Theorem dihjatc 41881

Description: Isomorphism H of lattice join of an element under the fiducial hyperplane with atom not under it. (Contributed by NM, 26-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjatc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihjatc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihjatc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjatc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihjatc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjatc.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatc.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjatc.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatc.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjatc.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊))
dihjatc.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
dihjatc	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = ((𝐼‘𝑋) ⊕ (𝐼‘𝑃)))

Proof of Theorem dihjatc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihjatc.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3		hlop 39826	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OP)
5		dihjatc.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
7	5, 6	op1cl 39649	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1.‘𝐾) ∈ 𝐵)
9		dihjatc.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊))
10	9	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		dihjatc.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
12	11	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
13		dihjatc.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14	5, 13	atbase 39753	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
16		dihjatc.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
17	5, 16, 6	ople1 39655	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → 𝑃 ≤ (1.‘𝐾))
18	4, 15, 17	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ (1.‘𝐾))
19		hlol 39825	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
20	2, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OL)
21		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
22	5, 21, 6	olm12 39692	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋) = 𝑋)
23	20, 10, 22	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋) = 𝑋)
24	9	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑊)
25	23, 24	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋) ≤ 𝑊)
26		dihjatc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
27		dihjatc.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
28		dihjatc.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
29		dihjatc.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
30		dihjatc.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
31	5, 16, 26, 27, 21, 13, 28, 29, 30	dihjatc3 41777	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (1.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≤ (1.‘𝐾) ∧ ((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋) ∨ 𝑃)) = ((𝐼‘((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋)) ⊕ (𝐼‘𝑃)))
32	1, 8, 10, 11, 18, 25, 31	syl312anc 1394	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋) ∨ 𝑃)) = ((𝐼‘((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋)) ⊕ (𝐼‘𝑃)))
33	23	fvoveq1d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋) ∨ 𝑃)) = (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑃)))
34	23	fveq2d 6840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋)) = (𝐼‘𝑋))
35	34	oveq1d 7377	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋)) ⊕ (𝐼‘𝑃)) = ((𝐼‘𝑋) ⊕ (𝐼‘𝑃)))
36	32, 33, 35	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = ((𝐼‘𝑋) ⊕ (𝐼‘𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  lecple 17222  joincjn 18272  meetcmee 18273  1.cp1 18383  LSSumclsm 19604  OPcops 39636  OLcol 39638  Atomscatm 39727  HLchlt 39814  LHypclh 40448  DVecHcdvh 41542  DIsoHcdih 41692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-riotaBAD 39417

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-tpos 8171  df-undef 8218  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-0g 17399  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cntz 19287  df-lsm 19606  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21094  df-oposet 39640  df-ol 39642  df-oml 39643  df-covers 39730  df-ats 39731  df-atl 39762  df-cvlat 39786  df-hlat 39815  df-llines 39962  df-lplanes 39963  df-lvols 39964  df-lines 39965  df-psubsp 39967  df-pmap 39968  df-padd 40260  df-lhyp 40452  df-laut 40453  df-ldil 40568  df-ltrn 40569  df-trl 40623  df-tendo 41219  df-edring 41221  df-disoa 41493  df-dvech 41543  df-dib 41603  df-dic 41637  df-dih 41693

This theorem is referenced by:  dihjat  41887  dihprrnlem1N  41888