Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatexch2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatexch2 37905
Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatexchb.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
hlatexchb.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
hlatexchb.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
hlatexch2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)))

Proof of Theorem hlatexch2
StepHypRef Expression
1 hlcvl 37867 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
2 hlatexchb.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 hlatexchb.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 hlatexchb.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
52, 3, 4cvlatexch2 37845 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)))
61, 5syl3an1 1164 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  lecple 17145  joincjn 18205  Atomscatm 37771  CvLatclc 37773  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by:  2llnneN  37918  atexchcvrN  37949  atbtwnex  37957  3dimlem3  37970  3dimlem3OLDN  37971  3dimlem4  37973  3dimlem4OLDN  37974  hlatexch4  37990  3atlem5  37996  dalem27  38208  cdlemblem  38302  paddasslem1  38329  paddasslem6  38334  cdleme3g  38743  cdleme3h  38744  cdleme7d  38755  cdleme11c  38770  cdleme11dN  38771  cdleme36a  38969  cdlemeg46rgv  39037  cdlemk14  39363  dia2dimlem1  39573  dia2dimlem2  39574  dia2dimlem3  39575
  Copyright terms: Public domain W3C validator