Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omord2lim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omord2lim 43313
Description: Given a limit ordinal, the product of any non-zero ordinal with an ordinal less than that limit ordinal is less than the product of the non-zero ordinal with the limit ordinal . Lemma 3.14 of [Schloeder] p. 9. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
omord2lim (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) → (𝐵𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))

Proof of Theorem omord2lim
StepHypRef Expression
1 limord 6444 . . . . 5 (Lim 𝐶 → Ord 𝐶)
21ad2antrl 728 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) → Ord 𝐶)
3 ordelon 6408 . . . 4 ((Ord 𝐶𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ On)
42, 3sylan 580 . . 3 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ On)
5 elex 3501 . . . . . 6 (𝐶𝑉𝐶 ∈ V)
61, 5anim12i 613 . . . . 5 ((Lim 𝐶𝐶𝑉) → (Ord 𝐶𝐶 ∈ V))
76ad2antlr 727 . . . 4 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → (Ord 𝐶𝐶 ∈ V))
8 elon2 6395 . . . 4 (𝐶 ∈ On ↔ (Ord 𝐶𝐶 ∈ V))
97, 8sylibr 234 . . 3 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ On)
10 simplll 775 . . 3 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ On)
11 simpr 484 . . 3 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
12 on0eln0 6440 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1312biimpar 477 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
1413ad2antrr 726 . . 3 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → ∅ ∈ 𝐴)
15 omord 8606 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))
1615biimpa 476 . . 3 (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ (𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶))
174, 9, 10, 11, 14, 16syl32anc 1380 . 2 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶))
1817ex 412 1 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) → (𝐵𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  c0 4333  Ord word 6383  Oncon0 6384  Lim wlim 6385  (class class class)co 7431   ·o comu 8504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-oadd 8510  df-omul 8511
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator