MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1clem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankr1clem 9844
Description: Lemma for rankr1c 9845. (Contributed by NM, 6-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankr1clem ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))

Proof of Theorem rankr1clem
StepHypRef Expression
1 rankr1ag 9826 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
21notbid 318 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
3 r1funlim 9790 . . . . . . 7 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
43simpri 485 . . . . . 6 Lim dom 𝑅1
5 limord 6429 . . . . . 6 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 Ord dom 𝑅1
7 ordelon 6393 . . . . 5 ((Ord dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
86, 7mpan 689 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
98adantl 481 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
10 rankon 9819 . . 3 (rank‘𝐴) ∈ On
11 ontri1 6403 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ (rank‘𝐴) ∈ On) → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
129, 10, 11sylancl 585 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
132, 12bitr4d 282 1 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2099  wss 3947   cuni 4908  dom cdm 5678  cima 5681  Ord word 6368  Oncon0 6369  Lim wlim 6370  Fun wfun 6542  cfv 6548  𝑅1cr1 9786  rankcrnk 9787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-r1 9788  df-rank 9789
This theorem is referenced by:  rankr1c  9845  ssrankr1  9859
  Copyright terms: Public domain W3C validator