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Theorem ismeannd 41608
Description: Sufficient condition to prove that 𝑀 is a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ismeannd.sal (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
ismeannd.mf (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
ismeannd.m0 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
ismeannd.iun ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
ismeannd (𝜑𝑀 ∈ Meas)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑀,𝑛   𝜑,𝑒,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒,𝑛)

Proof of Theorem ismeannd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismeannd.mf . . . . 5 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
21fdmd 6300 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑀 = 𝑆)
32feq2d 6277 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞)))
41, 3mpbird 249 . . . 4 (𝜑𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞))
5 ismeannd.sal . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
62, 5eqeltrd 2859 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
74, 6jca 507 . . 3 (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg))
8 ismeannd.m0 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
9 unieq 4679 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
10 uni0 4700 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ = ∅
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ∅ = ∅)
129, 11eqtrd 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
1312fveq2d 6450 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝑀 𝑥) = (𝑀‘∅))
1413, 8sylan9eqr 2836 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = 0)
15 reseq2 5637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = (𝑀 ↾ ∅))
16 res0 5646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ↾ ∅) = ∅
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑀 ↾ ∅) = ∅)
1815, 17eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = ∅)
1918fveq2d 6450 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘∅))
2019adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘∅))
21 sge00 41517 . . . . . . . . . . 11 ^‘∅) = 0
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘∅) = 0)
2320, 22eqtrd 2814 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = 0)
2414, 23eqtr4d 2817 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
2524adantlr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
2625adantlr 705 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
27 simpll 757 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀))
28 simplrr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → Disj 𝑦𝑥 𝑦)
2927, 28jca 507 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
30 simplrl 767 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≼ ω)
31 neqne 2977 . . . . . . . . 9 𝑥 = ∅ → 𝑥 ≠ ∅)
3231adantl 475 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
33 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤𝑦 = 𝑤)
3433cbvdisjv 4865 . . . . . . . . . . 11 (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3534biimpi 208 . . . . . . . . . 10 (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3635adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3736ad2antlr 717 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3830, 32, 37nnfoctbdj 41597 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ∃𝑒(𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
39 simpl 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
40 simprl 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}))
41 simprr 763 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
42 founiiun0 40300 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → 𝑥 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
4342fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → (𝑀 𝑥) = (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
4443ad2antlr 717 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
45 simplll 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝜑)
46 fof 6366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → 𝑒:ℕ⟶(𝑥 ∪ {∅}))
4746adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → 𝑒:ℕ⟶(𝑥 ∪ {∅}))
48 elpwi 4389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀𝑥 ⊆ dom 𝑀)
4948adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥 ⊆ dom 𝑀)
502adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → dom 𝑀 = 𝑆)
5149, 50sseqtrd 3860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥𝑆)
52 0sal 41464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ SAlg → ∅ ∈ 𝑆)
535, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
54 snssi 4570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∅ ∈ 𝑆 → {∅} ⊆ 𝑆)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {∅} ⊆ 𝑆)
5655adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → {∅} ⊆ 𝑆)
5751, 56unssd 4012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑥 ∪ {∅}) ⊆ 𝑆)
5857adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → (𝑥 ∪ {∅}) ⊆ 𝑆)
5947, 58fssd 6305 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
6059adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
61 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
62 ismeannd.iun . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
6345, 60, 61, 62syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
6463adantllr 709 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
651feqmptd 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 = (𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)))
6665reseq1d 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀𝑥) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥))
6766adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀𝑥) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥))
6867adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑀𝑥) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥))
6951resmptd 5702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥) = (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)))
7069adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥) = (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)))
71 snssi 4570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∅ ∈ 𝑥 → {∅} ⊆ 𝑥)
72 ssequn2 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({∅} ⊆ 𝑥 ↔ (𝑥 ∪ {∅}) = 𝑥)
7371, 72sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∅ ∈ 𝑥 → (𝑥 ∪ {∅}) = 𝑥)
7473eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∅ ∈ 𝑥𝑥 = (𝑥 ∪ {∅}))
7574mpteq1d 4973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∅ ∈ 𝑥 → (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦)))
7675adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦)))
7768, 70, 763eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑀𝑥) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦)))
7877fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
79 nfv 1957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥)
80 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
81 p0ex 5095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {∅} ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → {∅} ∈ V)
83 disjsn 4478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ 𝑥)
8483biimpri 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ ∅ ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ {∅}) = ∅)
8584adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ∩ {∅}) = ∅)
861ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
8751sselda 3821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑆)
8886, 87ffvelrnd 6624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8988adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
90 elsni 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ {∅} → 𝑦 = ∅)
9190fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ {∅} → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
9291adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
931, 53ffvelrnd 6624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀‘∅) ∈ (0[,]+∞))
9493adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀‘∅) ∈ (0[,]+∞))
9592, 94eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
9695ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
9779, 80, 82, 85, 89, 96sge0splitmpt 41552 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))) = ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)))))
98 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = ∅ → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
9998adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
1008adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
10199, 100eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑀𝑦) = 0)
10290, 101sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) = 0)
103102mpteq2dva 4979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ {∅} ↦ 0))
104103fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦))) = (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ 0)))
105 nfv 1957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦𝜑
10681a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → {∅} ∈ V)
107105, 106sge0z 41516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ 0)) = 0)
108104, 107eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦))) = 0)
109108oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)))) = ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0))
110109ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)))) = ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0))
111 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
11267, 69eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀𝑥) = (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)))
1131adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
114113, 51fssresd 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
115112, 114feq1dd 40271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)):𝑥⟶(0[,]+∞))
116111, 115sge0xrcl 41526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) ∈ ℝ*)
117116xaddid1d 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))))
118112fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))))
119118eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
120117, 119eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
121120adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
12297, 110, 1213eqtrrd 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
12378, 122pm2.61dan 803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
124123ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
125 nfv 1957 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
126 nfv 1957 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}))
127 nfdisj1 4867 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)
128126, 127nfan 1946 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
129 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑒𝑛) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝑒𝑛)))
130 nnex 11381 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ ∈ V
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → ℕ ∈ V)
132 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}))
133 eqidd 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒𝑛) = (𝑒𝑛))
1341ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
13557sselda 3821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → 𝑦𝑆)
136134, 135ffvelrnd 6624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
137136ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
13845, 101sylan 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑀𝑦) = 0)
139125, 128, 129, 131, 132, 61, 133, 137, 138sge0fodjrn 41558 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
140124, 139eqtr2d 2815 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
141140adantllr 709 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
14244, 64, 1413eqtrd 2818 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
14339, 40, 41, 142syl21anc 828 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
144143ex 403 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
145144exlimdv 1976 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (∃𝑒(𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
14629, 38, 145sylc 65 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
14726, 146pm2.61dan 803 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
148147ex 403 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
149148ralrimiva 3148 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
1507, 8, 149jca31 510 . 2 (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))))
151 ismea 41592 . 2 (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))))
152150, 151sylibr 226 1 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  Vcvv 3398  cun 3790  cin 3791  wss 3792  c0 4141  𝒫 cpw 4379  {csn 4398   cuni 4671   ciun 4753  Disj wdisj 4854   class class class wbr 4886  cmpt 4965  dom cdm 5355  cres 5357  wf 6131  ontowfo 6133  cfv 6135  (class class class)co 6922  ωcom 7343  cdom 8239  0cc0 10272  +∞cpnf 10408  cn 11374   +𝑒 cxad 12255  [,]cicc 12490  SAlgcsalg 41452  Σ^csumge0 41503  Meascmea 41590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-disj 4855  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-xadd 12258  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-salg 41453  df-sumge0 41504  df-mea 41591
This theorem is referenced by:  volmea  41615  caratheodory  41669
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