Theorem djhlj 42233

Description: Transfer lattice join to DVecH vector space closed subspace join. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhlj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
djhlj.k	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
djhlj.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhlj.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
djhlj.j	⊢ 𝐽 = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
djhlj	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)𝐽(𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem djhlj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		djhlj.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		djhlj.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		djhlj.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8	3, 4, 5, 6, 7	dihss 42083	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
9	2, 8	syldan 603	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
10		simprr 785	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	3, 4, 5, 6, 7	dihss 42083	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
12	10, 11	syldan 603	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘𝑌) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
14		djhlj.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
15	4, 6, 7, 13, 14	djhval 42230	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐼‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝐼‘𝑌) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))) → ((𝐼‘𝑋)𝐽(𝐼‘𝑌)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌)))))
16	1, 9, 12, 15	syl12anc 850	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐼‘𝑋)𝐽(𝐼‘𝑌)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌)))))
17		hlop 40194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
18	17	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OP)
19		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
20	3, 19	opoccl 40026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
21	18, 2, 20	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
22	3, 19	opoccl 40026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
23	18, 10, 22	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
24		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
25	3, 24, 4, 5	dihmeet 42175	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
26	1, 21, 23, 25	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
27	3, 19, 4, 5, 13	dochvalr2 42194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
28	2, 27	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
29	3, 19, 4, 5, 13	dochvalr2 42194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌)) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
30	10, 29	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌)) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
31	28, 30	ineq12d 4174	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
32	26, 31	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌))))
33	32	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌)))))
34		hllat 40195	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
35	34	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
36	3, 24	latmcl 18518	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
37	35, 21, 23, 36	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
38	3, 19, 4, 5, 13	dochvalr2 42194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
39	37, 38	syldan 603	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
40	33, 39	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘𝑌)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
41		hlol 40193	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
42	41	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
43		djhlj.k	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
44	3, 43, 24, 19	oldmm4 40052	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
45	42, 2, 10, 44	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
46	45	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
47	16, 40, 46	3eqtrrd 2805	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)𝐽(𝐼‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  occoc 17340  joincjn 18389  meetcmee 18390  Latclat 18509  OPcops 40004  OLcol 40006  HLchlt 40182  LHypclh 40816  DVecHcdvh 41910  DIsoHcdih 42060  ocHcoch 42179  joinHcdjh 42226

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-riotaBAD 39785

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-0g 17516  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-lub 18422  df-glb 18423  df-join 18424  df-meet 18425  df-p0 18501  df-p1 18502  df-lat 18510  df-clat 18577  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-cntz 19431  df-lsm 19750  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-dvr 20529  df-drng 20879  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-lvec 21274  df-lsatoms 39808  df-oposet 40008  df-ol 40010  df-oml 40011  df-covers 40098  df-ats 40099  df-atl 40130  df-cvlat 40154  df-hlat 40183  df-llines 40330  df-lplanes 40331  df-lvols 40332  df-lines 40333  df-psubsp 40335  df-pmap 40336  df-padd 40628  df-lhyp 40820  df-laut 40821  df-ldil 40936  df-ltrn 40937  df-trl 40991  df-tendo 41587  df-edring 41589  df-disoa 41861  df-dvech 41911  df-dib 41971  df-dic 42005  df-dih 42061  df-doch 42180  df-djh 42227

This theorem is used by:  djhljjN  42234  djhjlj  42235  dihsumssj  42240  dihjat3  42264