Theorem dfac4 10211

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The right-hand side is Axiom AC of [BellMachover] p. 488. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 24-Mar-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac4	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑧

Proof of Theorem dfac4

Dummy variables 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac3 10210	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
2		fveq1 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → (𝑓‘𝑧) = (𝑦‘𝑧))
3	2	eleq1d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
4	3	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
5	4	ralbidv 3188	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
6	5	cbvexvw 2071	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
7		fvex 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦‘𝑤) ∈ V
8		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))
9	7, 8	fnmpti 6690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥
10		fveq2 6893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑦‘𝑤) = (𝑦‘𝑧))
11		fvex 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦‘𝑧) ∈ V
12	10, 8, 11	fvmpt 7001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) = (𝑦‘𝑧))
13	12	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
14	13	imbi2d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
15	14	ralbiia 3109	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
16	15	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
17	9, 16	mpbiran 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
18		fvrn0 6921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅})
19	18	rgenw 3083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅})
20	8	fmpt 7118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅}))
21	19, 20	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅})
22		vex 3457	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
23		vex 3457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
24	23	rnex 7929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝑦 ∈ V
25		p0ex 5349	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ V
26	24, 25	unex 7768	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ∈ V
27		fex2 7955	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ V ∧ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) ∈ V)
28	21, 22, 26, 27	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) ∈ V
29		fneq1 6638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (𝑓 Fn 𝑥 ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥))
30		fveq1 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (𝑓‘𝑧) = ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧))
31	30	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧))
32	31	imbi2d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
33	32	ralbidv 3188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
34	29, 33	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧))))
35	28, 34	spcev 3563	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
36	17, 35	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
37	36	exlimiv 1964	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
38	6, 37	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
39		exsimpr 1901	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
40	38, 39	impbii 212	. . 3 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
41	40	albii 1851	. 2 ⊢ (∀𝑥∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
42	1, 41	bitri 278	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  Vcvv 3453   ∪ cun 4151  ∅c0 4280  {csn 4587   ↦ cmpt 5188  ran crn 5655   Fn wfn 6541  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  CHOICEwac 10204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-fv 6554  df-ac 10205

This theorem is used by:  dfac5  10217  dfacacn  10230  ac5  10565  gblacfnac2d  35984