Theorem nnaordex 8694

Description: Equivalence for ordering. Compare Exercise 23 of [Enderton] p. 88. (Contributed by NM, 5-Dec-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaordex	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnaordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7909	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ On)
3		onelss 6437	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
5		nnawordex 8693	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
6	4, 5	sylibd 239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
7		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐴 ∈ 𝐵)
8		eleq2 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
9	7, 8	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
10		peano1 7927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ ω
11		nnaord 8675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
12	10, 11	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
13	12	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
14		nna0 8660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
16	15	eleq1d 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
17	13, 16	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
18	17	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
19	9, 18	sylibrd 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∅ ∈ 𝑥))
20	19	ancrd 551	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
21	20	reximdva 3174	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
22	21	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
24	6, 23	mpdd 43	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
25	17	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥))
26	25, 8	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
27	26	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
28	27	rexlimdva 3161	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
29	28	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
30	24, 29	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  Oncon0 6395  (class class class)co 7448  ωcom 7903   +_o coa 8519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-oadd 8526

This theorem is referenced by:  nnaordex2  8695  ltexpi  10971