MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchnmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tchnmfval 25078
Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphnmval.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphnmval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphnmval.h , = (·𝑖𝑊)
Assertion
Ref Expression
tchnmfval (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem tchnmfval
StepHypRef Expression
1 tcphnmval.n . 2 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 eqid 2724 . . . 4 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
3 fvrn0 6911 . . . . 5 (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
43a1i 11 . . . 4 (𝑥𝑉 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅}))
52, 4fmpti 7103 . . 3 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})
6 tcphval.n . . . . 5 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
7 tcphnmval.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 tcphnmval.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
96, 7, 8tcphval 25068 . . . 4 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
10 cnex 11187 . . . . . 6 ℂ ∈ V
11 sqrtf 15307 . . . . . . 7 √:ℂ⟶ℂ
12 frn 6714 . . . . . . 7 (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 ran √ ⊆ ℂ
1410, 13ssexi 5312 . . . . 5 ran √ ∈ V
15 p0ex 5372 . . . . 5 {∅} ∈ V
1614, 15unex 7726 . . . 4 (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
179, 7, 16tngnm 24490 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})) → (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (norm‘𝐺))
185, 17mpan2 688 . 2 (𝑊 ∈ Grp → (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (norm‘𝐺))
191, 18eqtr4id 2783 1 (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3938  wss 3940  c0 4314  {csn 4620  cmpt 5221  ran crn 5667  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104  csqrt 15177  Basecbs 17143  ·𝑖cip 17201  Grpcgrp 18853  normcnm 24407  toℂPreHilctcph 25017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-ds 17218  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-nm 24413  df-tng 24415  df-tcph 25019
This theorem is referenced by:  tcphnmval  25079  cphtcphnm  25080  tcphds  25081  rrxnm  25241
  Copyright terms: Public domain W3C validator