Theorem djhlj 42175

Description: Transfer lattice join to DVecH vector space closed subspace join. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhlj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
djhlj.k	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
djhlj.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhlj.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
djhlj.j	⊢ 𝐽 = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
djhlj	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)𝐽(𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem djhlj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simprl 782	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		djhlj.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		djhlj.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		djhlj.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8	3, 4, 5, 6, 7	dihss 42025	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
9	2, 8	syldan 602	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
10		simprr 784	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	3, 4, 5, 6, 7	dihss 42025	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
12	10, 11	syldan 602	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘𝑌) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
14		djhlj.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
15	4, 6, 7, 13, 14	djhval 42172	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐼‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝐼‘𝑌) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))) → ((𝐼‘𝑋)𝐽(𝐼‘𝑌)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌)))))
16	1, 9, 12, 15	syl12anc 849	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐼‘𝑋)𝐽(𝐼‘𝑌)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌)))))
17		hlop 40136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
18	17	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OP)
19		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
20	3, 19	opoccl 39968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
21	18, 2, 20	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
22	3, 19	opoccl 39968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
23	18, 10, 22	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
24		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
25	3, 24, 4, 5	dihmeet 42117	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
26	1, 21, 23, 25	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
27	3, 19, 4, 5, 13	dochvalr2 42136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
28	2, 27	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
29	3, 19, 4, 5, 13	dochvalr2 42136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌)) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
30	10, 29	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌)) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
31	28, 30	ineq12d 4174	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
32	26, 31	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌))))
33	32	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌)))))
34		hllat 40137	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
35	34	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
36	3, 24	latmcl 18491	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
37	35, 21, 23, 36	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
38	3, 19, 4, 5, 13	dochvalr2 42136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
39	37, 38	syldan 602	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
40	33, 39	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
41		hlol 40135	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
42	41	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
43		djhlj.k	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
44	3, 43, 24, 19	oldmm4 39994	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
45	42, 2, 10, 44	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
46	45	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
47	16, 40, 46	3eqtrrd 2803	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)𝐽(𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  occoc 17313  joincjn 18362  meetcmee 18363  Latclat 18482  OPcops 39946  OLcol 39948  HLchlt 40124  LHypclh 40758  DVecHcdvh 41852  DIsoHcdih 42002  ocHcoch 42121  joinHcdjh 42168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-riotaBAD 39727

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-0g 17489  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cntz 19382  df-lsm 19701  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lvec 21224  df-lsatoms 39750  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125  df-llines 40272  df-lplanes 40273  df-lvols 40274  df-lines 40275  df-psubsp 40277  df-pmap 40278  df-padd 40570  df-lhyp 40762  df-laut 40763  df-ldil 40878  df-ltrn 40879  df-trl 40933  df-tendo 41529  df-edring 41531  df-disoa 41803  df-dvech 41853  df-dib 41913  df-dic 41947  df-dih 42003  df-doch 42122  df-djh 42169

This theorem is referenced by:  djhljjN  42176  djhjlj  42177  dihsumssj  42182  dihjat3  42206