MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchnmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tchnmfval 25184
Description: The norm of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphnmval.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
tcphnmval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphnmval.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tchnmfval (π‘Š ∈ Grp β†’ 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯, ,   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝑁(π‘₯)

Proof of Theorem tchnmfval
StepHypRef Expression
1 tcphnmval.n . 2 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
2 eqid 2728 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))
3 fvrn0 6932 . . . . 5 (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) ∈ (ran √ βˆͺ {βˆ…})
43a1i 11 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) ∈ (ran √ βˆͺ {βˆ…}))
52, 4fmpti 7127 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))):π‘‰βŸΆ(ran √ βˆͺ {βˆ…})
6 tcphval.n . . . . 5 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
7 tcphnmval.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 tcphnmval.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
96, 7, 8tcphval 25174 . . . 4 𝐺 = (π‘Š toNrmGrp (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))))
10 cnex 11229 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
11 sqrtf 15352 . . . . . . 7 √:β„‚βŸΆβ„‚
12 frn 6734 . . . . . . 7 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ ran √ βŠ† β„‚)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 ran √ βŠ† β„‚
1410, 13ssexi 5326 . . . . 5 ran √ ∈ V
15 p0ex 5388 . . . . 5 {βˆ…} ∈ V
1614, 15unex 7756 . . . 4 (ran √ βˆͺ {βˆ…}) ∈ V
179, 7, 16tngnm 24596 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))):π‘‰βŸΆ(ran √ βˆͺ {βˆ…})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))) = (normβ€˜πΊ))
185, 17mpan2 689 . 2 (π‘Š ∈ Grp β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))) = (normβ€˜πΊ))
191, 18eqtr4id 2787 1 (π‘Š ∈ Grp β†’ 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  {csn 4632   ↦ cmpt 5235  ran crn 5683  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  βˆšcsqrt 15222  Basecbs 17189  Β·π‘–cip 17247  Grpcgrp 18904  normcnm 24513  toβ„‚PreHilctcph 25123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-tset 17261  df-ds 17264  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-nm 24519  df-tng 24521  df-tcph 25125
This theorem is referenced by:  tcphnmval  25185  cphtcphnm  25186  tcphds  25187  rrxnm  25347
  Copyright terms: Public domain W3C validator