Theorem dfac4 9533

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The right-hand side is Axiom AC of [BellMachover] p. 488. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 24-Mar-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac4	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑧

Proof of Theorem dfac4

Dummy variables 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac3 9532	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
2		fveq1 6644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → (𝑓‘𝑧) = (𝑦‘𝑧))
3	2	eleq1d 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
4	3	imbi2d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
5	4	ralbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
6	5	cbvexvw 2044	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
7		fvex 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦‘𝑤) ∈ V
8		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))
9	7, 8	fnmpti 6463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥
10		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑦‘𝑤) = (𝑦‘𝑧))
11		fvex 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦‘𝑧) ∈ V
12	10, 8, 11	fvmpt 6745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) = (𝑦‘𝑧))
13	12	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
14	13	imbi2d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
15	14	ralbiia 3132	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
16	15	anbi2i 625	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
17	9, 16	mpbiran 708	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
18		fvrn0 6673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅})
19	18	rgenw 3118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅})
20	8	fmpt 6851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅}))
21	19, 20	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅})
22		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
23		vex 3444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
24	23	rnex 7599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝑦 ∈ V
25		p0ex 5250	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ V
26	24, 25	unex 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ∈ V
27		fex2 7620	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ V ∧ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) ∈ V)
28	21, 22, 26, 27	mp3an 1458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) ∈ V
29		fneq1 6414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (𝑓 Fn 𝑥 ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥))
30		fveq1 6644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (𝑓‘𝑧) = ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧))
31	30	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧))
32	31	imbi2d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
33	32	ralbidv 3162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
34	29, 33	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧))))
35	28, 34	spcev 3555	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
36	17, 35	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
37	36	exlimiv 1931	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
38	6, 37	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
39		exsimpr 1870	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
40	38, 39	impbii 212	. . 3 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
41	40	albii 1821	. 2 ⊢ (∀𝑥∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
42	1, 41	bitri 278	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∪ cun 3879  ∅c0 4243  {csn 4525   ↦ cmpt 5110  ran crn 5520   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  CHOICEwac 9526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ac 9527

This theorem is referenced by:  dfac5  9539  dfacacn  9552  ac5  9888