Theorem olm12 38966

Description: The meet of an ortholattice element with one equals itself. (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olm1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
olm1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olm12	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ∧ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olm12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 38951	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		olop 38952	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
4	3	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
5		olm1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		olm1.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
7	5, 6	op1cl 38923	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
9		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		olm1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11	5, 10	latmcom 18501	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ 1 ))
12	2, 8, 9, 11	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ 1 ))
13	5, 10, 6	olm11 38965	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 1 ) = 𝑋)
14	12, 13	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ∧ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  ‘cfv 6556  (class class class)co 7427  Basecbs 17226  meetcmee 18350  1.cp1 18462  Latclat 18469  OPcops 38910  OLcol 38912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5291  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3788  df-csb 3904  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-iun 5006  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-id 5582  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7383  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-proset 18333  df-poset 18351  df-lub 18384  df-glb 18385  df-join 18386  df-meet 18387  df-p0 18463  df-p1 18464  df-lat 18470  df-oposet 38914  df-ol 38916

This theorem is referenced by:  dih1  41025  dihjatc  41156