Theorem paddasslem6 40120

Description: Lemma for paddass 40133. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddasslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddasslem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddasslem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem6	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝑝 ≤ (𝑠 ∨ 𝑧))

Proof of Theorem paddasslem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2r 1229	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝑠 ∈ 𝐴)
3		simpl2l 1228	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
4		simpl3 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
5	2, 3, 4	3jca 1129	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
6		simprl 771	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝑠 ≠ 𝑧)
7	1, 5, 6	3jca 1129	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ≠ 𝑧))
8		simprr 773	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))
9		paddasslem.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		paddasslem.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		paddasslem.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12	9, 10, 11	hlatexch2 39691	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ≠ 𝑧) → (𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧) → 𝑝 ≤ (𝑠 ∨ 𝑧)))
13	7, 8, 12	sylc 65	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ≠ 𝑧 ∧ 𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑧))) → 𝑝 ≤ (𝑠 ∨ 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  lecple 17186  joincjn 18236  Atomscatm 39558  HLchlt 39645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-lat 18357  df-covers 39561  df-ats 39562  df-atl 39593  df-cvlat 39617  df-hlat 39646

This theorem is referenced by:  paddasslem7  40121