Theorem nadd1rabex 43403

Description: The class of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is a set. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd1rabex	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd1rabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
2		ordelon 6408	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
3	2	3ad2antl1 1186	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
4		naddcom 8720	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐵 +no 𝑥) = (𝑥 +no 𝐵))
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 +no 𝑥) = (𝑥 +no 𝐵))
6	5	eleq1d 2826	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶))
7	6	rabbidva 3443	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶})
8		nadd2rabex 43399	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ V)
9	7, 8	eqeltrrd 2842	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑥 +no 𝐵) ∈ 𝐶} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  Ord word 6383  Oncon0 6384  (class class class)co 7431   +no cnadd 8703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-nadd 8704

This theorem is referenced by:  nadd1rabon  43404