Theorem omord2lim 43262

Description: Given a limit ordinal, the product of any non-zero ordinal with an ordinal less than that limit ordinal is less than the product of the non-zero ordinal with the limit ordinal . Lemma 3.14 of [Schloeder] p. 9. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
omord2lim	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))

Proof of Theorem omord2lim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limord 6455	. . . . 5 ⊢ (Lim 𝐶 → Ord 𝐶)
2	1	ad2antrl 727	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → Ord 𝐶)
3		ordelon 6419	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
4	2, 3	sylan 579	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
5		elex 3509	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
6	1, 5	anim12i 612	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (Ord 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V))
7	6	ad2antlr 726	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (Ord 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V))
8		elon2 6406	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ On ↔ (Ord 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V))
9	7, 8	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ On)
10		simplll 774	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ On)
11		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐶)
12		on0eln0 6451	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
13	12	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
14	13	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∅ ∈ 𝐴)
15		omord 8624	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))
16	15	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶))
17	4, 9, 10, 11, 14, 16	syl32anc 1378	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶))
18	17	ex 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488  ∅c0 4352  Ord word 6394  Oncon0 6395  Lim wlim 6396  (class class class)co 7448   ·_o comu 8520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-oadd 8526  df-omul 8527

This theorem is referenced by: (None)