Theorem oldssmade 27606

Description: The older-than set is a subset of the made set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldssmade	⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)

Proof of Theorem oldssmade

Dummy variables 𝑥 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elold 27598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)))
2		onelss 6407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑏 ∈ 𝐴 → 𝑏 ⊆ 𝐴))
3	2	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
4		madess 27605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ( M ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝐴))
5	3, 4	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ( M ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝐴))
6	5	sseld 3982	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ( M ‘𝑏) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
7	6	rexlimdva 3154	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
8	1, 7	sylbid 239	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
9	8	ssrdv 3989	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴))
10		oldf 27586	. . . . . 6 ⊢ O :On⟶𝒫 No
11	10	fdmi 6730	. . . . 5 ⊢ dom O = On
12	11	eleq2i 2824	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom O ↔ 𝐴 ∈ On)
13		ndmfv 6927	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom O → ( O ‘𝐴) = ∅)
14	12, 13	sylnbir 330	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) = ∅)
15		0ss 4397	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ( M ‘𝐴)
16	14, 15	eqsstrdi 4037	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴))
17	9, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  dom cdm 5677  Oncon0 6365  ‘cfv 6544   No csur 27376   M cmade 27571   O cold 27572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-1o 8469  df-2o 8470  df-no 27379  df-slt 27380  df-bday 27381  df-sslt 27516  df-scut 27518  df-made 27576  df-old 27577

This theorem is referenced by:  madeun  27612  madeoldsuc  27613  oldlim  27615