Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem6 39222
Description: Lemma for paddass 39235. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 β‰  𝑧 ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))

Proof of Theorem paddasslem6
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 β‰  𝑧 ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2r 1225 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 β‰  𝑧 ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
3 simpl2l 1224 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 β‰  𝑧 ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
4 simpl3 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 β‰  𝑧 ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
52, 3, 43jca 1126 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 β‰  𝑧 ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
6 simprl 770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 β‰  𝑧 ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑠 β‰  𝑧)
71, 5, 63jca 1126 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 β‰  𝑧 ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 β‰  𝑧))
8 simprr 772 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 β‰  𝑧 ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧))
9 paddasslem.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 paddasslem.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 paddasslem.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
129, 10, 11hlatexch2 38793 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 β‰  𝑧) β†’ (𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧) β†’ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧)))
137, 8, 12sylc 65 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 β‰  𝑧 ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  lecple 17225  joincjn 18288  Atomscatm 38659  HLchlt 38746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-lat 18409  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747
This theorem is referenced by:  paddasslem7  39223
  Copyright terms: Public domain W3C validator