Theorem pmapj2N 37943

Description: The projective map of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapj2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapj2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapj2.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapj2.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pmapj2.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapj2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))

Proof of Theorem pmapj2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
2		hllat 37377	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4		hlop 37376	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
5	4	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		pmapj2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
9	7, 8	opoccl 37208	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	5, 6, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
11		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	7, 8	opoccl 37208	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13	5, 11, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
14		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
15	7, 14	latmcl 18158	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
16	3, 10, 13, 15	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
17		pmapj2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
18		pmapj2.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
19	7, 8, 17, 18	polpmapN 37926	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
20	1, 16, 19	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
21	7, 8, 17, 18	polpmapN 37926	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
22	21	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
23	7, 8, 17, 18	polpmapN 37926	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
24	23	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
25	22, 24	ineq12d 4147	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
26		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
27	7, 26, 17	pmapssat 37773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
28	27	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
29	7, 26, 17	pmapssat 37773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
30	29	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
31		pmapj2.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
32	26, 31, 18	poldmj1N 37942	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌))) = (( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌))))
33	1, 28, 30, 32	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌))) = (( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌))))
34	7, 14, 26, 17	pmapmeet 37787	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
35	1, 10, 13, 34	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
36	25, 33, 35	3eqtr4rd 2789	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌))))
37	36	fveq2d 6778	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))
38		hlol 37375	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
39		pmapj2.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
40	7, 39, 14, 8	oldmm4 37234	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
41	38, 40	syl3an1 1162	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
42	41	fveq2d 6778	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
43	20, 37, 42	3eqtr3rd 2787	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  occoc 16970  joincjn 18029  meetcmee 18030  Latclat 18149  OPcops 37186  OLcol 37188  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  pmapcpmap 37511  +_𝑃cpadd 37809  ⊥_𝑃cpolN 37916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-polarityN 37917

This theorem is referenced by:  pmapocjN  37944  pmapojoinN  37982