Theorem paddasslem5 38287

Description: Lemma for paddass 38301. Show 𝑠 ≠ 𝑧 by contradiction. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddasslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddasslem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddasslem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem5	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ 𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) → 𝑠 ≠ 𝑧)

Proof of Theorem paddasslem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ↔ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
2	1	biimpac 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 = 𝑧) → 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))
3		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		paddasslem.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		simpll1 1212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝐾 ∈ HL)
6	5	hllatd 37826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simpll2 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑟 ∈ 𝐴)
8		paddasslem.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	3, 8	atbase 37751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
11		simp32 1210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
12	11	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
13	3, 8	atbase 37751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
15		simp33 1211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
16	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
17	3, 8	atbase 37751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
19		paddasslem.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20	3, 19	latjcl 18328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 ∨ 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
21	6, 14, 18, 20	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → (𝑦 ∨ 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
22		simp31 1209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23	22	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
24	3, 8	atbase 37751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
26	3, 19	latjcl 18328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥 ∨ 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
27	6, 25, 14, 26	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → (𝑥 ∨ 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
28		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))
29	4, 19, 8	hlatlej2 37838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))
30	5, 23, 12, 29	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))
31		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))
32	3, 4, 19	latjle12 18339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑥 ∨ 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑦 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) ↔ (𝑦 ∨ 𝑧) ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
33	32	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑥 ∨ 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑦 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → (𝑦 ∨ 𝑧) ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
34	6, 14, 18, 27, 33	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → ((𝑦 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → (𝑦 ∨ 𝑧) ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
35	30, 31, 34	mp2and 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → (𝑦 ∨ 𝑧) ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))
36	3, 4, 6, 10, 21, 27, 28, 35	lattrd 18335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))
37	36	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) → (𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
38	2, 37	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) → ((𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 = 𝑧) → 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
39	38	expdimp 453	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → (𝑠 = 𝑧 → 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
40	39	necon3bd 2957	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → 𝑠 ≠ 𝑧))
41	40	exp31 420	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧) → (𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → 𝑠 ≠ 𝑧))))
42	41	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → (𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → 𝑠 ≠ 𝑧))))
43	42	com24 95	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → (𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧) → (𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → 𝑠 ≠ 𝑧))))
44	43	3imp2 1349	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ 𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) → 𝑠 ≠ 𝑧)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-poset 18202  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-lat 18321  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813

This theorem is referenced by:  paddasslem7  38289