Theorem oms0 34979

Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
oms.d	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
oms.0	⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
oms0	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Proof of Theorem oms0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oms.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
2	1	fveq1i 6891	. 2 ⊢ (𝑀‘∅) = ((toOMeas‘𝑅)‘∅)
3		oms.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
4		oms.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
5		0ss 4349	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ ∪ dom 𝑅
6	4	fdmd 6725	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
7	6	unieqd 4879	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
8	5, 7	sseqtrid 3951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ ∪ 𝑄)
9		omsfval 34976	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∅ ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
10	3, 4, 8, 9	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
11		iccssxr 13568	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
12		xrltso 13277	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
13		soss 5579	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
14	11, 12, 13	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
16		0e0iccpnf 13597	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
18		oms.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
19	18	snssd 4743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {∅} ⊆ dom 𝑅)
20		p0ex 5346	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ V
21	20	elpw 4560	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ {∅} ⊆ dom 𝑅)
22	19, 21	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅)
23		0ss 4349	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ⊆ ∪ {∅}
24		0ex 5260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
25		snct 33356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ≼ ω)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≼ ω
27	23, 26	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)
28	22, 27	jctir 530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
29		unieq 4877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = {∅} → ∪ 𝑧 = ∪ {∅})
30	29	sseq2d 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = {∅} → (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∅ ⊆ ∪ {∅}))
31		breq1 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = {∅} → (𝑧 ≼ ω ↔ {∅} ≼ ω))
32	30, 31	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {∅} → ((∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) ↔ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
33	32	elrab 3644	. . . . . . 7 ⊢ ({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↔ ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
34	28, 33	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
35		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
36	35	fveq2d 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘𝑦) = (𝑅‘∅))
37		oms.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘∅) = 0)
39	36, 38	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘𝑦) = 0)
40	39, 18, 17	esumsn 34747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦) = 0)
41	40	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦))
42		esumeq1 34716	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {∅} → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦))
43	42	rspceeqv 3598	. . . . . 6 ⊢ (({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
44	34, 41, 43	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
45		0xr 11363	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
47	46	elrnmpt 5941	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
49	44, 48	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
50		nfv 1946	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
51		nfmpt1 5203	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
52	51	nfrn 5935	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
53	52	nfcri 2914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
54	50, 53	nfan 1931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
55		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
56		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
57		nfv 1946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
58		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}
59		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦𝑥
60	59	nfesum1 34722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)
61	58, 60	nfmpt 5202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
62	61	nfrn 5935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
63	62	nfcri 2914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
64	57, 63	nfan 1931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
65		nfv 1946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}
66	64, 65	nfan 1931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
67	60	nfeq2 2939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)
68	66, 67	nfan 1931	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
69	4	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
70		ssrab2 4004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
71		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
72	70, 71	sselid 3907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
73	6	pweqd 4573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
74	73	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
75	72, 74	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑄)
76	75	elpwid 4565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑄)
77		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
78	76, 77	sseldd 3910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑄)
79	69, 78	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
80	79	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
81	68, 80	ralrimi 3260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
82	59	esumcl 34712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
83	56, 81, 82	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
84	55, 83	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
85		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
86	46	elrnmpt 5941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
87	85, 86	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
88	87	bilani 510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
89	54, 84, 88	r19.29af 3271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
90		pnfxr 11370	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
91		iccgelb 13540	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑎)
92	45, 90, 91	mp3an12 1480	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
93	89, 92	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 0 ≤ 𝑎)
94	11, 89	sselid 3907	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
95		xrlenlt 11381	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 0))
96	95	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
97	45, 94, 96	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
98	93, 97	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → ¬ 𝑎 < 0)
99	15, 17, 49, 98	infmin 9495	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ) = 0)
100	10, 99	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = 0)
101	2, 100	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   Or wor 5558  dom cdm 5651  ran crn 5652  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ωcom 7881   ≼ cdom 8979  infcinf 9440  0cc0 11207  +∞cpnf 11347  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351  [,]cicc 13486  Σ^*cesum 34709  toOMeascoms 34973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-xadd 13249  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-ordt 17682  df-xrs 17683  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-ps 18749  df-tsr 18750  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-ntr 23347  df-nei 23425  df-cn 23554  df-haus 23642  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-tsms 24455  df-esum 34710  df-oms 34974

This theorem is used by:  omsmeas  35005