Theorem nadd1rabtr 44333

Description: The set of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is transitive. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd1rabtr	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd1rabtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nadd2rabtr 44329	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
2		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
3		ordelon 6375	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
4	3	3ad2antl1 1204	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
5		naddcom 8670	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐵 +no 𝑥) = (𝑥 +no 𝐵))
6	2, 4, 5	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 +no 𝑥) = (𝑥 +no 𝐵))
7	6	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶))
8	7	rabbidva 3418	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶})
9		treq 5218	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶} → (Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ↔ Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶}))
10	8, 9	syl 18	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ↔ Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶}))
11	1, 10	mpbid 235	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Tr {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Tr wtr 5211  Ord word 6350  Oncon0 6351  (class class class)co 7408   +no cnadd 8652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-nadd 8653

This theorem is used by:  nadd1rabord  44334