Theorem dfac4 10013

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The right-hand side is Axiom AC of [BellMachover] p. 488. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 24-Mar-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac4	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑧

Proof of Theorem dfac4

Dummy variables 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac3 10012	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
2		fveq1 6821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → (𝑓‘𝑧) = (𝑦‘𝑧))
3	2	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
4	3	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
5	4	ralbidv 3155	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
6	5	cbvexvw 2038	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
7		fvex 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦‘𝑤) ∈ V
8		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))
9	7, 8	fnmpti 6624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥
10		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑦‘𝑤) = (𝑦‘𝑧))
11		fvex 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦‘𝑧) ∈ V
12	10, 8, 11	fvmpt 6929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) = (𝑦‘𝑧))
13	12	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
14	13	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
15	14	ralbiia 3076	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
16	15	anbi2i 623	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧)))
17	9, 16	mpbiran 709	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧))
18		fvrn0 6850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅})
19	18	rgenw 3051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅})
20	8	fmpt 7043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑦‘𝑤) ∈ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅}))
21	19, 20	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅})
22		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
23		vex 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
24	23	rnex 7840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝑦 ∈ V
25		p0ex 5320	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅} ∈ V
26	24, 25	unex 7677	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ∈ V
27		fex2 7866	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)):𝑥⟶(ran 𝑦 ∪ {∅}) ∧ 𝑥 ∈ V ∧ (ran 𝑦 ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) ∈ V)
28	21, 22, 26, 27	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) ∈ V
29		fneq1 6572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (𝑓 Fn 𝑥 ↔ (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥))
30		fveq1 6821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (𝑓‘𝑧) = ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧))
31	30	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧))
32	31	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
33	32	ralbidv 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
34	29, 33	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) → ((𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧))))
35	28, 34	spcev 3556	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤)) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦‘𝑤))‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
36	17, 35	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
37	36	exlimiv 1931	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
38	6, 37	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
39		exsimpr 1870	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
40	38, 39	impbii 209	. . 3 ⊢ (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
41	40	albii 1820	. 2 ⊢ (∀𝑥∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
42	1, 41	bitri 275	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∪ cun 3895  ∅c0 4280  {csn 4573   ↦ cmpt 5170  ran crn 5615   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  CHOICEwac 10006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ac 10007

This theorem is referenced by:  dfac5  10020  dfacacn  10033  ac5  10368