Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oms0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oms0 34048
Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o (𝜑𝑄𝑉)
oms.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
oms.d (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
oms.0 (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
Assertion
Ref Expression
oms0 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Proof of Theorem oms0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oms.m . . 3 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
21fveq1i 6897 . 2 (𝑀‘∅) = ((toOMeas‘𝑅)‘∅)
3 oms.o . . . 4 (𝜑𝑄𝑉)
4 oms.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
5 0ss 4398 . . . . 5 ∅ ⊆ dom 𝑅
64fdmd 6733 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
76unieqd 4922 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑅 = 𝑄)
85, 7sseqtrid 4029 . . . 4 (𝜑 → ∅ ⊆ 𝑄)
9 omsfval 34045 . . . 4 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∅ ⊆ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
103, 4, 8, 9syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
11 iccssxr 13442 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
12 xrltso 13155 . . . . . 6 < Or ℝ*
13 soss 5610 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
1411, 12, 13mp2 9 . . . . 5 < Or (0[,]+∞)
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
16 0e0iccpnf 13471 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
18 oms.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
1918snssd 4814 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {∅} ⊆ dom 𝑅)
20 p0ex 5384 . . . . . . . . . 10 {∅} ∈ V
2120elpw 4608 . . . . . . . . 9 ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ {∅} ⊆ dom 𝑅)
2219, 21sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → {∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅)
23 0ss 4398 . . . . . . . . 9 ∅ ⊆ {∅}
24 0ex 5308 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
25 snct 32577 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ V → {∅} ≼ ω)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {∅} ≼ ω
2723, 26pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (∅ ⊆ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)
2822, 27jctir 519 . . . . . . 7 (𝜑 → ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
29 unieq 4920 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = {∅} → 𝑧 = {∅})
3029sseq2d 4009 . . . . . . . . 9 (𝑧 = {∅} → (∅ ⊆ 𝑧 ↔ ∅ ⊆ {∅}))
31 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (𝑧 = {∅} → (𝑧 ≼ ω ↔ {∅} ≼ ω))
3230, 31anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑧 = {∅} → ((∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω) ↔ (∅ ⊆ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
3332elrab 3679 . . . . . . 7 ({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↔ ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
3428, 33sylibr 233 . . . . . 6 (𝜑 → {∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)})
35 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
3635fveq2d 6900 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑅𝑦) = (𝑅‘∅))
37 oms.0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
3837adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑅‘∅) = 0)
3936, 38eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑅𝑦) = 0)
4039, 18, 17esumsn 33815 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅𝑦) = 0)
4140eqcomd 2731 . . . . . 6 (𝜑 → 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅𝑦))
42 esumeq1 33784 . . . . . . 7 (𝑥 = {∅} → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅𝑦))
4342rspceeqv 3628 . . . . . 6 (({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
4434, 41, 43syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
45 0xr 11293 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
46 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
4746elrnmpt 5958 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ* → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
4845, 47ax-mp 5 . . . . 5 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
4944, 48sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
50 nfv 1909 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
51 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
5251nfrn 5954 . . . . . . . . 9 𝑥ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
5352nfcri 2882 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
5450, 53nfan 1894 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
55 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
56 vex 3465 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
57 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝜑
58 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}
59 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑥
6059nfesum1 33790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)
6158, 60nfmpt 5256 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
6261nfrn 5954 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
6362nfcri 2882 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
6457, 63nfan 1894 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
65 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}
6664, 65nfan 1894 . . . . . . . . . . 11 𝑦((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)})
6760nfeq2 2909 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)
6866, 67nfan 1894 . . . . . . . . . 10 𝑦(((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
694ad4antr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
70 ssrab2 4073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
71 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)})
7270, 71sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
736pweqd 4621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
7473ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
7572, 74eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑄)
7675elpwid 4613 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑄)
77 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
7876, 77sseldd 3977 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑄)
7969, 78ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8079ex 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → (𝑦𝑥 → (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
8168, 80ralrimi 3244 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → ∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8259esumcl 33780 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8356, 81, 82sylancr 585 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8455, 83eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
85 vex 3465 . . . . . . . . . 10 𝑎 ∈ V
8646elrnmpt 5958 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
8785, 86ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
8887biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
8988adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
9054, 84, 89r19.29af 3255 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
91 pnfxr 11300 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
92 iccgelb 13415 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑎)
9345, 91, 92mp3an12 1447 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
9490, 93syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → 0 ≤ 𝑎)
9511, 90sselid 3974 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
96 xrlenlt 11311 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 0))
9796bicomd 222 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
9845, 95, 97sylancr 585 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
9994, 98mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → ¬ 𝑎 < 0)
10015, 17, 49, 99infmin 9519 . . 3 (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ) = 0)
10110, 100eqtrd 2765 . 2 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = 0)
1022, 101eqtrid 2777 1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  wss 3944  c0 4322  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   cuni 4909   class class class wbr 5149  cmpt 5232   Or wor 5589  dom cdm 5678  ran crn 5679  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  ωcom 7871  cdom 8962  infcinf 9466  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  [,]cicc 13362  Σ*cesum 33777  toOMeascoms 34042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-xadd 13128  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-ordt 17486  df-xrs 17487  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-ps 18561  df-tsr 18562  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-ntr 22968  df-nei 23046  df-cn 23175  df-haus 23263  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-tsms 24075  df-esum 33778  df-oms 34043
This theorem is referenced by:  omsmeas  34074
  Copyright terms: Public domain W3C validator