Theorem omord2lim 44126

Description: Given a limit ordinal, the product of any nonzero ordinal with an ordinal less than that limit ordinal is less than the product of the nonzero ordinal with the limit ordinal . Lemma 3.14 of [Schloeder] p. 9. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
omord2lim	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))

Proof of Theorem omord2lim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limord 6423	. . . . 5 ⊢ (Lim 𝐶 → Ord 𝐶)
2	1	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → Ord 𝐶)
3		ordelon 6385	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
4	2, 3	sylan 592	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
5		elex 3474	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
6	1, 5	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (Ord 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V))
7	6	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (Ord 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V))
8		elon2 6372	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ On ↔ (Ord 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V))
9	7, 8	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ On)
10		simplll 787	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ On)
11		simpr 490	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐶)
12		on0eln0 6419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
13	12	biimpar 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
14	13	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∅ ∈ 𝐴)
15		omord 8558	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))
16	15	biimpa 482	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶))
17	4, 9, 10, 11, 14, 16	syl32anc 1405	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶))
18	17	ex 418	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453  ∅c0 4282  Ord word 6360  Oncon0 6361  Lim wlim 6362  (class class class)co 7416   ·_o comu 8456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-oadd 8462  df-omul 8463

This theorem is used by: (None)