Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1clem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankr1clem 9237
 Description: Lemma for rankr1c 9238. (Contributed by NM, 6-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankr1clem ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))

Proof of Theorem rankr1clem
StepHypRef Expression
1 rankr1ag 9219 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
21notbid 321 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
3 r1funlim 9183 . . . . . . 7 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
43simpri 489 . . . . . 6 Lim dom 𝑅1
5 limord 6228 . . . . . 6 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 Ord dom 𝑅1
7 ordelon 6193 . . . . 5 ((Ord dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
86, 7mpan 689 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
98adantl 485 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
10 rankon 9212 . . 3 (rank‘𝐴) ∈ On
11 ontri1 6203 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ (rank‘𝐴) ∈ On) → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
129, 10, 11sylancl 589 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
132, 12bitr4d 285 1 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3908  ∪ cuni 4813  dom cdm 5532   “ cima 5535  Ord word 6168  Oncon0 6169  Lim wlim 6170  Fun wfun 6328  ‘cfv 6334  𝑅1cr1 9179  rankcrnk 9180 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-r1 9181  df-rank 9182 This theorem is referenced by:  rankr1c  9238  ssrankr1  9252
 Copyright terms: Public domain W3C validator