Theorem rrnval 38577

Description: The n-dimensional Euclidean space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrnval.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrnval	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐼   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rrnval

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7421	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (ℝ ↑m 𝑖) = (ℝ ↑m 𝐼))
2		rrnval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
3	1, 2	eqtr4di 2813	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (ℝ ↑m 𝑖) = 𝑋)
4		sumeq1 15776	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
5	4	fveq2d 6882	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
6	3, 3, 5	mpoeq123dv 7488	. 2 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑖), 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝑖) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
7		df-rrn 38576	. 2 ⊢ ℝn = (𝑖 ∈ Fin ↦ (𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑖), 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝑖) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
8		fvrn0 6906	. . . . 5 ⊢ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
9	8	rgen2w 3081	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
11	10	fmpo 8065	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅}))
12	9, 11	mpbi 233	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅})
13		ovex 7446	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
14	2, 13	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
15	14, 14	xpex 7752	. . 3 ⊢ (𝑋 × 𝑋) ∈ V
16		cnex 11205	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
17		sqrtf 15451	. . . . . 6 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
18		frn 6710	. . . . . 6 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran √ ⊆ ℂ
20	16, 19	ssexi 5287	. . . 4 ⊢ ran √ ∈ V
21		p0ex 5349	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
22	20, 21	unex 7746	. . 3 ⊢ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
23		fex2 7933	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅}) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V ∧ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) ∈ V)
24	12, 15, 22, 23	mp3an 1490	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) ∈ V
25	6, 7, 24	fvmpt 6986	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   × cxp 5653  ran crn 5656  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8952  ℂcc 11122  ℝcr 11123   − cmin 11465  2c2 12319  ↑cexp 14125  √csqrt 15320  Σcsu 15773  ℝⁿcrrn 38575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-sum 15774  df-rrn 38576

This theorem is used by:  rrnmval  38578  rrnmet  38579