Theorem dfac4 10106

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The right-hand side is Axiom AC of [BellMachover] p. 488. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 24-Mar-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac4	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑧

Proof of Theorem dfac4

Dummy variables 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac3 10105	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
2		fveq1 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → (𝑓‘𝑧) = (𝑦‘𝑧))
3	2	eleq1d 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
4	3	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
5	4	ralbidv 3194	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
6	5	cbvexvw 2064	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
7		fvex 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦‘𝑤) ∈ V
8		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))
9	7, 8	fnmpti 6679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥
10		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑦‘𝑤) = (𝑦‘𝑧))
11		fvex 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦‘𝑧) ∈ V
12	10, 8, 11	fvmpt 6990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) = (𝑦‘𝑧))
13	12	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
14	13	imbi2d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
15	14	ralbiia 3115	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
16	15	anbi2i 634	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
17	9, 16	mpbiran 721	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
18		fvrn0 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅})
19	18	rgenw 3089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅})
20	8	fmpt 7106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅}))
21	19, 20	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅})
22		vex 3467	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
23		vex 3467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
24	23	rnex 7907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝑦 ∈ V
25		p0ex 5356	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ V
26	24, 25	unex 7743	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ∈ V
27		fex2 7933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ V ∧ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) ∈ V)
28	21, 22, 26, 27	mp3an 1487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) ∈ V
29		fneq1 6627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (𝑓 Fn 𝑥 ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥))
30		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (𝑓‘𝑧) = ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧))
31	30	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧))
32	31	imbi2d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
33	32	ralbidv 3194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
34	29, 33	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧))))
35	28, 34	spcev 3574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
36	17, 35	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
37	36	exlimiv 1957	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
38	6, 37	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
39		exsimpr 1896	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
40	38, 39	impbii 212	. . 3 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
41	40	albii 1846	. 2 ⊢ (∀𝑥∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
42	1, 41	bitri 278	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1565   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ∪ cun 3911  ∅c0 4294  {csn 4594   ↦ cmpt 5196  ran crn 5663   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  CHOICEwac 10099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ac 10100

This theorem is referenced by:  dfac5  10112  dfacacn  10125  ac5  10461