Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnval 36224
Description: The n-dimensional Euclidean space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrnval (𝐼 ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜πΌ) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦,𝐼   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem rrnval
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7359 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 β†’ (ℝ ↑m 𝑖) = (ℝ ↑m 𝐼))
2 rrnval.1 . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
31, 2eqtr4di 2795 . . 3 (𝑖 = 𝐼 β†’ (ℝ ↑m 𝑖) = 𝑋)
4 sumeq1 15533 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑖 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))
54fveq2d 6843 . . 3 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑖 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
63, 3, 5mpoeq123dv 7426 . 2 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝑖), 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝑖) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑖 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
7 df-rrn 36223 . 2 ℝn = (𝑖 ∈ Fin ↦ (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝑖), 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝑖) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝑖 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
8 fvrn0 6869 . . . . 5 (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ∈ (ran √ βˆͺ {βˆ…})
98rgen2w 3067 . . . 4 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ∈ (ran √ βˆͺ {βˆ…})
10 eqid 2737 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)))
1110fmpo 7992 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2)) ∈ (ran √ βˆͺ {βˆ…}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))):(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(ran √ βˆͺ {βˆ…}))
129, 11mpbi 229 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))):(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(ran √ βˆͺ {βˆ…})
13 ovex 7384 . . . . 5 (ℝ ↑m 𝐼) ∈ V
142, 13eqeltri 2834 . . . 4 𝑋 ∈ V
1514, 14xpex 7679 . . 3 (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V
16 cnex 11090 . . . . 5 β„‚ ∈ V
17 sqrtf 15208 . . . . . 6 √:β„‚βŸΆβ„‚
18 frn 6672 . . . . . 6 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ ran √ βŠ† β„‚)
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 ran √ βŠ† β„‚
2016, 19ssexi 5277 . . . 4 ran √ ∈ V
21 p0ex 5337 . . . 4 {βˆ…} ∈ V
2220, 21unex 7672 . . 3 (ran √ βˆͺ {βˆ…}) ∈ V
23 fex2 7862 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))):(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(ran √ βˆͺ {βˆ…}) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V ∧ (ran √ βˆͺ {βˆ…}) ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))) ∈ V)
2412, 15, 22, 23mp3an 1461 . 2 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))) ∈ V
256, 7, 24fvmpt 6945 1 (𝐼 ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜πΌ) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘₯β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘˜))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3062  Vcvv 3443   βˆͺ cun 3906   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280  {csn 4584   Γ— cxp 5629  ran crn 5632  βŸΆwf 6489  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   ∈ cmpo 7353   ↑m cmap 8723  Fincfn 8841  β„‚cc 11007  β„cr 11008   βˆ’ cmin 11343  2c2 12166  β†‘cexp 13921  βˆšcsqrt 15078  Ξ£csu 15530  β„ncrrn 36222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-sum 15531  df-rrn 36223
This theorem is referenced by:  rrnmval  36225  rrnmet  36226
  Copyright terms: Public domain W3C validator