Theorem oldssmade 27884

Description: The older-than set is a subset of the made set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldssmade	⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)

Proof of Theorem oldssmade

Dummy variables 𝑥 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elold 27876	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)))
2		onelss 6359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑏 ∈ 𝐴 → 𝑏 ⊆ 𝐴))
3	2	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
4		madess 27883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ( M ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝐴))
5	3, 4	syldan 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ( M ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝐴))
6	5	sseld 3921	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ( M ‘𝑏) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
7	6	rexlimdva 3141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
8	1, 7	sylbid 241	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
9	8	ssrdv 3928	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴))
10		oldf 27854	. . . . . 6 ⊢ O :On⟶𝒫 No
11	10	fdmi 6673	. . . . 5 ⊢ dom O = On
12	11	eleq2i 2832	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom O ↔ 𝐴 ∈ On)
13		ndmfv 6866	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom O → ( O ‘𝐴) = ∅)
14	12, 13	sylnbir 332	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) = ∅)
15		0ss 4335	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ( M ‘𝐴)
16	14, 15	eqsstrdi 3966	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴))
17	9, 16	pm2.61i 183	1 ⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536  dom cdm 5625  Oncon0 6317  ‘cfv 6492   No csur 27628   M cmade 27839   O cold 27840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-1o 8402  df-2o 8403  df-no 27631  df-lts 27632  df-bday 27633  df-slts 27775  df-cuts 27777  df-made 27844  df-old 27845

This theorem is referenced by:  oldmade  27885  oldmaded  27886  madeun  27901  madeoldsuc  27902  oldfib  28394