Theorem oldssmade 27820

Description: The older-than set is a subset of the made set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldssmade	⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)

Proof of Theorem oldssmade

Dummy variables 𝑥 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elold 27812	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)))
2		onelss 6348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑏 ∈ 𝐴 → 𝑏 ⊆ 𝐴))
3	2	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
4		madess 27819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ( M ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝐴))
5	3, 4	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ( M ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝐴))
6	5	sseld 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ( M ‘𝑏) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
7	6	rexlimdva 3133	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
8	1, 7	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
9	8	ssrdv 3940	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴))
10		oldf 27796	. . . . . 6 ⊢ O :On⟶𝒫 No
11	10	fdmi 6662	. . . . 5 ⊢ dom O = On
12	11	eleq2i 2823	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom O ↔ 𝐴 ∈ On)
13		ndmfv 6854	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom O → ( O ‘𝐴) = ∅)
14	12, 13	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) = ∅)
15		0ss 4350	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ( M ‘𝐴)
16	14, 15	eqsstrdi 3979	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴))
17	9, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4550  dom cdm 5616  Oncon0 6306  ‘cfv 6481   No csur 27576   M cmade 27781   O cold 27782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-1o 8385  df-2o 8386  df-no 27579  df-slt 27580  df-bday 27581  df-sslt 27719  df-scut 27721  df-made 27786  df-old 27787

This theorem is referenced by:  madeun  27827  madeoldsuc  27828  oldlim  27830