Theorem nvpncan2 29015

Description: Cancellation law for vector subtraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvpncan2.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvpncan2.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvpncan2.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvpncan2	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem nvpncan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		nvpncan2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		nvpncan2.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
4	2, 3	nvgcl 28982	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
5		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		nvpncan2.3	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
8	2, 3, 6, 7	nvmval 29004	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
9	1, 4, 5, 8	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
10		simp3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
11		neg1cn 12087	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
12	2, 6	nvscl 28988	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
13	11, 12	mp3an2 1448	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
14	13	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
15	2, 3	nvadd32 28985	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))𝐺𝐵))
16	1, 5, 10, 14, 15	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))𝐺𝐵))
17		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
18	2, 3, 6, 17	nvrinv 29013	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (0vec‘𝑈))
19	18	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (0vec‘𝑈))
20	19	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))𝐺𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝐺𝐵))
21	2, 3, 17	nv0lid 28998	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝐺𝐵) = 𝐵)
22	21	3adant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝐺𝐵) = 𝐵)
23	20, 22	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))𝐺𝐵) = 𝐵)
24	16, 23	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 𝐵)
25	9, 24	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872  -cneg 11206  NrmCVeccnv 28946   +_𝑣 cpv 28947  BaseSetcba 28948   ·_𝑠OLD cns 28949  0_veccn0v 28950   −_𝑣 cnsb 28951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962

This theorem is referenced by:  nvpncan  29016  blocnilem  29166  ubthlem2  29233