Theorem tchnmfval 25281

Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphnmval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphnmval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphnmval.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tchnmfval	⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem tchnmfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphnmval.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
3		fvrn0 6950	. . . . 5 ⊢ (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅}))
5	2, 4	fmpti 7146	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})
6		tcphval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
7		tcphnmval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		tcphnmval.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
9	6, 7, 8	tcphval 25271	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
10		cnex 11265	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
11		sqrtf 15412	. . . . . . 7 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
12		frn 6754	. . . . . . 7 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ran √ ⊆ ℂ
14	10, 13	ssexi 5340	. . . . 5 ⊢ ran √ ∈ V
15		p0ex 5402	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16	14, 15	unex 7779	. . . 4 ⊢ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
17	9, 7, 16	tngnm 24693	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (norm‘𝐺))
18	5, 17	mpan2 690	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (norm‘𝐺))
19	1, 18	eqtr4id 2799	1 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  √csqrt 15282  Basecbs 17258  ·_𝑖cip 17316  Grpcgrp 18973  normcnm 24610  toℂPreHilctcph 25220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-tset 17330  df-ds 17333  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-nm 24616  df-tng 24618  df-tcph 25222

This theorem is referenced by:  tcphnmval  25282  cphtcphnm  25283  tcphds  25284  rrxnm  25444