Theorem rankr1clem 9844

Description: Lemma for rankr1c 9845. (Contributed by NM, 6-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1clem	⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))

Proof of Theorem rankr1clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankr1ag 9826	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
2	1	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
3		r1funlim 9790	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
4	3	simpri 485	. . . . . 6 ⊢ Lim dom 𝑅1
5		limord 6429	. . . . . 6 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Ord dom 𝑅1
7		ordelon 6393	. . . . 5 ⊢ ((Ord dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
8	6, 7	mpan 689	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → 𝐵 ∈ On)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
10		rankon 9819	. . 3 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
11		ontri1 6403	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ (rank‘𝐴) ∈ On) → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
12	9, 10, 11	sylancl 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
13	2, 12	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4908  dom cdm 5678   “ cima 5681  Ord word 6368  Oncon0 6369  Lim wlim 6370  Fun wfun 6542  ‘cfv 6548  𝑅₁cr1 9786  rankcrnk 9787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-r1 9788  df-rank 9789

This theorem is referenced by:  rankr1c  9845  ssrankr1  9859