MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvpncan2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvpncan2 30491
Description: Cancellation law for vector subtraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvpncan2.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvpncan2.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
nvpncan2.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvpncan2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀𝐴) = 𝐡)
Proof of Theorem nvpncan2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 nvpncan2.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 nvpncan2.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
42, 3nvgcl 30458 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
5 simp2 1134 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
6 eqid 2728 . . . 4 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
7 nvpncan2.3 . . . 4 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
82, 3, 6, 7nvmval 30480 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀𝐴) = ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
91, 4, 5, 8syl3anc 1368 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀𝐴) = ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
10 simp3 1135 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
11 neg1cn 12366 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
122, 6nvscl 30464 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
1311, 12mp3an2 1445 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
14133adant3 1129 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
152, 3nvadd32 30461 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))𝐺𝐡))
161, 5, 10, 14, 15syl13anc 1369 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))𝐺𝐡))
17 eqid 2728 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
182, 3, 6, 17nvrinv 30489 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
19183adant3 1129 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
2019oveq1d 7441 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))𝐺𝐡) = ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝐺𝐡))
212, 3, 17nv0lid 30474 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝐺𝐡) = 𝐡)
22213adant2 1128 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝐺𝐡) = 𝐡)
2320, 22eqtrd 2768 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))𝐺𝐡) = 𝐡)
2416, 23eqtrd 2768 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = 𝐡)
259, 24eqtrd 2768 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀𝐴) = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  1c1 11149  -cneg 11485  NrmCVeccnv 30422   +𝑣 cpv 30423  BaseSetcba 30424   ·𝑠OLD cns 30425  0veccn0v 30426   βˆ’π‘£ cnsb 30427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-ltxr 11293  df-sub 11486  df-neg 11487  df-grpo 30331  df-gid 30332  df-ginv 30333  df-gdiv 30334  df-ablo 30383  df-vc 30397  df-nv 30430  df-va 30433  df-ba 30434  df-sm 30435  df-0v 30436  df-vs 30437  df-nmcv 30438
This theorem is referenced by:  nvpncan  30492  blocnilem  30642  ubthlem2  30709
  Copyright terms: Public domain W3C validator