Theorem oms0 34809

Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
oms.d	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
oms.0	⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
oms0	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Proof of Theorem oms0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oms.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
2	1	fveq1i 6880	. 2 ⊢ (𝑀‘∅) = ((toOMeas‘𝑅)‘∅)
3		oms.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
4		oms.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
5		0ss 4350	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ ∪ dom 𝑅
6	4	fdmd 6714	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
7	6	unieqd 4880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
8	5, 7	sseqtrid 3973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ ∪ 𝑄)
9		omsfval 34806	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∅ ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
10	3, 4, 8, 9	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
11		iccssxr 13484	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
12		xrltso 13193	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
13		soss 5583	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
14	11, 12, 13	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
16		0e0iccpnf 13513	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
18		oms.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
19	18	snssd 4747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {∅} ⊆ dom 𝑅)
20		p0ex 5349	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ V
21	20	elpw 4561	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ {∅} ⊆ dom 𝑅)
22	19, 21	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅)
23		0ss 4350	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ⊆ ∪ {∅}
24		0ex 5264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
25		snct 33185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ≼ ω)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≼ ω
27	23, 26	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)
28	22, 27	jctir 530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
29		unieq 4878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = {∅} → ∪ 𝑧 = ∪ {∅})
30	29	sseq2d 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = {∅} → (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∅ ⊆ ∪ {∅}))
31		breq1 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = {∅} → (𝑧 ≼ ω ↔ {∅} ≼ ω))
32	30, 31	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {∅} → ((∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) ↔ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
33	32	elrab 3645	. . . . . . 7 ⊢ ({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↔ ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
34	28, 33	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
35		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
36	35	fveq2d 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘𝑦) = (𝑅‘∅))
37		oms.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘∅) = 0)
39	36, 38	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘𝑦) = 0)
40	39, 18, 17	esumsn 34576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦) = 0)
41	40	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦))
42		esumeq1 34545	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {∅} → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦))
43	42	rspceeqv 3599	. . . . . 6 ⊢ (({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
44	34, 41, 43	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
45		0xr 11281	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
47	46	elrnmpt 5942	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
49	44, 48	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
50		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
51		nfmpt1 5204	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
52	51	nfrn 5936	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
53	52	nfcri 2914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
54	50, 53	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
55		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
56		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
57		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
58		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}
59		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦𝑥
60	59	nfesum1 34551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)
61	58, 60	nfmpt 5203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
62	61	nfrn 5936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
63	62	nfcri 2914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
64	57, 63	nfan 1932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
65		nfv 1947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}
66	64, 65	nfan 1932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
67	60	nfeq2 2939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)
68	66, 67	nfan 1932	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
69	4	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
70		ssrab2 4028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
71		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
72	70, 71	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
73	6	pweqd 4574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
74	73	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
75	72, 74	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑄)
76	75	elpwid 4566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑄)
77		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
78	76, 77	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑄)
79	69, 78	ffvelcdmd 7079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
80	79	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
81	68, 80	ralrimi 3260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
82	59	esumcl 34541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
83	56, 81, 82	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
84	55, 83	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
85		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
86	46	elrnmpt 5942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
87	85, 86	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
88	87	bilani 510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
89	54, 84, 88	r19.29af 3271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
90		pnfxr 11288	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
91		iccgelb 13456	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑎)
92	45, 90, 91	mp3an12 1480	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
93	89, 92	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 0 ≤ 𝑎)
94	11, 89	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
95		xrlenlt 11299	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 0))
96	95	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
97	45, 94, 96	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
98	93, 97	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → ¬ 𝑎 < 0)
99	15, 17, 49, 98	infmin 9467	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ) = 0)
100	10, 99	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = 0)
101	2, 100	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Or wor 5562  dom cdm 5655  ran crn 5656  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ωcom 7863   ≼ cdom 8951  infcinf 9412  0cc0 11125  +∞cpnf 11265  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268   ≤ cle 11269  [,]cicc 13402  Σ^*cesum 34538  toOMeascoms 34803

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-xadd 13165  df-ioo 13403  df-ioc 13404  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-ordt 17588  df-xrs 17589  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-ps 18655  df-tsr 18656  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-ntr 23246  df-nei 23324  df-cn 23453  df-haus 23541  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-tsms 24354  df-esum 34539  df-oms 34804

This theorem is used by:  omsmeas  34835