Theorem nvpncan2 28436

Description: Cancellation law for vector subtraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvpncan2.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvpncan2.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvpncan2.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvpncan2	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem nvpncan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		nvpncan2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		nvpncan2.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
4	2, 3	nvgcl 28403	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
5		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		nvpncan2.3	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
8	2, 3, 6, 7	nvmval 28425	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
9	1, 4, 5, 8	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
10		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
11		neg1cn 11739	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
12	2, 6	nvscl 28409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
13	11, 12	mp3an2 1446	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
14	13	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
15	2, 3	nvadd32 28406	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))𝐺𝐵))
16	1, 5, 10, 14, 15	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))𝐺𝐵))
17		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
18	2, 3, 6, 17	nvrinv 28434	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (0vec‘𝑈))
19	18	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (0vec‘𝑈))
20	19	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))𝐺𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝐺𝐵))
21	2, 3, 17	nv0lid 28419	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝐺𝐵) = 𝐵)
22	21	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝐺𝐵) = 𝐵)
23	20, 22	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))𝐺𝐵) = 𝐵)
24	16, 23	eqtrd 2833	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 𝐵)
25	9, 24	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  1c1 10527  -cneg 10860  NrmCVeccnv 28367   +_𝑣 cpv 28368  BaseSetcba 28369   ·_𝑠OLD cns 28370  0_veccn0v 28371   −_𝑣 cnsb 28372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862  df-grpo 28276  df-gid 28277  df-ginv 28278  df-gdiv 28279  df-ablo 28328  df-vc 28342  df-nv 28375  df-va 28378  df-ba 28379  df-sm 28380  df-0v 28381  df-vs 28382  df-nmcv 28383

This theorem is referenced by:  nvpncan  28437  blocnilem  28587  ubthlem2  28654