Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oms0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oms0 32937
Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…)
oms.o (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r (πœ‘ β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
oms.d (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ dom 𝑅)
oms.0 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜βˆ…) = 0)
Assertion
Ref Expression
oms0 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)

Proof of Theorem oms0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oms.m . . 3 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…)
21fveq1i 6848 . 2 (π‘€β€˜βˆ…) = ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜βˆ…)
3 oms.o . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
4 oms.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
5 0ss 4361 . . . . 5 βˆ… βŠ† βˆͺ dom 𝑅
64fdmd 6684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = 𝑄)
76unieqd 4884 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑅 = βˆͺ 𝑄)
85, 7sseqtrid 4001 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑄)
9 omsfval 32934 . . . 4 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑄) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜βˆ…) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
103, 4, 8, 9syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜βˆ…) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
11 iccssxr 13354 . . . . . 6 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
12 xrltso 13067 . . . . . 6 < Or ℝ*
13 soss 5570 . . . . . 6 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ ( < Or ℝ* β†’ < Or (0[,]+∞)))
1411, 12, 13mp2 9 . . . . 5 < Or (0[,]+∞)
1514a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ < Or (0[,]+∞))
16 0e0iccpnf 13383 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1716a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
18 oms.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ dom 𝑅)
1918snssd 4774 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {βˆ…} βŠ† dom 𝑅)
20 p0ex 5344 . . . . . . . . . 10 {βˆ…} ∈ V
2120elpw 4569 . . . . . . . . 9 ({βˆ…} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ {βˆ…} βŠ† dom 𝑅)
2219, 21sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {βˆ…} ∈ 𝒫 dom 𝑅)
23 0ss 4361 . . . . . . . . 9 βˆ… βŠ† βˆͺ {βˆ…}
24 0ex 5269 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ V
25 snct 31672 . . . . . . . . . 10 (βˆ… ∈ V β†’ {βˆ…} β‰Ό Ο‰)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {βˆ…} β‰Ό Ο‰
2723, 26pm3.2i 472 . . . . . . . 8 (βˆ… βŠ† βˆͺ {βˆ…} ∧ {βˆ…} β‰Ό Ο‰)
2822, 27jctir 522 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({βˆ…} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (βˆ… βŠ† βˆͺ {βˆ…} ∧ {βˆ…} β‰Ό Ο‰)))
29 unieq 4881 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = {βˆ…} β†’ βˆͺ 𝑧 = βˆͺ {βˆ…})
3029sseq2d 3981 . . . . . . . . 9 (𝑧 = {βˆ…} β†’ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ βˆ… βŠ† βˆͺ {βˆ…}))
31 breq1 5113 . . . . . . . . 9 (𝑧 = {βˆ…} β†’ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ↔ {βˆ…} β‰Ό Ο‰))
3230, 31anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑧 = {βˆ…} β†’ ((βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰) ↔ (βˆ… βŠ† βˆͺ {βˆ…} ∧ {βˆ…} β‰Ό Ο‰)))
3332elrab 3650 . . . . . . 7 ({βˆ…} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↔ ({βˆ…} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (βˆ… βŠ† βˆͺ {βˆ…} ∧ {βˆ…} β‰Ό Ο‰)))
3428, 33sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {βˆ…} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)})
35 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑦 = βˆ…)
3635fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) = (π‘…β€˜βˆ…))
37 oms.0 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜βˆ…) = 0)
3837adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (π‘…β€˜βˆ…) = 0)
3936, 38eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) = 0)
4039, 18, 17esumsn 32704 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑦 ∈ {βˆ…} (π‘…β€˜π‘¦) = 0)
4140eqcomd 2743 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 = Ξ£*𝑦 ∈ {βˆ…} (π‘…β€˜π‘¦))
42 esumeq1 32673 . . . . . . 7 (π‘₯ = {βˆ…} β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦) = Ξ£*𝑦 ∈ {βˆ…} (π‘…β€˜π‘¦))
4342rspceeqv 3600 . . . . . 6 (({βˆ…} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ∧ 0 = Ξ£*𝑦 ∈ {βˆ…} (π‘…β€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}0 = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
4434, 41, 43syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}0 = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
45 0xr 11209 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
46 eqid 2737 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
4746elrnmpt 5916 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ* β†’ (0 ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}0 = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
4845, 47ax-mp 5 . . . . 5 (0 ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}0 = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
4944, 48sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
50 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘₯πœ‘
51 nfmpt1 5218 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
5251nfrn 5912 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
5352nfcri 2895 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
5450, 53nfan 1903 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
55 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) β†’ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
56 vex 3452 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
57 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘¦πœ‘
58 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑦{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}
59 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑦π‘₯
6059nfesum1 32679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)
6158, 60nfmpt 5217 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
6261nfrn 5912 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑦ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
6362nfcri 2895 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦 π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
6457, 63nfan 1903 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
65 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑦 π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}
6664, 65nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)})
6760nfeq2 2925 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦 π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)
6866, 67nfan 1903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
694ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
70 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} βŠ† 𝒫 dom 𝑅
71 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)})
7270, 71sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑅)
736pweqd 4582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
7473ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
7572, 74eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑄)
7675elpwid 4574 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑄)
77 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
7876, 77sseldd 3950 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝑄)
7969, 78ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
8079ex 414 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞)))
8168, 80ralrimi 3243 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
8259esumcl 32669 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
8356, 81, 82sylancr 588 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
8455, 83eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) β†’ π‘Ž ∈ (0[,]+∞))
85 vex 3452 . . . . . . . . . 10 π‘Ž ∈ V
8646elrnmpt 5916 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ V β†’ (π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
8785, 86ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
8887biimpi 215 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
8988adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}π‘Ž = Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
9054, 84, 89r19.29af 3254 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) β†’ π‘Ž ∈ (0[,]+∞))
91 pnfxr 11216 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
92 iccgelb 13327 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ (0[,]+∞)) β†’ 0 ≀ π‘Ž)
9345, 91, 92mp3an12 1452 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ π‘Ž)
9490, 93syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) β†’ 0 ≀ π‘Ž)
9511, 90sselid 3947 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
96 xrlenlt 11227 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ π‘Ž ↔ Β¬ π‘Ž < 0))
9796bicomd 222 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) β†’ (Β¬ π‘Ž < 0 ↔ 0 ≀ π‘Ž))
9845, 95, 97sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) β†’ (Β¬ π‘Ž < 0 ↔ 0 ≀ π‘Ž))
9994, 98mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))) β†’ Β¬ π‘Ž < 0)
10015, 17, 49, 99infmin 9437 . . 3 (πœ‘ β†’ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (βˆ… βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ) = 0)
10110, 100eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜βˆ…) = 0)
1022, 101eqtrid 2789 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  {csn 4591  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Or wor 5549  dom cdm 5638  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807   β‰Ό cdom 8888  infcinf 9384  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197  [,]cicc 13274  Ξ£*cesum 32666  toOMeascoms 32931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-ordt 17390  df-xrs 17391  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-cn 22594  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494  df-esum 32667  df-oms 32932
This theorem is referenced by:  omsmeas  32963
  Copyright terms: Public domain W3C validator