Theorem oldssmade 27795

Description: The older-than set is a subset of the made set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldssmade	⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)

Proof of Theorem oldssmade

Dummy variables 𝑥 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elold 27787	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)))
2		onelss 6376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑏 ∈ 𝐴 → 𝑏 ⊆ 𝐴))
3	2	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
4		madess 27794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) → ( M ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝐴))
5	3, 4	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ( M ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝐴))
6	5	sseld 3947	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ( M ‘𝑏) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
7	6	rexlimdva 3135	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
8	1, 7	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝐴)))
9	8	ssrdv 3954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴))
10		oldf 27771	. . . . . 6 ⊢ O :On⟶𝒫 No
11	10	fdmi 6701	. . . . 5 ⊢ dom O = On
12	11	eleq2i 2821	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom O ↔ 𝐴 ∈ On)
13		ndmfv 6895	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom O → ( O ‘𝐴) = ∅)
14	12, 13	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) = ∅)
15		0ss 4365	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ( M ‘𝐴)
16	14, 15	eqsstrdi 3993	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴))
17	9, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298  𝒫 cpw 4565  dom cdm 5640  Oncon0 6334  ‘cfv 6513   No csur 27557   M cmade 27756   O cold 27757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-1o 8436  df-2o 8437  df-no 27560  df-slt 27561  df-bday 27562  df-sslt 27699  df-scut 27701  df-made 27761  df-old 27762

This theorem is referenced by:  madeun  27801  madeoldsuc  27802  oldlim  27804