Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapj2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapj2N 36078
Description: The projective map of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapj2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapj2.j = (join‘𝐾)
pmapj2.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapj2.p + = (+𝑃𝐾)
pmapj2.o = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapj2N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ( ‘( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))

Proof of Theorem pmapj2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1127 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 35512 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
323ad2ant1 1124 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4 hlop 35511 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
543ad2ant1 1124 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6 simp2 1128 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
7 pmapj2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 eqid 2777 . . . . . 6 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
97, 8opoccl 35343 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
105, 6, 9syl2anc 579 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
11 simp3 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
127, 8opoccl 35343 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
135, 11, 12syl2anc 579 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
14 eqid 2777 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
157, 14latmcl 17438 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
163, 10, 13, 15syl3anc 1439 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
17 pmapj2.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
18 pmapj2.o . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
197, 8, 17, 18polpmapN 36061 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
201, 16, 19syl2anc 579 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
217, 8, 17, 18polpmapN 36061 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘(𝑀𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
22213adant3 1123 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
237, 8, 17, 18polpmapN 36061 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀𝑌)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
24233adant2 1122 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀𝑌)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
2522, 24ineq12d 4037 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( ‘(𝑀𝑋)) ∩ ( ‘(𝑀𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
26 eqid 2777 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
277, 26, 17pmapssat 35908 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
28273adant3 1123 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
297, 26, 17pmapssat 35908 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
30293adant2 1122 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
31 pmapj2.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
3226, 31, 18poldmj1N 36077 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑀𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌))) = (( ‘(𝑀𝑋)) ∩ ( ‘(𝑀𝑌))))
331, 28, 30, 32syl3anc 1439 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌))) = (( ‘(𝑀𝑋)) ∩ ( ‘(𝑀𝑌))))
347, 14, 26, 17pmapmeet 35922 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
351, 10, 13, 34syl3anc 1439 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
3625, 33, 353eqtr4rd 2824 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌))))
3736fveq2d 6450 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = ( ‘( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))
38 hlol 35510 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
39 pmapj2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
407, 39, 14, 8oldmm4 35369 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 𝑌))
4138, 40syl3an1 1163 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 𝑌))
4241fveq2d 6450 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘(𝑋 𝑌)))
4320, 37, 423eqtr3rd 2822 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ( ‘( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  cin 3790  wss 3791  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  occoc 16346  joincjn 17330  meetcmee 17331  Latclat 17431  OPcops 35321  OLcol 35323  Atomscatm 35412  HLchlt 35499  pmapcpmap 35646  +𝑃cpadd 35944  𝑃cpolN 36051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-riotaBAD 35102
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-undef 7681  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-oposet 35325  df-ol 35327  df-oml 35328  df-covers 35415  df-ats 35416  df-atl 35447  df-cvlat 35471  df-hlat 35500  df-psubsp 35652  df-pmap 35653  df-padd 35945  df-polarityN 36052
This theorem is referenced by:  pmapocjN  36079  pmapojoinN  36117
  Copyright terms: Public domain W3C validator