MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipffval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipffval 21541
Description: The inner product operation as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ipffval.1 ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘Š)
ipffval.2 , = (ยท๐‘–โ€˜๐‘Š)
ipffval.3 ยท = (ยทifโ€˜๐‘Š)
Assertion
Ref Expression
ipffval ยท = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, ,   ๐‘ฅ,๐‘‰,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘Š,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem ipffval
Dummy variable ๐‘” is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipffval.3 . 2 ยท = (ยทifโ€˜๐‘Š)
2 fveq2 6885 . . . . . 6 (๐‘” = ๐‘Š โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = (Baseโ€˜๐‘Š))
3 ipffval.1 . . . . . 6 ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘Š)
42, 3eqtr4di 2784 . . . . 5 (๐‘” = ๐‘Š โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = ๐‘‰)
5 fveq2 6885 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐‘Š โ†’ (ยท๐‘–โ€˜๐‘”) = (ยท๐‘–โ€˜๐‘Š))
6 ipffval.2 . . . . . . 7 , = (ยท๐‘–โ€˜๐‘Š)
75, 6eqtr4di 2784 . . . . . 6 (๐‘” = ๐‘Š โ†’ (ยท๐‘–โ€˜๐‘”) = , )
87oveqd 7422 . . . . 5 (๐‘” = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ(ยท๐‘–โ€˜๐‘”)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ , ๐‘ฆ))
94, 4, 8mpoeq123dv 7480 . . . 4 (๐‘” = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ(ยท๐‘–โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ)))
10 df-ipf 21520 . . . 4 ยทif = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ(ยท๐‘–โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)))
113fvexi 6899 . . . . 5 ๐‘‰ โˆˆ V
126fvexi 6899 . . . . . . 7 , โˆˆ V
1312rnex 7900 . . . . . 6 ran , โˆˆ V
14 p0ex 5375 . . . . . 6 {โˆ…} โˆˆ V
1513, 14unex 7730 . . . . 5 (ran , โˆช {โˆ…}) โˆˆ V
16 df-ov 7408 . . . . . . 7 (๐‘ฅ , ๐‘ฆ) = ( , โ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ)
17 fvrn0 6915 . . . . . . 7 ( , โ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ) โˆˆ (ran , โˆช {โˆ…})
1816, 17eqeltri 2823 . . . . . 6 (๐‘ฅ , ๐‘ฆ) โˆˆ (ran , โˆช {โˆ…})
1918rgen2w 3060 . . . . 5 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ) โˆˆ (ran , โˆช {โˆ…})
2011, 11, 15, 19mpoexw 8064 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ)) โˆˆ V
219, 10, 20fvmpt 6992 . . 3 (๐‘Š โˆˆ V โ†’ (ยทifโ€˜๐‘Š) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ)))
22 fvprc 6877 . . . 4 (ยฌ ๐‘Š โˆˆ V โ†’ (ยทifโ€˜๐‘Š) = โˆ…)
23 fvprc 6877 . . . . . . 7 (ยฌ ๐‘Š โˆˆ V โ†’ (Baseโ€˜๐‘Š) = โˆ…)
243, 23eqtrid 2778 . . . . . 6 (ยฌ ๐‘Š โˆˆ V โ†’ ๐‘‰ = โˆ…)
2524olcd 871 . . . . 5 (ยฌ ๐‘Š โˆˆ V โ†’ (๐‘‰ = โˆ… โˆจ ๐‘‰ = โˆ…))
26 0mpo0 7488 . . . . 5 ((๐‘‰ = โˆ… โˆจ ๐‘‰ = โˆ…) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ)) = โˆ…)
2725, 26syl 17 . . . 4 (ยฌ ๐‘Š โˆˆ V โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ)) = โˆ…)
2822, 27eqtr4d 2769 . . 3 (ยฌ ๐‘Š โˆˆ V โ†’ (ยทifโ€˜๐‘Š) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ)))
2921, 28pm2.61i 182 . 2 (ยทifโ€˜๐‘Š) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ))
301, 29eqtri 2754 1 ยท = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   โˆช cun 3941  โˆ…c0 4317  {csn 4623  โŸจcop 4629  ran crn 5670  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  Basecbs 17153  ยท๐‘–cip 17211  ยทifcipf 21518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-ipf 21520
This theorem is referenced by:  ipfval  21542  ipfeq  21543  ipffn  21544  phlipf  21545  phssip  21551
  Copyright terms: Public domain W3C validator