MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphex 25263
Description: Lemma for tcphbas 25265 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tcphex.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tcphex (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V
Distinct variable group:   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   , (𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem tcphex
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . 3 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
2 fvrn0 6949 . . . 4 (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
32a1i 11 . . 3 (𝑥𝑉 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅}))
41, 3fmpti 7144 . 2 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})
5 tcphex.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
65fvexi 6933 . 2 𝑉 ∈ V
7 cnex 11261 . . . 4 ℂ ∈ V
8 sqrtf 15408 . . . . 5 √:ℂ⟶ℂ
9 frn 6753 . . . . 5 (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 ran √ ⊆ ℂ
117, 10ssexi 5343 . . 3 ran √ ∈ V
12 p0ex 5405 . . 3 {∅} ∈ V
1311, 12unex 7775 . 2 (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
14 fex2 7970 . 2 (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅}) ∧ 𝑉 ∈ V ∧ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V)
154, 6, 13, 14mp3an 1461 1 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2103  Vcvv 3482  cun 3968  wss 3970  c0 4347  {csn 4648  cmpt 5252  ran crn 5700  wf 6568  cfv 6572  (class class class)co 7445  cc 11178  csqrt 15278  Basecbs 17253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-sup 9507  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-rp 13054  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281
This theorem is referenced by:  tcphbas  25265  tchplusg  25266  tcphmulr  25268  tcphsca  25269  tcphvsca  25270  tcphip  25271  tcphtopn  25272  tcphds  25277  rrxdim  33619
  Copyright terms: Public domain W3C validator