Theorem nnaordex 8065

Description: Equivalence for ordering. Compare Exercise 23 of [Enderton] p. 88. (Contributed by NM, 5-Dec-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaordex	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnaordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
2	1	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ On)
3		onelss 6071	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
5		nnawordex 8064	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
6	4, 5	sylibd 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
7		simplr 756	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐴 ∈ 𝐵)
8		eleq2 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
9	7, 8	syl5ibrcom 239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
10		peano1 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ ω
11		nnaord 8046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
12	10, 11	mp3an1 1427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
13	12	ancoms 451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
14		nna0 8031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
15	14	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
16	15	eleq1d 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
17	13, 16	bitrd 271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
18	17	adantlr 702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
19	9, 18	sylibrd 251	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∅ ∈ 𝑥))
20	19	ancrd 544	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
21	20	reximdva 3219	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
22	21	ex 405	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
23	22	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
24	6, 23	mpdd 43	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
25	17	biimpa 469	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥))
26	25, 8	syl5ibcom 237	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
27	26	expimpd 446	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
28	27	rexlimdva 3229	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
29	28	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
30	24, 29	impbid 204	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3829  ∅c0 4178  Oncon0 6029  (class class class)co 6976  ωcom 7396   +_o coa 7902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-oadd 7909

This theorem is referenced by:  ltexpi  10122