Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hllat 37854 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
2 | 1 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
3 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΄) |
4 | | 1cvrat.b |
. . . . . . 7
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
5 | | 1cvrat.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 4, 5 | atbase 37780 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
7 | 3, 6 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
8 | | simp22 1208 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΄) |
9 | 4, 5 | atbase 37780 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
11 | | 1cvrat.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | 4, 11 | latjcom 18343 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
13 | 2, 7, 10, 12 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
14 | 13 | oveq1d 7377 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π)) |
15 | 4, 11 | latjcl 18335 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
16 | 2, 10, 7, 15 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) β π΅) |
17 | | simp23 1209 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
18 | | 1cvrat.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
19 | 4, 18 | latmcom 18359 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β π΅ β§ π β π΅) β ((π β¨ π) β§ π) = (π β§ (π β¨ π))) |
20 | 2, 16, 17, 19 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ π) β§ π) = (π β§ (π β¨ π))) |
21 | 14, 20 | eqtrd 2777 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ π) β§ π) = (π β§ (π β¨ π))) |
22 | | simp1 1137 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β HL) |
23 | 17, 8, 3 | 3jca 1129 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) |
24 | | simp31 1210 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β π β π) |
25 | 24 | necomd 3000 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β π β π) |
26 | | simp33 1212 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β Β¬ π β€ π) |
27 | | hlop 37853 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β OP) |
28 | 27 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β OP) |
29 | | 1cvrat.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
30 | | 1cvrat.u |
. . . . . 6
β’ 1 =
(1.βπΎ) |
31 | 4, 29, 30 | ople1 37682 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β OP β§ π β π΅) β π β€ 1 ) |
32 | 28, 10, 31 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β π β€ 1 ) |
33 | | simp32 1211 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β ππΆ 1 ) |
34 | | 1cvrat.c |
. . . . . 6
β’ πΆ = ( β βπΎ) |
35 | 4, 29, 11, 30, 34, 5 | 1cvrjat 37967 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ (ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) = 1 ) |
36 | 22, 17, 3, 33, 26, 35 | syl32anc 1379 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) = 1 ) |
37 | 32, 36 | breqtrrd 5138 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
38 | 4, 29, 11, 18, 5 | cvrat3 37934 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β π β§ Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β§ (π β¨ π)) β π΄)) |
39 | 38 | imp 408 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β§ (π β¨ π)) β π΄) |
40 | 22, 23, 25, 26, 37, 39 | syl23anc 1378 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ (π β¨ π)) β π΄) |
41 | 21, 40 | eqeltrd 2838 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β π β§ ππΆ 1 β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ π) β§ π) β π΄) |