Theorem tchnmfval 25078

Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphnmval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphnmval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphnmval.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tchnmfval	⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem tchnmfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphnmval.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
3		fvrn0 6911	. . . . 5 ⊢ (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ (ran √ ∪ {∅}))
5	2, 4	fmpti 7103	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})
6		tcphval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
7		tcphnmval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		tcphnmval.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
9	6, 7, 8	tcphval 25068	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
10		cnex 11187	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
11		sqrtf 15307	. . . . . . 7 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
12		frn 6714	. . . . . . 7 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ran √ ⊆ ℂ
14	10, 13	ssexi 5312	. . . . 5 ⊢ ran √ ∈ V
15		p0ex 5372	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16	14, 15	unex 7726	. . . 4 ⊢ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
17	9, 7, 16	tngnm 24490	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶(ran √ ∪ {∅})) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (norm‘𝐺))
18	5, 17	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (norm‘𝐺))
19	1, 18	eqtr4id 2783	1 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3938   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314  {csn 4620   ↦ cmpt 5221  ran crn 5667  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  √csqrt 15177  Basecbs 17143  ·_𝑖cip 17201  Grpcgrp 18853  normcnm 24407  toℂPreHilctcph 25017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-ds 17218  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-nm 24413  df-tng 24415  df-tcph 25019

This theorem is referenced by:  tcphnmval  25079  cphtcphnm  25080  tcphds  25081  rrxnm  25241