Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olm12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olm12 38602
Description: The meet of an ortholattice element with one equals itself. (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olm1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
olm1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
olm1.u 1 = (1.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
olm12 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 ∧ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olm12
StepHypRef Expression
1 ollat 38587 . . . 4 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 olop 38588 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ OP)
43adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
5 olm1.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 olm1.u . . . . 5 1 = (1.β€˜πΎ)
75, 6op1cl 38559 . . . 4 (𝐾 ∈ OP β†’ 1 ∈ 𝐡)
84, 7syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 1 ∈ 𝐡)
9 simpr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 olm1.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
115, 10latmcom 18424 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ 1 ))
122, 8, 9, 11syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ 1 ))
135, 10, 6olm11 38601 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 1 ) = 𝑋)
1412, 13eqtrd 2764 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 ∧ 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  meetcmee 18273  1.cp1 18385  Latclat 18392  OPcops 38546  OLcol 38548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-oposet 38550  df-ol 38552
This theorem is referenced by:  dih1  40661  dihjatc  40792
  Copyright terms: Public domain W3C validator