Theorem nadd1rabex 44177

Description: The class of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is a set. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd1rabex	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd1rabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
2		ordelon 6388	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
3	2	3ad2antl1 1204	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
4		naddcom 8675	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐵 +no 𝑥) = (𝑥 +no 𝐵))
5	1, 3, 4	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 +no 𝑥) = (𝑥 +no 𝐵))
6	5	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶))
7	6	rabbidva 3424	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶})
8		nadd2rabex 44173	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ V)
9	7, 8	eqeltrrd 2866	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶} ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457  Ord word 6363  Oncon0 6364  (class class class)co 7419   +no cnadd 8657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-nadd 8658

This theorem is used by:  nadd1rabon  44178