Theorem rrnval 38075

Description: The n-dimensional Euclidean space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrnval.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrnval	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐼   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rrnval

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (ℝ ↑m 𝑖) = (ℝ ↑m 𝐼))
2		rrnval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
3	1, 2	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (ℝ ↑m 𝑖) = 𝑋)
4		sumeq1 15624	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))
5	4	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
6	3, 3, 5	mpoeq123dv 7443	. 2 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑖), 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝑖) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
7		df-rrn 38074	. 2 ⊢ ℝn = (𝑖 ∈ Fin ↦ (𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝑖), 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝑖) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝑖 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
8		fvrn0 6870	. . . . 5 ⊢ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
9	8	rgen2w 3057	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)))
11	10	fmpo 8022	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅}))
12	9, 11	mpbi 230	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅})
13		ovex 7401	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
14	2, 13	eqeltri 2833	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
15	14, 14	xpex 7708	. . 3 ⊢ (𝑋 × 𝑋) ∈ V
16		cnex 11119	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
17		sqrtf 15299	. . . . . 6 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
18		frn 6677	. . . . . 6 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran √ ⊆ ℂ
20	16, 19	ssexi 5269	. . . 4 ⊢ ran √ ∈ V
21		p0ex 5331	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
22	20, 21	unex 7699	. . 3 ⊢ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
23		fex2 7888	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅}) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V ∧ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) ∈ V)
24	12, 15, 22, 23	mp3an 1464	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))) ∈ V
25	6, 7, 24	fvmpt 6949	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582   × cxp 5630  ran crn 5633  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895  ℂcc 11036  ℝcr 11037   − cmin 11376  2c2 12212  ↑cexp 13996  √csqrt 15168  Σcsu 15621  ℝⁿcrrn 38073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-sum 15622  df-rrn 38074

This theorem is referenced by:  rrnmval  38076  rrnmet  38077