MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipffval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipffval 21587
Description: The inner product operation as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ipffval.1 ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘Š)
ipffval.2 , = (ยท๐‘–โ€˜๐‘Š)
ipffval.3 ยท = (ยทifโ€˜๐‘Š)
Assertion
Ref Expression
ipffval ยท = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, ,   ๐‘ฅ,๐‘‰,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘Š,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem ipffval
Dummy variable ๐‘” is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipffval.3 . 2 ยท = (ยทifโ€˜๐‘Š)
2 fveq2 6902 . . . . . 6 (๐‘” = ๐‘Š โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = (Baseโ€˜๐‘Š))
3 ipffval.1 . . . . . 6 ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘Š)
42, 3eqtr4di 2786 . . . . 5 (๐‘” = ๐‘Š โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = ๐‘‰)
5 fveq2 6902 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐‘Š โ†’ (ยท๐‘–โ€˜๐‘”) = (ยท๐‘–โ€˜๐‘Š))
6 ipffval.2 . . . . . . 7 , = (ยท๐‘–โ€˜๐‘Š)
75, 6eqtr4di 2786 . . . . . 6 (๐‘” = ๐‘Š โ†’ (ยท๐‘–โ€˜๐‘”) = , )
87oveqd 7443 . . . . 5 (๐‘” = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ(ยท๐‘–โ€˜๐‘”)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ , ๐‘ฆ))
94, 4, 8mpoeq123dv 7501 . . . 4 (๐‘” = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ(ยท๐‘–โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ)))
10 df-ipf 21566 . . . 4 ยทif = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”), ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ(ยท๐‘–โ€˜๐‘”)๐‘ฆ)))
113fvexi 6916 . . . . 5 ๐‘‰ โˆˆ V
126fvexi 6916 . . . . . . 7 , โˆˆ V
1312rnex 7924 . . . . . 6 ran , โˆˆ V
14 p0ex 5388 . . . . . 6 {โˆ…} โˆˆ V
1513, 14unex 7754 . . . . 5 (ran , โˆช {โˆ…}) โˆˆ V
16 df-ov 7429 . . . . . . 7 (๐‘ฅ , ๐‘ฆ) = ( , โ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ)
17 fvrn0 6932 . . . . . . 7 ( , โ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ) โˆˆ (ran , โˆช {โˆ…})
1816, 17eqeltri 2825 . . . . . 6 (๐‘ฅ , ๐‘ฆ) โˆˆ (ran , โˆช {โˆ…})
1918rgen2w 3063 . . . . 5 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ) โˆˆ (ran , โˆช {โˆ…})
2011, 11, 15, 19mpoexw 8089 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ)) โˆˆ V
219, 10, 20fvmpt 7010 . . 3 (๐‘Š โˆˆ V โ†’ (ยทifโ€˜๐‘Š) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ)))
22 fvprc 6894 . . . 4 (ยฌ ๐‘Š โˆˆ V โ†’ (ยทifโ€˜๐‘Š) = โˆ…)
23 fvprc 6894 . . . . . . 7 (ยฌ ๐‘Š โˆˆ V โ†’ (Baseโ€˜๐‘Š) = โˆ…)
243, 23eqtrid 2780 . . . . . 6 (ยฌ ๐‘Š โˆˆ V โ†’ ๐‘‰ = โˆ…)
2524olcd 872 . . . . 5 (ยฌ ๐‘Š โˆˆ V โ†’ (๐‘‰ = โˆ… โˆจ ๐‘‰ = โˆ…))
26 0mpo0 7509 . . . . 5 ((๐‘‰ = โˆ… โˆจ ๐‘‰ = โˆ…) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ)) = โˆ…)
2725, 26syl 17 . . . 4 (ยฌ ๐‘Š โˆˆ V โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ)) = โˆ…)
2822, 27eqtr4d 2771 . . 3 (ยฌ ๐‘Š โˆˆ V โ†’ (ยทifโ€˜๐‘Š) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ)))
2921, 28pm2.61i 182 . 2 (ยทifโ€˜๐‘Š) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ))
301, 29eqtri 2756 1 ยท = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‰, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‰ โ†ฆ (๐‘ฅ , ๐‘ฆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3473   โˆช cun 3947  โˆ…c0 4326  {csn 4632  โŸจcop 4638  ran crn 5683  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  Basecbs 17187  ยท๐‘–cip 17245  ยทifcipf 21564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-ipf 21566
This theorem is referenced by:  ipfval  21588  ipfeq  21589  ipffn  21590  phlipf  21591  phssip  21597
  Copyright terms: Public domain W3C validator