MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphex 23747
Description: Lemma for tcphbas 23749 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tcphex.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tcphex (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V
Distinct variable group:   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   , (𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem tcphex
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
2 fvrn0 6691 . . . 4 (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
32a1i 11 . . 3 (𝑥𝑉 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅}))
41, 3fmpti 6868 . 2 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})
5 tcphex.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
65fvexi 6677 . 2 𝑉 ∈ V
7 cnex 10606 . . . 4 ℂ ∈ V
8 sqrtf 14711 . . . . 5 √:ℂ⟶ℂ
9 frn 6513 . . . . 5 (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 ran √ ⊆ ℂ
117, 10ssexi 5217 . . 3 ran √ ∈ V
12 p0ex 5275 . . 3 {∅} ∈ V
1311, 12unex 7458 . 2 (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
14 fex2 7627 . 2 (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅}) ∧ 𝑉 ∈ V ∧ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V)
154, 6, 13, 14mp3an 1452 1 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cun 3931  wss 3933  c0 4288  {csn 4557  cmpt 5137  ran crn 5549  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  csqrt 14580  Basecbs 16471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583
This theorem is referenced by:  tcphbas  23749  tchplusg  23750  tcphmulr  23752  tcphsca  23753  tcphvsca  23754  tcphip  23755  tcphtopn  23756  tcphds  23761  rrxdim  30911
  Copyright terms: Public domain W3C validator