Theorem dfac4 10082

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The right-hand side is Axiom AC of [BellMachover] p. 488. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 24-Mar-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac4	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑧

Proof of Theorem dfac4

Dummy variables 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac3 10081	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
2		fveq1 6860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → (𝑓‘𝑧) = (𝑦‘𝑧))
3	2	eleq1d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
4	3	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
5	4	ralbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
6	5	cbvexvw 2037	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
7		fvex 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦‘𝑤) ∈ V
8		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))
9	7, 8	fnmpti 6664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥
10		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑦‘𝑤) = (𝑦‘𝑧))
11		fvex 6874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦‘𝑧) ∈ V
12	10, 8, 11	fvmpt 6971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) = (𝑦‘𝑧))
13	12	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
14	13	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
15	14	ralbiia 3074	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
16	15	anbi2i 623	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
17	9, 16	mpbiran 709	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
18		fvrn0 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅})
19	18	rgenw 3049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅})
20	8	fmpt 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅}))
21	19, 20	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅})
22		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
23		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
24	23	rnex 7889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝑦 ∈ V
25		p0ex 5342	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ V
26	24, 25	unex 7723	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ∈ V
27		fex2 7915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ V ∧ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) ∈ V)
28	21, 22, 26, 27	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) ∈ V
29		fneq1 6612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (𝑓 Fn 𝑥 ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥))
30		fveq1 6860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (𝑓‘𝑧) = ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧))
31	30	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧))
32	31	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
33	32	ralbidv 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
34	29, 33	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧))))
35	28, 34	spcev 3575	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
36	17, 35	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
37	36	exlimiv 1930	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
38	6, 37	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
39		exsimpr 1869	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
40	38, 39	impbii 209	. . 3 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
41	40	albii 1819	. 2 ⊢ (∀𝑥∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
42	1, 41	bitri 275	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ∪ cun 3915  ∅c0 4299  {csn 4592   ↦ cmpt 5191  ran crn 5642   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  CHOICEwac 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ac 10076

This theorem is referenced by:  dfac5  10089  dfacacn  10102  ac5  10437