MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaordex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnaordex 8642
Description: Equivalence for ordering. Compare Exercise 23 of [Enderton] p. 88. (Contributed by NM, 5-Dec-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaordex ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnaordex
StepHypRef Expression
1 nnon 7865 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
21adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ On)
3 onelss 6406 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
5 nnawordex 8641 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
64, 5sylibd 238 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
7 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐴𝐵)
8 eleq2 2821 . . . . . . . . 9 ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ 𝐴𝐵))
97, 8syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
10 peano1 7883 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ ω
11 nnaord 8623 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
1210, 11mp3an1 1447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
1312ancoms 458 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
14 nna0 8608 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
1615eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
1713, 16bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
1817adantlr 712 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
199, 18sylibrd 259 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∅ ∈ 𝑥))
2019ancrd 551 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
2120reximdva 3167 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵) → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
2221ex 412 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
2322adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
246, 23mpdd 43 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
2517biimpa 476 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥))
2625, 8syl5ibcom 244 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵𝐴𝐵))
2726expimpd 453 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴𝐵))
2827rexlimdva 3154 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴𝐵))
2928adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴𝐵))
3024, 29impbid 211 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3069  wss 3948  c0 4322  Oncon0 6364  (class class class)co 7412  ωcom 7859   +o coa 8467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-oadd 8474
This theorem is referenced by:  ltexpi  10901
  Copyright terms: Public domain W3C validator