MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvpncan2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvpncan2 30415
Description: Cancellation law for vector subtraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvpncan2.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvpncan2.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
nvpncan2.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvpncan2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀𝐴) = 𝐡)
Proof of Theorem nvpncan2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 nvpncan2.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 nvpncan2.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
42, 3nvgcl 30382 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
5 simp2 1134 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
6 eqid 2726 . . . 4 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
7 nvpncan2.3 . . . 4 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
82, 3, 6, 7nvmval 30404 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀𝐴) = ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
91, 4, 5, 8syl3anc 1368 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀𝐴) = ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))
10 simp3 1135 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
11 neg1cn 12330 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
122, 6nvscl 30388 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
1311, 12mp3an2 1445 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
14133adant3 1129 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
152, 3nvadd32 30385 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))𝐺𝐡))
161, 5, 10, 14, 15syl13anc 1369 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))𝐺𝐡))
17 eqid 2726 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
182, 3, 6, 17nvrinv 30413 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
19183adant3 1129 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
2019oveq1d 7420 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))𝐺𝐡) = ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝐺𝐡))
212, 3, 17nv0lid 30398 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝐺𝐡) = 𝐡)
22213adant2 1128 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝐺𝐡) = 𝐡)
2320, 22eqtrd 2766 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))𝐺𝐡) = 𝐡)
2416, 23eqtrd 2766 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = 𝐡)
259, 24eqtrd 2766 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀𝐴) = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  1c1 11113  -cneg 11449  NrmCVeccnv 30346   +𝑣 cpv 30347  BaseSetcba 30348   ·𝑠OLD cns 30349  0veccn0v 30350   βˆ’π‘£ cnsb 30351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362
This theorem is referenced by:  nvpncan  30416  blocnilem  30566  ubthlem2  30633
  Copyright terms: Public domain W3C validator