Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihjatc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihjatc 37376
Description: Isomorphism H of lattice join of an element under the fiducial hyperplane with atom not under it. (Contributed by NM, 26-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjatc.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihjatc.l = (le‘𝐾)
dihjatc.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjatc.j = (join‘𝐾)
dihjatc.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjatc.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatc.s = (LSSum‘𝑈)
dihjatc.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatc.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihjatc.x (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋 𝑊))
dihjatc.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
Assertion
Ref Expression
dihjatc (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 𝑃)) = ((𝐼𝑋) (𝐼𝑃)))

Proof of Theorem dihjatc
StepHypRef Expression
1 dihjatc.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21simpld 488 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ HL)
3 hlop 35321 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ OP)
5 dihjatc.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 eqid 2765 . . . . 5 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
75, 6op1cl 35144 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ 𝐵)
84, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (1.‘𝐾) ∈ 𝐵)
9 dihjatc.x . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋 𝑊))
109simpld 488 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
11 dihjatc.p . . 3 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
1211simpld 488 . . . . 5 (𝜑𝑃𝐴)
13 dihjatc.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
145, 13atbase 35248 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1512, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃𝐵)
16 dihjatc.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
175, 16, 6ople1 35150 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐵) → 𝑃 (1.‘𝐾))
184, 15, 17syl2anc 579 . . 3 (𝜑𝑃 (1.‘𝐾))
19 hlol 35320 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
202, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ OL)
21 eqid 2765 . . . . . 6 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
225, 21, 6olm12 35187 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋) = 𝑋)
2320, 10, 22syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋) = 𝑋)
249simprd 489 . . . 4 (𝜑𝑋 𝑊)
2523, 24eqbrtrd 4833 . . 3 (𝜑 → ((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋) 𝑊)
26 dihjatc.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
27 dihjatc.j . . . 4 = (join‘𝐾)
28 dihjatc.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
29 dihjatc.s . . . 4 = (LSSum‘𝑈)
30 dihjatc.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
315, 16, 26, 27, 21, 13, 28, 29, 30dihjatc3 37272 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (1.‘𝐾) ∈ 𝐵𝑋𝐵) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑃 (1.‘𝐾) ∧ ((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋) 𝑊)) → (𝐼‘(((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋) 𝑃)) = ((𝐼‘((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋)) (𝐼𝑃)))
321, 8, 10, 11, 18, 25, 31syl312anc 1510 . 2 (𝜑 → (𝐼‘(((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋) 𝑃)) = ((𝐼‘((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋)) (𝐼𝑃)))
3323fvoveq1d 6866 . 2 (𝜑 → (𝐼‘(((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋) 𝑃)) = (𝐼‘(𝑋 𝑃)))
3423fveq2d 6381 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋)) = (𝐼𝑋))
3534oveq1d 6859 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘((1.‘𝐾)(meet‘𝐾)𝑋)) (𝐼𝑃)) = ((𝐼𝑋) (𝐼𝑃)))
3632, 33, 353eqtr3d 2807 1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 𝑃)) = ((𝐼𝑋) (𝐼𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  Basecbs 16133  lecple 16224  joincjn 17213  meetcmee 17214  1.cp1 17307  LSSumclsm 18316  OPcops 35131  OLcol 35133  Atomscatm 35222  HLchlt 35309  LHypclh 35943  DVecHcdvh 37037  DIsoHcdih 37187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-riotaBAD 34912
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-tpos 7557  df-undef 7604  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-fz 12537  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-0g 16371  df-proset 17197  df-poset 17215  df-plt 17227  df-lub 17243  df-glb 17244  df-join 17245  df-meet 17246  df-p0 17308  df-p1 17309  df-lat 17315  df-clat 17377  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-grp 17695  df-minusg 17696  df-sbg 17697  df-subg 17858  df-cntz 18016  df-lsm 18318  df-cmn 18464  df-abl 18465  df-mgp 18760  df-ur 18772  df-ring 18819  df-oppr 18893  df-dvdsr 18911  df-unit 18912  df-invr 18942  df-dvr 18953  df-drng 19021  df-lmod 19137  df-lss 19205  df-lsp 19247  df-lvec 19378  df-oposet 35135  df-ol 35137  df-oml 35138  df-covers 35225  df-ats 35226  df-atl 35257  df-cvlat 35281  df-hlat 35310  df-llines 35457  df-lplanes 35458  df-lvols 35459  df-lines 35460  df-psubsp 35462  df-pmap 35463  df-padd 35755  df-lhyp 35947  df-laut 35948  df-ldil 36063  df-ltrn 36064  df-trl 36118  df-tendo 36714  df-edring 36716  df-disoa 36988  df-dvech 37038  df-dib 37098  df-dic 37132  df-dih 37188
This theorem is referenced by:  dihjat  37382  dihprrnlem1N  37383
  Copyright terms: Public domain W3C validator