Theorem oms0 34262

Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
oms.d	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
oms.0	⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
oms0	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Proof of Theorem oms0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oms.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
2	1	fveq1i 6921	. 2 ⊢ (𝑀‘∅) = ((toOMeas‘𝑅)‘∅)
3		oms.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
4		oms.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
5		0ss 4423	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ ∪ dom 𝑅
6	4	fdmd 6757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
7	6	unieqd 4944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑅 = ∪ 𝑄)
8	5, 7	sseqtrid 4061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ ∪ 𝑄)
9		omsfval 34259	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∅ ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
10	3, 4, 8, 9	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
11		iccssxr 13490	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
12		xrltso 13203	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
13		soss 5628	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
14	11, 12, 13	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (0[,]+∞)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
16		0e0iccpnf 13519	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
18		oms.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
19	18	snssd 4834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {∅} ⊆ dom 𝑅)
20		p0ex 5402	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ V
21	20	elpw 4626	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ {∅} ⊆ dom 𝑅)
22	19, 21	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅)
23		0ss 4423	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ⊆ ∪ {∅}
24		0ex 5325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
25		snct 32727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ≼ ω)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≼ ω
27	23, 26	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)
28	22, 27	jctir 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
29		unieq 4942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = {∅} → ∪ 𝑧 = ∪ {∅})
30	29	sseq2d 4041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = {∅} → (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∅ ⊆ ∪ {∅}))
31		breq1 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = {∅} → (𝑧 ≼ ω ↔ {∅} ≼ ω))
32	30, 31	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {∅} → ((∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) ↔ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
33	32	elrab 3708	. . . . . . 7 ⊢ ({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↔ ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ ∪ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
34	28, 33	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
35		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
36	35	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘𝑦) = (𝑅‘∅))
37		oms.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘∅) = 0)
39	36, 38	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑅‘𝑦) = 0)
40	39, 18, 17	esumsn 34029	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦) = 0)
41	40	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦))
42		esumeq1 33998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {∅} → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦))
43	42	rspceeqv 3658	. . . . . 6 ⊢ (({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ∧ 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
44	34, 41, 43	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
45		0xr 11337	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
47	46	elrnmpt 5981	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
49	44, 48	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
50		nfv 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
51		nfmpt1 5274	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
52	51	nfrn 5977	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
53	52	nfcri 2900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
54	50, 53	nfan 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
55		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
56		vex 3492	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
57		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
58		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}
59		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦𝑥
60	59	nfesum1 34004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)
61	58, 60	nfmpt 5273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
62	61	nfrn 5977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
63	62	nfcri 2900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
64	57, 63	nfan 1898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
65		nfv 1913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}
66	64, 65	nfan 1898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
67	60	nfeq2 2926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)
68	66, 67	nfan 1898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
69	4	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
70		ssrab2 4103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
71		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
72	70, 71	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
73	6	pweqd 4639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
74	73	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
75	72, 74	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑄)
76	75	elpwid 4631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑄)
77		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
78	76, 77	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑄)
79	69, 78	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
80	79	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
81	68, 80	ralrimi 3263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
82	59	esumcl 33994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
83	56, 81, 82	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
84	55, 83	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
85		vex 3492	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑎 ∈ V
86	46	elrnmpt 5981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
87	85, 86	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
88	87	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
89	88	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
90	54, 84, 89	r19.29af 3274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
91		pnfxr 11344	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
92		iccgelb 13463	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑎)
93	45, 91, 92	mp3an12 1451	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
94	90, 93	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 0 ≤ 𝑎)
95	11, 90	sselid 4006	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
96		xrlenlt 11355	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 0))
97	96	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
98	45, 95, 97	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
99	94, 98	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))) → ¬ 𝑎 < 0)
100	15, 17, 49, 99	infmin 9563	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ) = 0)
101	10, 100	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = 0)
102	2, 101	eqtrid 2792	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   Or wor 5606  dom cdm 5700  ran crn 5701  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903   ≼ cdom 9001  infcinf 9510  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,]cicc 13410  Σ^*cesum 33991  toOMeascoms 34256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-xadd 13176  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-ordt 17561  df-xrs 17562  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-ps 18636  df-tsr 18637  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-ntr 23049  df-nei 23127  df-cn 23256  df-haus 23344  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-tsms 24156  df-esum 33992  df-oms 34257

This theorem is referenced by:  omsmeas  34288