Theorem tchnmfval 25488

Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphnmval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphnmval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphnmval.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tchnmfval	⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem tchnmfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphnmval.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
3		fvrn0 6909	. . . . 5 ⊢ (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅}))
5	2, 4	fmpti 7108	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})
6		tcphval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
7		tcphnmval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		tcphnmval.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
9	6, 7, 8	tcphval 25478	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
10		cnex 11230	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
11		sqrtf 15476	. . . . . . 7 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
12		frn 6713	. . . . . . 7 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ran √ ⊆ ℂ
14	10, 13	ssexi 5287	. . . . 5 ⊢ ran √ ∈ V
15		p0ex 5349	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16	14, 15	unex 7752	. . . 4 ⊢ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
17	9, 7, 16	tngnm 24909	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (norm‘𝐺))
18	5, 17	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (norm‘𝐺))
19	1, 18	eqtr4id 2814	1 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  √csqrt 15345  Basecbs 17326  ·_𝑖cip 17372  Grpcgrp 19083  normcnm 24834  toℂPreHilctcph 25427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9419  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-rp 13068  df-seq 14091  df-exp 14151  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-plusg 17380  df-tset 17386  df-ds 17389  df-0g 17551  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-nm 24840  df-tng 24842  df-tcph 25429

This theorem is used by:  tcphnmval  25489  cphtcphnm  25490  tcphds  25491  rrxnm  25651