Theorem paddasslem6 40883

Description: Lemma for paddass 40896. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddasslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddasslem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddasslem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem6	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝑝 ≤ (𝑠 ∨ 𝑧))

Proof of Theorem paddasslem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2r 1246	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝑠 ∈ 𝐴)
3		simpl2l 1245	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
4		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
5	2, 3, 4	3jca 1146	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
6		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝑠 ≠ 𝑧)
7	1, 5, 6	3jca 1146	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ≠ 𝑧))
8		simprr 785	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))
9		paddasslem.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		paddasslem.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		paddasslem.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12	9, 10, 11	hlatexch2 40454	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ≠ 𝑧) → (𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧) → 𝑝 ≤ (𝑠 ∨ 𝑧)))
13	7, 8, 12	sylc 66	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝑝 ≤ (𝑠 ∨ 𝑧))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  lecple 17435  joincjn 18485  Atomscatm 40321  HLchlt 40408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-lat 18606  df-covers 40324  df-ats 40325  df-atl 40356  df-cvlat 40380  df-hlat 40409

This theorem is used by:  paddasslem7  40884