Theorem pmapj2N 39912

Description: The projective map of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapj2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapj2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapj2.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapj2.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pmapj2.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapj2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))

Proof of Theorem pmapj2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
2		hllat 39345	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4		hlop 39344	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
5	4	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		pmapj2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
9	7, 8	opoccl 39176	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	5, 6, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
11		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	7, 8	opoccl 39176	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13	5, 11, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
14		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
15	7, 14	latmcl 18498	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
16	3, 10, 13, 15	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
17		pmapj2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
18		pmapj2.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
19	7, 8, 17, 18	polpmapN 39895	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
20	1, 16, 19	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
21	7, 8, 17, 18	polpmapN 39895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
22	21	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
23	7, 8, 17, 18	polpmapN 39895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
24	23	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
25	22, 24	ineq12d 4229	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
26		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
27	7, 26, 17	pmapssat 39742	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
28	27	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
29	7, 26, 17	pmapssat 39742	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
30	29	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
31		pmapj2.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
32	26, 31, 18	poldmj1N 39911	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌))) = (( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌))))
33	1, 28, 30, 32	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌))) = (( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌))))
34	7, 14, 26, 17	pmapmeet 39756	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
35	1, 10, 13, 34	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
36	25, 33, 35	3eqtr4rd 2786	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌))))
37	36	fveq2d 6911	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))
38		hlol 39343	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
39		pmapj2.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
40	7, 39, 14, 8	oldmm4 39202	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
41	38, 40	syl3an1 1162	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
42	41	fveq2d 6911	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
43	20, 37, 42	3eqtr3rd 2784	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  occoc 17306  joincjn 18369  meetcmee 18370  Latclat 18489  OPcops 39154  OLcol 39156  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  pmapcpmap 39480  +_𝑃cpadd 39778  ⊥_𝑃cpolN 39885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-polarityN 39886

This theorem is referenced by:  pmapocjN  39913  pmapojoinN  39951