MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchnmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tchnmfval 25111
Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphnmval.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
tcphnmval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphnmval.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tchnmfval (π‘Š ∈ Grp β†’ 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯, ,   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝑁(π‘₯)

Proof of Theorem tchnmfval
StepHypRef Expression
1 tcphnmval.n . 2 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
2 eqid 2726 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))
3 fvrn0 6915 . . . . 5 (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) ∈ (ran √ βˆͺ {βˆ…})
43a1i 11 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) ∈ (ran √ βˆͺ {βˆ…}))
52, 4fmpti 7107 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))):π‘‰βŸΆ(ran √ βˆͺ {βˆ…})
6 tcphval.n . . . . 5 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
7 tcphnmval.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 tcphnmval.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
96, 7, 8tcphval 25101 . . . 4 𝐺 = (π‘Š toNrmGrp (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))))
10 cnex 11193 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
11 sqrtf 15316 . . . . . . 7 √:β„‚βŸΆβ„‚
12 frn 6718 . . . . . . 7 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ ran √ βŠ† β„‚)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 ran √ βŠ† β„‚
1410, 13ssexi 5315 . . . . 5 ran √ ∈ V
15 p0ex 5375 . . . . 5 {βˆ…} ∈ V
1614, 15unex 7730 . . . 4 (ran √ βˆͺ {βˆ…}) ∈ V
179, 7, 16tngnm 24523 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))):π‘‰βŸΆ(ran √ βˆͺ {βˆ…})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))) = (normβ€˜πΊ))
185, 17mpan2 688 . 2 (π‘Š ∈ Grp β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))) = (normβ€˜πΊ))
191, 18eqtr4id 2785 1 (π‘Š ∈ Grp β†’ 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  βˆšcsqrt 15186  Basecbs 17153  Β·π‘–cip 17211  Grpcgrp 18863  normcnm 24440  toβ„‚PreHilctcph 25050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-ds 17228  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-nm 24446  df-tng 24448  df-tcph 25052
This theorem is referenced by:  tcphnmval  25112  cphtcphnm  25113  tcphds  25114  rrxnm  25274
  Copyright terms: Public domain W3C validator