Theorem rrnval 36684

Description: The n-dimensional Euclidean space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrnval.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrnval	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐼   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rrnval

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7414	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (ℝ ↑m 𝑖) = (ℝ ↑m 𝐼))
2		rrnval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
3	1, 2	eqtr4di 2791	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (ℝ ↑m 𝑖) = 𝑋)
4		sumeq1 15632	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
5	4	fveq2d 6893	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
6	3, 3, 5	mpoeq123dv 7481	. 2 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑖), 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝑖) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
7		df-rrn 36683	. 2 ⊢ ℝn = (𝑖 ∈ Fin ↦ (𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑖), 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝑖) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
8		fvrn0 6919	. . . . 5 ⊢ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
9	8	rgen2w 3067	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
10		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
11	10	fmpo 8051	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅}))
12	9, 11	mpbi 229	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅})
13		ovex 7439	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
14	2, 13	eqeltri 2830	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
15	14, 14	xpex 7737	. . 3 ⊢ (𝑋 × 𝑋) ∈ V
16		cnex 11188	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
17		sqrtf 15307	. . . . . 6 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
18		frn 6722	. . . . . 6 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran √ ⊆ ℂ
20	16, 19	ssexi 5322	. . . 4 ⊢ ran √ ∈ V
21		p0ex 5382	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
22	20, 21	unex 7730	. . 3 ⊢ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
23		fex2 7921	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅}) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V ∧ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) ∈ V)
24	12, 15, 22, 23	mp3an 1462	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) ∈ V
25	6, 7, 24	fvmpt 6996	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3475   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628   × cxp 5674  ran crn 5677  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408   ↑_m cmap 8817  Fincfn 8936  ℂcc 11105  ℝcr 11106   − cmin 11441  2c2 12264  ↑cexp 14024  √csqrt 15177  Σcsu 15629  ℝⁿcrrn 36682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-sum 15630  df-rrn 36683

This theorem is referenced by:  rrnmval  36685  rrnmet  36686