MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oldssmade Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldssmade 27917
Description: The older-than set is a subset of the made set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
oldssmade ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)

Proof of Theorem oldssmade
Dummy variables 𝑥 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elold 27909 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)))
2 onelss 6425 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On → (𝑏𝐴𝑏𝐴))
32imp 406 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
4 madess 27916 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏𝐴) → ( M ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝐴))
53, 4syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏𝐴) → ( M ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝐴))
65sseld 3981 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏𝐴) → (𝑥 ∈ ( M ‘𝑏) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
76rexlimdva 3154 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
81, 7sylbid 240 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
98ssrdv 3988 . 2 (𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴))
10 oldf 27897 . . . . . 6 O :On⟶𝒫 No
1110fdmi 6746 . . . . 5 dom O = On
1211eleq2i 2832 . . . 4 (𝐴 ∈ dom O ↔ 𝐴 ∈ On)
13 ndmfv 6940 . . . 4 𝐴 ∈ dom O → ( O ‘𝐴) = ∅)
1412, 13sylnbir 331 . . 3 𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) = ∅)
15 0ss 4399 . . 3 ∅ ⊆ ( M ‘𝐴)
1614, 15eqsstrdi 4027 . 2 𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴))
179, 16pm2.61i 182 1 ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3069  wss 3950  c0 4332  𝒫 cpw 4599  dom cdm 5684  Oncon0 6383  cfv 6560   No csur 27685   M cmade 27882   O cold 27883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-1o 8507  df-2o 8508  df-no 27688  df-slt 27689  df-bday 27690  df-sslt 27827  df-scut 27829  df-made 27887  df-old 27888
This theorem is referenced by:  madeun  27923  madeoldsuc  27924  oldlim  27926
  Copyright terms: Public domain W3C validator