Theorem nnaordex 8579

Description: Equivalence for ordering. Compare Exercise 23 of [Enderton] p. 88. (Contributed by NM, 5-Dec-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaordex	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnaordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7828	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ On)
3		onelss 6362	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
5		nnawordex 8578	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
6	4, 5	sylibd 239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
7		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐴 ∈ 𝐵)
8		eleq2 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
9	7, 8	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
10		peano1 7845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ ω
11		nnaord 8560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
12	10, 11	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
13	12	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
14		nna0 8545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
16	15	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
17	13, 16	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
18	17	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
19	9, 18	sylibrd 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∅ ∈ 𝑥))
20	19	ancrd 551	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
21	20	reximdva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
22	21	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
24	6, 23	mpdd 43	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
25	17	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥))
26	25, 8	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
27	26	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
28	27	rexlimdva 3134	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
29	28	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
30	24, 29	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  Oncon0 6320  (class class class)co 7369  ωcom 7822   +_o coa 8408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-oadd 8415

This theorem is referenced by:  nnaordex2  8580  ltexpi  10831