Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldssmade Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldssmade 34105
Description: The older-than set is a subset of the made set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
oldssmade ( O β€˜π΄) βŠ† ( M β€˜π΄)

Proof of Theorem oldssmade
Dummy variables π‘₯ 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elold 34098 . . . 4 (𝐴 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ ( O β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘)))
2 onelss 6323 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On β†’ (𝑏 ∈ 𝐴 β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴))
32imp 408 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
4 madess 34104 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) β†’ ( M β€˜π‘) βŠ† ( M β€˜π΄))
53, 4syldan 592 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ( M β€˜π‘) βŠ† ( M β€˜π΄))
65sseld 3925 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘) β†’ π‘₯ ∈ ( M β€˜π΄)))
76rexlimdva 3149 . . . 4 (𝐴 ∈ On β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘) β†’ π‘₯ ∈ ( M β€˜π΄)))
81, 7sylbid 239 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ ( O β€˜π΄) β†’ π‘₯ ∈ ( M β€˜π΄)))
98ssrdv 3932 . 2 (𝐴 ∈ On β†’ ( O β€˜π΄) βŠ† ( M β€˜π΄))
10 oldf 34086 . . . . . 6 O :OnβŸΆπ’« No
1110fdmi 6642 . . . . 5 dom O = On
1211eleq2i 2828 . . . 4 (𝐴 ∈ dom O ↔ 𝐴 ∈ On)
13 ndmfv 6836 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ dom O β†’ ( O β€˜π΄) = βˆ…)
1412, 13sylnbir 331 . . 3 (Β¬ 𝐴 ∈ On β†’ ( O β€˜π΄) = βˆ…)
15 0ss 4336 . . 3 βˆ… βŠ† ( M β€˜π΄)
1614, 15eqsstrdi 3980 . 2 (Β¬ 𝐴 ∈ On β†’ ( O β€˜π΄) βŠ† ( M β€˜π΄))
179, 16pm2.61i 182 1 ( O β€˜π΄) βŠ† ( M β€˜π΄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3892  βˆ…c0 4262  π’« cpw 4539  dom cdm 5600  Oncon0 6281  β€˜cfv 6458   No csur 33888   M cmade 34071   O cold 34072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-1o 8328  df-2o 8329  df-no 33891  df-slt 33892  df-bday 33893  df-sslt 34021  df-scut 34023  df-made 34076  df-old 34077
This theorem is referenced by:  madeun  34111  madeoldsuc  34112  oldlim  34114
  Copyright terms: Public domain W3C validator