Theorem pmapj2N 36078

Description: The projective map of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapj2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapj2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapj2.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapj2.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pmapj2.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapj2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))

Proof of Theorem pmapj2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
2		hllat 35512	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	3ad2ant1 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4		hlop 35511	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
5	4	3ad2ant1 1124	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		simp2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		pmapj2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2777	. . . . . 6 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
9	7, 8	opoccl 35343	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	5, 6, 9	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
11		simp3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	7, 8	opoccl 35343	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13	5, 11, 12	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
14		eqid 2777	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
15	7, 14	latmcl 17438	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
16	3, 10, 13, 15	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
17		pmapj2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
18		pmapj2.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
19	7, 8, 17, 18	polpmapN 36061	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
20	1, 16, 19	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
21	7, 8, 17, 18	polpmapN 36061	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
22	21	3adant3 1123	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
23	7, 8, 17, 18	polpmapN 36061	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
24	23	3adant2 1122	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
25	22, 24	ineq12d 4037	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
26		eqid 2777	. . . . . . 7 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
27	7, 26, 17	pmapssat 35908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
28	27	3adant3 1123	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
29	7, 26, 17	pmapssat 35908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
30	29	3adant2 1122	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
31		pmapj2.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
32	26, 31, 18	poldmj1N 36077	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌))) = (( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌))))
33	1, 28, 30, 32	syl3anc 1439	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌))) = (( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌))))
34	7, 14, 26, 17	pmapmeet 35922	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
35	1, 10, 13, 34	syl3anc 1439	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
36	25, 33, 35	3eqtr4rd 2824	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌))))
37	36	fveq2d 6450	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))
38		hlol 35510	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
39		pmapj2.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
40	7, 39, 14, 8	oldmm4 35369	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
41	38, 40	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
42	41	fveq2d 6450	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
43	20, 37, 42	3eqtr3rd 2822	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3790   ⊆ wss 3791  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  occoc 16346  joincjn 17330  meetcmee 17331  Latclat 17431  OPcops 35321  OLcol 35323  Atomscatm 35412  HLchlt 35499  pmapcpmap 35646  +_𝑃cpadd 35944  ⊥_𝑃cpolN 36051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-riotaBAD 35102

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-undef 7681  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-oposet 35325  df-ol 35327  df-oml 35328  df-covers 35415  df-ats 35416  df-atl 35447  df-cvlat 35471  df-hlat 35500  df-psubsp 35652  df-pmap 35653  df-padd 35945  df-polarityN 36052

This theorem is referenced by:  pmapocjN  36079  pmapojoinN  36117