Theorem oldssmade 28259

Description: The older-than set is a subset of the made set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldssmade	⊢ (O‘𝐴) ⊆ (M‘𝐴)

Proof of Theorem oldssmade

Dummy variables 𝑥 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elold 28251	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ (O‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑏)))
2		onelss 6405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑏 ∈ 𝐴 → 𝑏 ⊆ 𝐴))
3	2	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
4		madess 28258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → (M‘𝑏) ⊆ (M‘𝐴))
5	3, 4	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (M‘𝑏) ⊆ (M‘𝐴))
6	5	sseld 3907	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ (M‘𝑏) → 𝑥 ∈ (M‘𝐴)))
7	6	rexlimdva 3163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑏) → 𝑥 ∈ (M‘𝐴)))
8	1, 7	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ (O‘𝐴) → 𝑥 ∈ (M‘𝐴)))
9	8	ssrdv 3914	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (O‘𝐴) ⊆ (M‘𝐴))
10		oldf 28229	. . . . . 6 ⊢ O:On⟶𝒫 No
11	10	fdmi 6722	. . . . 5 ⊢ dom O = On
12	11	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom O ↔ 𝐴 ∈ On)
13		ndmfv 6918	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom O → (O‘𝐴) = ∅)
14	12, 13	sylnbir 334	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (O‘𝐴) = ∅)
15		0ss 4349	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (M‘𝐴)
16	14, 15	eqsstrdi 3952	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (O‘𝐴) ⊆ (M‘𝐴))
17	9, 16	pm2.61i 184	1 ⊢ (O‘𝐴) ⊆ (M‘𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  dom cdm 5650  Oncon0 6362  ‘cfv 6539  Nocsur 28003  Mcmade 28214  Ocold 28215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 28006  df-lts 28007  df-bday 28008  df-slts 28150  df-cuts 28152  df-made 28219  df-old 28220

This theorem is used by:  oldmade  28260  oldmaded  28261  madeun  28276  madeoldsuc  28277  oldfib  28769