Theorem olm12 37242

Description: The meet of an ortholattice element with one equals itself. (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
olm1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olm12	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ∧ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olm12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 37227	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		olop 37228	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
5		olm1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		olm1.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
7	5, 6	op1cl 37199	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
9		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		olm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11	5, 10	latmcom 18181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ 1 ))
12	2, 8, 9, 11	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ 1 ))
13	5, 10, 6	olm11 37241	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 1 ) = 𝑋)
14	12, 13	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ∧ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  meetcmee 18030  1.cp1 18142  Latclat 18149  OPcops 37186  OLcol 37188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-proset 18013  df-poset 18031  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-oposet 37190  df-ol 37192

This theorem is referenced by:  dih1  39300  dihjatc  39431