Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhlj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djhlj 37289
Description: Transfer lattice join to DVecH vector space closed subspace join. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
djhlj.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
djhlj.k = (join‘𝐾)
djhlj.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhlj.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
djhlj.j 𝐽 = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
djhlj (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋)𝐽(𝐼𝑌)))

Proof of Theorem djhlj
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simprl 787 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
3 djhlj.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 djhlj.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 djhlj.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2765 . . . . 5 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2765 . . . . 5 (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
83, 4, 5, 6, 7dihss 37139 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
92, 8syldan 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐼𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
10 simprr 789 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
113, 4, 5, 6, 7dihss 37139 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
1210, 11syldan 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐼𝑌) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
13 eqid 2765 . . . 4 ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
14 djhlj.j . . . 4 𝐽 = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
154, 6, 7, 13, 14djhval 37286 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐼𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝐼𝑌) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))) → ((𝐼𝑋)𝐽(𝐼𝑌)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)))))
161, 9, 12, 15syl12anc 865 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐼𝑋)𝐽(𝐼𝑌)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)))))
17 hlop 35250 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1817ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾 ∈ OP)
19 eqid 2765 . . . . . . . 8 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
203, 19opoccl 35082 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
2118, 2, 20syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
223, 19opoccl 35082 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
2318, 10, 22syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
24 eqid 2765 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
253, 24, 4, 5dihmeet 37231 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
261, 21, 23, 25syl3anc 1490 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
273, 19, 4, 5, 13dochvalr2 37250 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
282, 27syldan 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
293, 19, 4, 5, 13dochvalr2 37250 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝐵) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
3010, 29syldan 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
3128, 30ineq12d 3977 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌))) = ((𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝐼‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
3226, 31eqtr4d 2802 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌))))
3332fveq2d 6379 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)))))
34 hllat 35251 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3534ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
363, 24latmcl 17320 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
3735, 21, 23, 36syl3anc 1490 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
383, 19, 4, 5, 13dochvalr2 37250 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
3937, 38syldan 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
4033, 39eqtr3d 2801 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑋)) ∩ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐼𝑌)))) = (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
41 hlol 35249 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
4241ad2antrr 717 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
43 djhlj.k . . . . 5 = (join‘𝐾)
443, 43, 24, 19oldmm4 35108 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 𝑌))
4542, 2, 10, 44syl3anc 1490 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 𝑌))
4645fveq2d 6379 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐼‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝐼‘(𝑋 𝑌)))
4716, 40, 463eqtrrd 2804 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋)𝐽(𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  cin 3731  wss 3732  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  occoc 16224  joincjn 17212  meetcmee 17213  Latclat 17313  OPcops 35060  OLcol 35062  HLchlt 35238  LHypclh 35872  DVecHcdvh 36966  DIsoHcdih 37116  ocHcoch 37235  joinHcdjh 37282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-riotaBAD 34841
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-undef 7602  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-0g 16370  df-proset 17196  df-poset 17214  df-plt 17226  df-lub 17242  df-glb 17243  df-join 17244  df-meet 17245  df-p0 17307  df-p1 17308  df-lat 17314  df-clat 17376  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-subg 17857  df-cntz 18015  df-lsm 18317  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-drng 19018  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-lvec 19375  df-lsatoms 34864  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-llines 35386  df-lplanes 35387  df-lvols 35388  df-lines 35389  df-psubsp 35391  df-pmap 35392  df-padd 35684  df-lhyp 35876  df-laut 35877  df-ldil 35992  df-ltrn 35993  df-trl 36047  df-tendo 36643  df-edring 36645  df-disoa 36917  df-dvech 36967  df-dib 37027  df-dic 37061  df-dih 37117  df-doch 37236  df-djh 37283
This theorem is referenced by:  djhljjN  37290  djhjlj  37291  dihsumssj  37296  dihjat3  37320
  Copyright terms: Public domain W3C validator