Theorem oldssmade 27791

Description: The older-than set is a subset of the made set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldssmade	⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)

Proof of Theorem oldssmade

Dummy variables 𝑥 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elold 27783	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)))
2		onelss 6405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑏 ∈ 𝐴 → 𝑏 ⊆ 𝐴))
3	2	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
4		madess 27790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ( M ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝐴))
5	3, 4	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ( M ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝐴))
6	5	sseld 3977	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ( M ‘𝑏) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
7	6	rexlimdva 3150	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
8	1, 7	sylbid 239	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
9	8	ssrdv 3984	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴))
10		oldf 27771	. . . . . 6 ⊢ O :On⟶𝒫 No
11	10	fdmi 6728	. . . . 5 ⊢ dom O = On
12	11	eleq2i 2820	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom O ↔ 𝐴 ∈ On)
13		ndmfv 6926	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom O → ( O ‘𝐴) = ∅)
14	12, 13	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) = ∅)
15		0ss 4392	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ( M ‘𝐴)
16	14, 15	eqsstrdi 4032	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴))
17	9, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4598  dom cdm 5672  Oncon0 6363  ‘cfv 6542   No csur 27560   M cmade 27756   O cold 27757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27563  df-slt 27564  df-bday 27565  df-sslt 27701  df-scut 27703  df-made 27761  df-old 27762

This theorem is referenced by:  madeun  27797  madeoldsuc  27798  oldlim  27800