Theorem tchnmfval 25443

Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphnmval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphnmval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphnmval.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tchnmfval	⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem tchnmfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphnmval.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
3		fvrn0 6914	. . . . 5 ⊢ (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅}))
5	2, 4	fmpti 7112	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})
6		tcphval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
7		tcphnmval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		tcphnmval.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
9	6, 7, 8	tcphval 25433	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
10		cnex 11201	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
11		sqrtf 15444	. . . . . . 7 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
12		frn 6718	. . . . . . 7 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ran √ ⊆ ℂ
14	10, 13	ssexi 5295	. . . . 5 ⊢ ran √ ∈ V
15		p0ex 5357	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16	14, 15	unex 7753	. . . 4 ⊢ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
17	9, 7, 16	tngnm 24864	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (norm‘𝐺))
18	5, 17	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (norm‘𝐺))
19	1, 18	eqtr4id 2819	1 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ℂcc 11118  √csqrt 15313  Basecbs 17296  ·_𝑖cip 17342  Grpcgrp 19049  normcnm 24789  toℂPreHilctcph 25382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-sup 9410  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-rp 13038  df-seq 14061  df-exp 14121  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-plusg 17350  df-tset 17356  df-ds 17359  df-0g 17521  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-sbg 19054  df-nm 24795  df-tng 24797  df-tcph 25384

This theorem is used by:  tcphnmval  25444  cphtcphnm  25445  tcphds  25446  rrxnm  25606