Theorem nnaordex 8672

Description: Equivalence for ordering. Compare Exercise 23 of [Enderton] p. 88. (Contributed by NM, 5-Dec-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaordex	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnaordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7904	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
2	1	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ On)
3		onelss 6420	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
5		nnawordex 8671	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
6	4, 5	sylibd 242	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
7		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐴 ∈ 𝐵)
8		eleq2 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
9	7, 8	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
10		peano1 7921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ ω
11		nnaord 8653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
12	10, 11	mp3an1 1478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
13	12	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
14		nna0 8638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
16	15	eleq1d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
17	13, 16	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
18	17	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥)))
19	9, 18	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∅ ∈ 𝑥))
20	19	ancrd 561	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
21	20	reximdva 3179	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
22	21	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
23	22	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
24	6, 23	mpdd 44	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
25	17	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝑥))
26	25, 8	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
27	26	expimpd 459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
28	27	rexlimdva 3167	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
29	28	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
30	24, 29	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  Oncon0 6377  (class class class)co 7440  ωcom 7898   +_o coa 8498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-oadd 8505

This theorem is used by:  nnaordex2  8673  ltexpi  11011