MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvpncan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvpncan2 28442
Description: Cancellation law for vector subtraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvpncan2.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvpncan2.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvpncan2.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvpncan2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem nvpncan2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2 nvpncan2.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 nvpncan2.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
42, 3nvgcl 28409 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
5 simp2 1134 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
6 eqid 2824 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
7 nvpncan2.3 . . . 4 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
82, 3, 6, 7nvmval 28431 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
91, 4, 5, 8syl3anc 1368 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
10 simp3 1135 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
11 neg1cn 11751 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
122, 6nvscl 28415 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
1311, 12mp3an2 1446 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
14133adant3 1129 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
152, 3nvadd32 28412 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))𝐺𝐵))
161, 5, 10, 14, 15syl13anc 1369 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))𝐺𝐵))
17 eqid 2824 . . . . . . 7 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
182, 3, 6, 17nvrinv 28440 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (0vec𝑈))
19183adant3 1129 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (0vec𝑈))
2019oveq1d 7165 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))𝐺𝐵) = ((0vec𝑈)𝐺𝐵))
212, 3, 17nv0lid 28425 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((0vec𝑈)𝐺𝐵) = 𝐵)
22213adant2 1128 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((0vec𝑈)𝐺𝐵) = 𝐵)
2320, 22eqtrd 2859 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))𝐺𝐵) = 𝐵)
2416, 23eqtrd 2859 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = 𝐵)
259, 24eqtrd 2859 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6344  (class class class)co 7150  cc 10534  1c1 10537  -cneg 10870  NrmCVeccnv 28373   +𝑣 cpv 28374  BaseSetcba 28375   ·𝑠OLD cns 28376  0veccn0v 28377  𝑣 cnsb 28378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-sub 10871  df-neg 10872  df-grpo 28282  df-gid 28283  df-ginv 28284  df-gdiv 28285  df-ablo 28334  df-vc 28348  df-nv 28381  df-va 28384  df-ba 28385  df-sm 28386  df-0v 28387  df-vs 28388  df-nmcv 28389
This theorem is referenced by:  nvpncan  28443  blocnilem  28593  ubthlem2  28660
  Copyright terms: Public domain W3C validator