Theorem tcphex 25123

Description: Lemma for tcphbas 25125 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tcphex.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphex	⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   , (𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem tcphex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
2		fvrn0 6890	. . . 4 ⊢ (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅}))
4	1, 3	fmpti 7086	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})
5		tcphex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6	5	fvexi 6874	. 2 ⊢ 𝑉 ∈ V
7		cnex 11155	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
8		sqrtf 15336	. . . . 5 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
9		frn 6697	. . . . 5 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran √ ⊆ ℂ
11	7, 10	ssexi 5279	. . 3 ⊢ ran √ ∈ V
12		p0ex 5341	. . 3 ⊢ {∅} ∈ V
13	11, 12	unex 7722	. 2 ⊢ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
14		fex2 7914	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅}) ∧ 𝑉 ∈ V ∧ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V)
15	4, 6, 13, 14	mp3an 1463	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∪ cun 3914   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298  {csn 4591   ↦ cmpt 5190  ran crn 5641  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  √csqrt 15205  Basecbs 17185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208

This theorem is referenced by:  tcphbas  25125  tchplusg  25126  tcphmulr  25128  tcphsca  25129  tcphvsca  25130  tcphip  25131  tcphtopn  25132  tcphds  25137  rrxdim  33616