MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphex 23384
Description: Lemma for tcphbas 23386 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tcphex.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tcphex (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V
Distinct variable group:   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   , (𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem tcphex
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
2 fvrn0 6460 . . . 4 (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
32a1i 11 . . 3 (𝑥𝑉 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅}))
41, 3fmpti 6630 . 2 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})
5 tcphex.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
65fvexi 6446 . 2 𝑉 ∈ V
7 cnex 10332 . . . 4 ℂ ∈ V
8 sqrtf 14479 . . . . 5 √:ℂ⟶ℂ
9 frn 6283 . . . . 5 (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 ran √ ⊆ ℂ
117, 10ssexi 5027 . . 3 ran √ ∈ V
12 p0ex 5082 . . 3 {∅} ∈ V
1311, 12unex 7215 . 2 (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
14 fex2 7382 . 2 (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅}) ∧ 𝑉 ∈ V ∧ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V)
154, 6, 13, 14mp3an 1591 1 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3413  cun 3795  wss 3797  c0 4143  {csn 4396  cmpt 4951  ran crn 5342  wf 6118  cfv 6122  (class class class)co 6904  cc 10249  csqrt 14349  Basecbs 16221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-sup 8616  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-rp 12112  df-seq 13095  df-exp 13154  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352
This theorem is referenced by:  tcphbas  23386  tchplusg  23387  tcphmulr  23389  tcphsca  23390  tcphvsca  23391  tcphip  23392  tcphtopn  23393  tcphds  23398
  Copyright terms: Public domain W3C validator