Theorem oms0 35040

Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
oms.d	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
oms.0	⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
oms0	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Proof of Theorem oms0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oms.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
2	1	fveq1i 6917	. 2 ⊢ (𝑀‘∅) = ((toOMeas‘𝑅)‘∅)
3		oms.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
4		oms.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
5		0ss 4353	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ ∪ dom 𝑅
6	4	fdmd 6750	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
7	6	unieqd 4885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
8	5, 7	sseqtrid 3955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ ∪ 𝑄)
9		omsfval 35037	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∅ ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
10	3, 4, 8, 9	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
11		iccssxr 13601	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
12		xrltso 13310	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
13		soss 5586	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
14	11, 12, 13	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
16		0e0iccpnf 13630	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
18		oms.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
19	18	snssd 4749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {∅} ⊆ dom 𝑅)
20		p0ex 5353	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ V
21	20	elpw 4564	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ {∅} ⊆ dom 𝑅)
22	19, 21	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅)
23		0ss 4353	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ⊆ ∪ {∅}
24		0ex 5267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
25		snct 33402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ≼ ω)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≼ ω
27	23, 26	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)
28	22, 27	jctir 530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
29		unieq 4883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = {∅} → ∪ 𝑧 = ∪ {∅})
30	29	sseq2d 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = {∅} → (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∅ ⊆ ∪ {∅}))
31		breq1 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = {∅} → (𝑧 ≼ ω ↔ {∅} ≼ ω))
32	30, 31	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {∅} → ((∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) ↔ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
33	32	elrab 3648	. . . . . . 7 ⊢ ({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↔ ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
34	28, 33	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
35		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
36	35	fveq2d 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘𝑦) = (𝑅‘∅))
37		oms.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘∅) = 0)
39	36, 38	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘𝑦) = 0)
40	39, 18, 17	esumsn 34808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦) = 0)
41	40	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦))
42		esumeq1 34777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {∅} → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦))
43	42	rspceeqv 3602	. . . . . 6 ⊢ (({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
44	34, 41, 43	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
45		0xr 11395	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
47	46	elrnmpt 5952	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
49	44, 48	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
50		nfv 1949	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
51		nfmpt1 5210	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
52	51	nfrn 5946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
53	52	nfcri 2918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
54	50, 53	nfan 1934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
55		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
56		vex 3458	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
57		nfv 1949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
58		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}
59		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦𝑥
60	59	nfesum1 34783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)
61	58, 60	nfmpt 5209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
62	61	nfrn 5946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
63	62	nfcri 2918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
64	57, 63	nfan 1934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
65		nfv 1949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}
66	64, 65	nfan 1934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
67	60	nfeq2 2943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)
68	66, 67	nfan 1934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
69	4	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
70		ssrab2 4008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
71		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
72	70, 71	sselid 3911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
73	6	pweqd 4577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
74	73	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
75	72, 74	eleqtrd 2866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑄)
76	75	elpwid 4569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑄)
77		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
78	76, 77	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑄)
79	69, 78	ffvelcdmd 7117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
80	79	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
81	68, 80	ralrimi 3264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
82	59	esumcl 34773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
83	56, 81, 82	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
84	55, 83	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
85		vex 3458	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
86	46	elrnmpt 5952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
87	85, 86	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
88	87	bilani 510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
89	54, 84, 88	r19.29af 3275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
90		pnfxr 11402	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
91		iccgelb 13573	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑎)
92	45, 90, 91	mp3an12 1481	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
93	89, 92	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 0 ≤ 𝑎)
94	11, 89	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
95		xrlenlt 11413	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 0))
96	95	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
97	45, 94, 96	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
98	93, 97	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → ¬ 𝑎 < 0)
99	15, 17, 49, 98	infmin 9525	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ) = 0)
100	10, 99	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = 0)
101	2, 100	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   Or wor 5565  dom cdm 5658  ran crn 5659  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ωcom 7911   ≼ cdom 9009  infcinf 9470  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383  [,]cicc 13519  Σ^*cesum 34770  toOMeascoms 35034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-xadd 13282  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-ordt 17723  df-xrs 17724  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-ps 18790  df-tsr 18791  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-ntr 23393  df-nei 23471  df-cn 23600  df-haus 23688  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-tsms 24501  df-esum 34771  df-oms 35035

This theorem is used by:  omsmeas  35066