Theorem omord2lim 43290

Description: Given a limit ordinal, the product of any non-zero ordinal with an ordinal less than that limit ordinal is less than the product of the non-zero ordinal with the limit ordinal . Lemma 3.14 of [Schloeder] p. 9. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
omord2lim	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))

Proof of Theorem omord2lim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limord 6446	. . . . 5 ⊢ (Lim 𝐶 → Ord 𝐶)
2	1	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → Ord 𝐶)
3		ordelon 6410	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
4	2, 3	sylan 580	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
5		elex 3499	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
6	1, 5	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (Ord 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V))
7	6	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (Ord 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V))
8		elon2 6397	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ On ↔ (Ord 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V))
9	7, 8	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ On)
10		simplll 775	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ On)
11		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐶)
12		on0eln0 6442	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
13	12	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
14	13	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∅ ∈ 𝐴)
15		omord 8605	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))
16	15	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶))
17	4, 9, 10, 11, 14, 16	syl32anc 1377	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶))
18	17	ex 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478  ∅c0 4339  Ord word 6385  Oncon0 6386  Lim wlim 6387  (class class class)co 7431   ·_o comu 8503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-oadd 8509  df-omul 8510

This theorem is referenced by: (None)