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Theorem ismeannd 45482
Description: Sufficient condition to prove that 𝑀 is a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ismeannd.sal (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
ismeannd.mf (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
ismeannd.m0 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
ismeannd.iun ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
ismeannd (𝜑𝑀 ∈ Meas)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑀,𝑛   𝜑,𝑒,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒,𝑛)

Proof of Theorem ismeannd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismeannd.mf . . . . 5 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
21fdmd 6728 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑀 = 𝑆)
32feq2d 6703 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞)))
41, 3mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞))
5 ismeannd.sal . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
62, 5eqeltrd 2832 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
74, 6jca 511 . . 3 (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg))
8 ismeannd.m0 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
9 unieq 4919 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
10 uni0 4939 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ = ∅
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ∅ = ∅)
129, 11eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
1312fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝑀 𝑥) = (𝑀‘∅))
1413, 8sylan9eqr 2793 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = 0)
15 reseq2 5976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = (𝑀 ↾ ∅))
16 res0 5985 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ↾ ∅) = ∅
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑀 ↾ ∅) = ∅)
1815, 17eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = ∅)
1918fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘∅))
2019adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘∅))
21 sge00 45391 . . . . . . . . . . 11 ^‘∅) = 0
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘∅) = 0)
2320, 22eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = 0)
2414, 23eqtr4d 2774 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
2524adantlr 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
2625adantlr 712 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
27 simpll 764 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀))
28 simplrr 775 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → Disj 𝑦𝑥 𝑦)
2927, 28jca 511 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
30 simplrl 774 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≼ ω)
31 neqne 2947 . . . . . . . . 9 𝑥 = ∅ → 𝑥 ≠ ∅)
3231adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
33 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤𝑦 = 𝑤)
3433cbvdisjv 5124 . . . . . . . . . . 11 (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3534biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3635adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3736ad2antlr 724 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3830, 32, 37nnfoctbdj 45471 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ∃𝑒(𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
39 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
40 simprl 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}))
41 simprr 770 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
42 founiiun0 44188 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → 𝑥 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
4342fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → (𝑀 𝑥) = (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
4443ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
45 simplll 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝜑)
46 fof 6805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → 𝑒:ℕ⟶(𝑥 ∪ {∅}))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → 𝑒:ℕ⟶(𝑥 ∪ {∅}))
48 elpwi 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀𝑥 ⊆ dom 𝑀)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥 ⊆ dom 𝑀)
502adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → dom 𝑀 = 𝑆)
5149, 50sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥𝑆)
52 0sal 45335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ SAlg → ∅ ∈ 𝑆)
535, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
54 snssi 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∅ ∈ 𝑆 → {∅} ⊆ 𝑆)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {∅} ⊆ 𝑆)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → {∅} ⊆ 𝑆)
5751, 56unssd 4186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑥 ∪ {∅}) ⊆ 𝑆)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → (𝑥 ∪ {∅}) ⊆ 𝑆)
5947, 58fssd 6735 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
61 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
62 ismeannd.iun . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
6345, 60, 61, 62syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
6463adantllr 716 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
651feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 = (𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)))
6665reseq1d 5980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀𝑥) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥))
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀𝑥) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑀𝑥) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥))
6951resmptd 6040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥) = (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥) = (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)))
71 snssi 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∅ ∈ 𝑥 → {∅} ⊆ 𝑥)
72 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({∅} ⊆ 𝑥 ↔ (𝑥 ∪ {∅}) = 𝑥)
7371, 72sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∅ ∈ 𝑥 → (𝑥 ∪ {∅}) = 𝑥)
7473eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∅ ∈ 𝑥𝑥 = (𝑥 ∪ {∅}))
7574mpteq1d 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∅ ∈ 𝑥 → (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦)))
7675adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦)))
7768, 70, 763eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑀𝑥) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦)))
7877fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
79 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥)
80 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
81 p0ex 5382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {∅} ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → {∅} ∈ V)
83 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ 𝑥)
8483biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ ∅ ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ {∅}) = ∅)
8584adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ∩ {∅}) = ∅)
861ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
8751sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑆)
8886, 87ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8988adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
90 elsni 4645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ {∅} → 𝑦 = ∅)
9190fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ {∅} → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
931, 53ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀‘∅) ∈ (0[,]+∞))
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀‘∅) ∈ (0[,]+∞))
9592, 94eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
9695ad4ant14 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
9779, 80, 82, 85, 89, 96sge0splitmpt 45426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))) = ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)))))
98 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = ∅ → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
1008adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
10199, 100eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑀𝑦) = 0)
10290, 101sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) = 0)
103102mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ {∅} ↦ 0))
104103fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦))) = (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ 0)))
105 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦𝜑
10681a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → {∅} ∈ V)
107105, 106sge0z 45390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ 0)) = 0)
108104, 107eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦))) = 0)
109108oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)))) = ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0))
110109ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)))) = ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0))
111 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
11267, 69eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀𝑥) = (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)))
1131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
114113, 51fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
115112, 114feq1dd 44165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)):𝑥⟶(0[,]+∞))
116111, 115sge0xrcl 45400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) ∈ ℝ*)
117116xaddridd 13227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))))
118112fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))))
119118eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
120117, 119eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
12297, 110, 1213eqtrrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
12378, 122pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
124123ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
125 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
126 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}))
127 nfdisj1 5127 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)
128126, 127nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
129 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑒𝑛) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝑒𝑛)))
130 nnex 12223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ ∈ V
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → ℕ ∈ V)
132 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}))
133 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒𝑛) = (𝑒𝑛))
1341ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
13557sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → 𝑦𝑆)
136134, 135ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
137136ad4ant14 749 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
13845, 101sylan 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑀𝑦) = 0)
139125, 128, 129, 131, 132, 61, 133, 137, 138sge0fodjrn 45432 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
140124, 139eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
141140adantllr 716 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
14244, 64, 1413eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
14339, 40, 41, 142syl21anc 835 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
144143ex 412 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
145144exlimdv 1935 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (∃𝑒(𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
14629, 38, 145sylc 65 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
14726, 146pm2.61dan 810 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
148147ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
149148ralrimiva 3145 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
1507, 8, 149jca31 514 . 2 (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))))
151 ismea 45466 . 2 (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))))
152150, 151sylibr 233 1 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  Vcvv 3473  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   cuni 4908   ciun 4997  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5676  cres 5678  wf 6539  ontowfo 6541  cfv 6543  (class class class)co 7412  ωcom 7859  cdom 8941  0cc0 11114  +∞cpnf 11250  cn 12217   +𝑒 cxad 13095  [,]cicc 13332  SAlgcsalg 45323  Σ^csumge0 45377  Meascmea 45464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-xadd 13098  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-salg 45324  df-sumge0 45378  df-mea 45465
This theorem is referenced by:  volmea  45489  caratheodory  45543
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