Theorem pmapj2N 41080

Description: The projective map of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapj2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapj2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapj2.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapj2.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pmapj2.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapj2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))

Proof of Theorem pmapj2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
2		hllat 40514	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4		hlop 40513	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		pmapj2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
9	7, 8	opoccl 40345	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	5, 6, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
11		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	7, 8	opoccl 40345	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13	5, 11, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
15	7, 14	latmcl 18620	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
16	3, 10, 13, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
17		pmapj2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
18		pmapj2.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
19	7, 8, 17, 18	polpmapN 41063	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
20	1, 16, 19	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))))
21	7, 8, 17, 18	polpmapN 41063	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
22	21	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
23	7, 8, 17, 18	polpmapN 41063	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
24	23	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌)))
25	22, 24	ineq12d 4118	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
26		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
27	7, 26, 17	pmapssat 40910	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
28	27	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
29	7, 26, 17	pmapssat 40910	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
30	29	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
31		pmapj2.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
32	26, 31, 18	poldmj1N 41079	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌))) = (( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌))))
33	1, 28, 30, 32	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌))) = (( ⊥ ‘(𝑀‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘(𝑀‘𝑌))))
34	7, 14, 26, 17	pmapmeet 40924	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
35	1, 10, 13, 34	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ((𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) ∩ (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑌))))
36	25, 33, 35	3eqtr4rd 2806	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = ( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌))))
37	36	fveq2d 6890	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(𝑀‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))
38		hlol 40512	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
39		pmapj2.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
40	7, 39, 14, 8	oldmm4 40371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
41	38, 40	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
42	41	fveq2d 6890	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘𝑌)))) = (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
43	20, 37, 42	3eqtr3rd 2804	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑌)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  occoc 17442  joincjn 18491  meetcmee 18492  Latclat 18611  OPcops 40323  OLcol 40325  Atomscatm 40414  HLchlt 40501  pmapcpmap 40648  +_𝑃cpadd 40946  ⊥_𝑃cpolN 41053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-proset 18474  df-poset 18493  df-plt 18508  df-lub 18524  df-glb 18525  df-join 18526  df-meet 18527  df-p0 18603  df-p1 18604  df-lat 18612  df-clat 18679  df-oposet 40327  df-ol 40329  df-oml 40330  df-covers 40417  df-ats 40418  df-atl 40449  df-cvlat 40473  df-hlat 40502  df-psubsp 40654  df-pmap 40655  df-padd 40947  df-polarityN 41054

This theorem is used by:  pmapocjN  41081  pmapojoinN  41119