Theorem oms0 34475

Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
oms.d	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
oms.0	⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
oms0	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Proof of Theorem oms0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oms.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
2	1	fveq1i 6843	. 2 ⊢ (𝑀‘∅) = ((toOMeas‘𝑅)‘∅)
3		oms.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
4		oms.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
5		0ss 4354	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ ∪ dom 𝑅
6	4	fdmd 6680	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
7	6	unieqd 4878	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
8	5, 7	sseqtrid 3978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ ∪ 𝑄)
9		omsfval 34472	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∅ ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
10	3, 4, 8, 9	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
11		iccssxr 13358	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
12		xrltso 13067	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
13		soss 5560	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
14	11, 12, 13	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
16		0e0iccpnf 13387	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
18		oms.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
19	18	snssd 4767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {∅} ⊆ dom 𝑅)
20		p0ex 5331	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ V
21	20	elpw 4560	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ {∅} ⊆ dom 𝑅)
22	19, 21	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅)
23		0ss 4354	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ⊆ ∪ {∅}
24		0ex 5254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
25		snct 32802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ≼ ω)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≼ ω
27	23, 26	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)
28	22, 27	jctir 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
29		unieq 4876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = {∅} → ∪ 𝑧 = ∪ {∅})
30	29	sseq2d 3968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = {∅} → (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∅ ⊆ ∪ {∅}))
31		breq1 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = {∅} → (𝑧 ≼ ω ↔ {∅} ≼ ω))
32	30, 31	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {∅} → ((∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) ↔ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
33	32	elrab 3648	. . . . . . 7 ⊢ ({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↔ ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
34	28, 33	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
35		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
36	35	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘𝑦) = (𝑅‘∅))
37		oms.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘∅) = 0)
39	36, 38	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘𝑦) = 0)
40	39, 18, 17	esumsn 34243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦) = 0)
41	40	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦))
42		esumeq1 34212	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {∅} → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦))
43	42	rspceeqv 3601	. . . . . 6 ⊢ (({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
44	34, 41, 43	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
45		0xr 11191	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
47	46	elrnmpt 5915	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
49	44, 48	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
50		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
51		nfmpt1 5199	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
52	51	nfrn 5909	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
53	52	nfcri 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
54	50, 53	nfan 1901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
55		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
56		vex 3446	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
57		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
58		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}
59		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦𝑥
60	59	nfesum1 34218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)
61	58, 60	nfmpt 5198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
62	61	nfrn 5909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
63	62	nfcri 2891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
64	57, 63	nfan 1901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
65		nfv 1916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}
66	64, 65	nfan 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
67	60	nfeq2 2917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)
68	66, 67	nfan 1901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
69	4	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
70		ssrab2 4034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
71		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
72	70, 71	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
73	6	pweqd 4573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
74	73	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
75	72, 74	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑄)
76	75	elpwid 4565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑄)
77		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
78	76, 77	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑄)
79	69, 78	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
80	79	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
81	68, 80	ralrimi 3236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
82	59	esumcl 34208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
83	56, 81, 82	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
84	55, 83	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
85		vex 3446	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑎 ∈ V
86	46	elrnmpt 5915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
87	85, 86	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
88	87	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
89	88	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
90	54, 84, 89	r19.29af 3247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
91		pnfxr 11198	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
92		iccgelb 13330	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑎)
93	45, 91, 92	mp3an12 1454	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
94	90, 93	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 0 ≤ 𝑎)
95	11, 90	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
96		xrlenlt 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 0))
97	96	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
98	45, 95, 97	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
99	94, 98	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → ¬ 𝑎 < 0)
100	15, 17, 49, 99	infmin 9411	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ) = 0)
101	10, 100	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = 0)
102	2, 101	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3401  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   Or wor 5539  dom cdm 5632  ran crn 5633  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ωcom 7818   ≼ cdom 8893  infcinf 9356  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  [,]cicc 13276  Σ^*cesum 34205  toOMeascoms 34469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-xadd 13039  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-ordt 17434  df-xrs 17435  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-ntr 22976  df-nei 23054  df-cn 23183  df-haus 23271  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-tsms 24083  df-esum 34206  df-oms 34470

This theorem is referenced by:  omsmeas  34501