Theorem hlatexch2 39516

Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatexchb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatexchb.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatexchb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatexch2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))

Proof of Theorem hlatexch2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcvl 39479	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
2		hlatexchb.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		hlatexchb.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		hlatexchb.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	2, 3, 4	cvlatexch2 39457	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
6	1, 5	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  lecple 17170  joincjn 18219  Atomscatm 39383  CvLatclc 39385  HLchlt 39470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-proset 18202  df-poset 18221  df-plt 18236  df-lub 18252  df-glb 18253  df-join 18254  df-meet 18255  df-p0 18331  df-lat 18340  df-covers 39386  df-ats 39387  df-atl 39418  df-cvlat 39442  df-hlat 39471

This theorem is referenced by:  2llnneN  39529  atexchcvrN  39560  atbtwnex  39568  3dimlem3  39581  3dimlem3OLDN  39582  3dimlem4  39584  3dimlem4OLDN  39585  hlatexch4  39601  3atlem5  39607  dalem27  39819  cdlemblem  39913  paddasslem1  39940  paddasslem6  39945  cdleme3g  40354  cdleme3h  40355  cdleme7d  40366  cdleme11c  40381  cdleme11dN  40382  cdleme36a  40580  cdlemeg46rgv  40648  cdlemk14  40974  dia2dimlem1  41184  dia2dimlem2  41185  dia2dimlem3  41186