Theorem rrnval 35120

Description: The n-dimensional Euclidean space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrnval.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrnval	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐼   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rrnval

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7164	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (ℝ ↑m 𝑖) = (ℝ ↑m 𝐼))
2		rrnval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
3	1, 2	syl6eqr 2874	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (ℝ ↑m 𝑖) = 𝑋)
4		sumeq1 15045	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
5	4	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
6	3, 3, 5	mpoeq123dv 7229	. 2 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑖), 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝑖) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
7		df-rrn 35119	. 2 ⊢ ℝn = (𝑖 ∈ Fin ↦ (𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑖), 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝑖) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
8		fvrn0 6698	. . . . 5 ⊢ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
9	8	rgen2w 3151	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
10		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
11	10	fmpo 7766	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅}))
12	9, 11	mpbi 232	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅})
13		ovex 7189	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
14	2, 13	eqeltri 2909	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
15	14, 14	xpex 7476	. . 3 ⊢ (𝑋 × 𝑋) ∈ V
16		cnex 10618	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
17		sqrtf 14723	. . . . . 6 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
18		frn 6520	. . . . . 6 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran √ ⊆ ℂ
20	16, 19	ssexi 5226	. . . 4 ⊢ ran √ ∈ V
21		p0ex 5285	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
22	20, 21	unex 7469	. . 3 ⊢ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
23		fex2 7638	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅}) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V ∧ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) ∈ V)
24	12, 15, 22, 23	mp3an 1457	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) ∈ V
25	6, 7, 24	fvmpt 6768	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  Vcvv 3494   ∪ cun 3934   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4567   × cxp 5553  ran crn 5556  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158   ↑_m cmap 8406  Fincfn 8509  ℂcc 10535  ℝcr 10536   − cmin 10870  2c2 11693  ↑cexp 13430  √csqrt 14592  Σcsu 15042  ℝⁿcrrn 35118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-sum 15043  df-rrn 35119

This theorem is referenced by:  rrnmval  35121  rrnmet  35122