MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchnmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tchnmfval 24615
Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphnmval.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
tcphnmval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphnmval.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tchnmfval (π‘Š ∈ Grp β†’ 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯, ,   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝑁(π‘₯)

Proof of Theorem tchnmfval
StepHypRef Expression
1 tcphnmval.n . 2 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
2 eqid 2733 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))
3 fvrn0 6876 . . . . 5 (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) ∈ (ran √ βˆͺ {βˆ…})
43a1i 11 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) ∈ (ran √ βˆͺ {βˆ…}))
52, 4fmpti 7064 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))):π‘‰βŸΆ(ran √ βˆͺ {βˆ…})
6 tcphval.n . . . . 5 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
7 tcphnmval.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 tcphnmval.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
96, 7, 8tcphval 24605 . . . 4 𝐺 = (π‘Š toNrmGrp (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))))
10 cnex 11140 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
11 sqrtf 15257 . . . . . . 7 √:β„‚βŸΆβ„‚
12 frn 6679 . . . . . . 7 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ ran √ βŠ† β„‚)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 ran √ βŠ† β„‚
1410, 13ssexi 5283 . . . . 5 ran √ ∈ V
15 p0ex 5343 . . . . 5 {βˆ…} ∈ V
1614, 15unex 7684 . . . 4 (ran √ βˆͺ {βˆ…}) ∈ V
179, 7, 16tngnm 24038 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))):π‘‰βŸΆ(ran √ βˆͺ {βˆ…})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))) = (normβ€˜πΊ))
185, 17mpan2 690 . 2 (π‘Š ∈ Grp β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))) = (normβ€˜πΊ))
191, 18eqtr4id 2792 1 (π‘Š ∈ Grp β†’ 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {csn 4590   ↦ cmpt 5192  ran crn 5638  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  βˆšcsqrt 15127  Basecbs 17091  Β·π‘–cip 17146  Grpcgrp 18756  normcnm 23955  toβ„‚PreHilctcph 24554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-ds 17163  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-nm 23961  df-tng 23963  df-tcph 24556
This theorem is referenced by:  tcphnmval  24616  cphtcphnm  24617  tcphds  24618  rrxnm  24778
  Copyright terms: Public domain W3C validator