Theorem tchnmfval 25396

Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphnmval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphnmval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphnmval.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tchnmfval	⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem tchnmfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphnmval.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
3		fvrn0 6909	. . . . 5 ⊢ (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅}))
5	2, 4	fmpti 7107	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})
6		tcphval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
7		tcphnmval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		tcphnmval.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
9	6, 7, 8	tcphval 25386	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
10		cnex 11185	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
11		sqrtf 15420	. . . . . . 7 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
12		frn 6713	. . . . . . 7 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ran √ ⊆ ℂ
14	10, 13	ssexi 5293	. . . . 5 ⊢ ran √ ∈ V
15		p0ex 5355	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16	14, 15	unex 7742	. . . 4 ⊢ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
17	9, 7, 16	tngnm 24817	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (norm‘𝐺))
18	5, 17	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (norm‘𝐺))
19	1, 18	eqtr4id 2817	1 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589   ↦ cmpt 5192  ran crn 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  √csqrt 15289  Basecbs 17273  ·_𝑖cip 17319  Grpcgrp 19004  normcnm 24742  toℂPreHilctcph 25335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-rp 13021  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-plusg 17327  df-tset 17333  df-ds 17336  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-nm 24748  df-tng 24750  df-tcph 25337

This theorem is used by:  tcphnmval  25397  cphtcphnm  25398  tcphds  25399  rrxnm  25559