Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapj2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapj2N 39641
Description: The projective map of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapj2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapj2.j = (join‘𝐾)
pmapj2.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapj2.p + = (+𝑃𝐾)
pmapj2.o = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapj2N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ( ‘( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))

Proof of Theorem pmapj2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 39074 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
323ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4 hlop 39073 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
543ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
7 pmapj2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 eqid 2726 . . . . . 6 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
97, 8opoccl 38905 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
105, 6, 9syl2anc 582 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
11 simp3 1135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
127, 8opoccl 38905 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
135, 11, 12syl2anc 582 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
14 eqid 2726 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
157, 14latmcl 18460 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
163, 10, 13, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
17 pmapj2.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
18 pmapj2.o . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
197, 8, 17, 18polpmapN 39624 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
201, 16, 19syl2anc 582 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
217, 8, 17, 18polpmapN 39624 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘(𝑀𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
22213adant3 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
237, 8, 17, 18polpmapN 39624 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀𝑌)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
24233adant2 1128 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀𝑌)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
2522, 24ineq12d 4211 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( ‘(𝑀𝑋)) ∩ ( ‘(𝑀𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
26 eqid 2726 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
277, 26, 17pmapssat 39471 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
28273adant3 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
297, 26, 17pmapssat 39471 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
30293adant2 1128 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
31 pmapj2.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
3226, 31, 18poldmj1N 39640 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑀𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌))) = (( ‘(𝑀𝑋)) ∩ ( ‘(𝑀𝑌))))
331, 28, 30, 32syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌))) = (( ‘(𝑀𝑋)) ∩ ( ‘(𝑀𝑌))))
347, 14, 26, 17pmapmeet 39485 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
351, 10, 13, 34syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
3625, 33, 353eqtr4rd 2777 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌))))
3736fveq2d 6897 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = ( ‘( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))
38 hlol 39072 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
39 pmapj2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
407, 39, 14, 8oldmm4 38931 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 𝑌))
4138, 40syl3an1 1160 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 𝑌))
4241fveq2d 6897 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘(𝑋 𝑌)))
4320, 37, 423eqtr3rd 2775 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀‘(𝑋 𝑌)) = ( ‘( ‘((𝑀𝑋) + (𝑀𝑌)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3945  wss 3946  cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  occoc 17269  joincjn 18331  meetcmee 18332  Latclat 18451  OPcops 38883  OLcol 38885  Atomscatm 38974  HLchlt 39061  pmapcpmap 39209  +𝑃cpadd 39507  𝑃cpolN 39614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-proset 18315  df-poset 18333  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-p1 18446  df-lat 18452  df-clat 18519  df-oposet 38887  df-ol 38889  df-oml 38890  df-covers 38977  df-ats 38978  df-atl 39009  df-cvlat 39033  df-hlat 39062  df-psubsp 39215  df-pmap 39216  df-padd 39508  df-polarityN 39615
This theorem is referenced by:  pmapocjN  39642  pmapojoinN  39680
  Copyright terms: Public domain W3C validator