 ⊢ ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))𝑃𝐶) = (𝐵𝑃𝐶)
130	74, 129	oveq12i 7368	. 2 ⊢ (((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))𝑃𝐶) + ((((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺𝐵))𝐺(-1𝑆((1 / 2)𝑆(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))))𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))
131	27, 35, 130	3eqtr2i 2763	1 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (𝐵𝑃𝐶))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1^st c1st 7929  ℂcc 11022  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029  -cneg 11363   / cdiv 11792  2c2 12198  AbelOpcablo 30568  CVec_OLDcvc 30582  NrmCVeccnv 30608   +_𝑣 cpv 30609  BaseSetcba 30610   ·_𝑠OLD cns 30611  0_veccn0v 30612  ·_𝑖OLDcdip 30724  CPreHil_OLDccphlo 30836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-grpo 30517  df-gid 30518  df-ginv 30519  df-ablo 30569  df-vc 30583  df-nv 30616  df-va 30619  df-ba 30620  df-sm 30621  df-0v 30622  df-nmcv 30624  df-dip 30725  df-ph 30837

This theorem is referenced by:  ipdiri  30854