Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem5 37082
Description: Lemma for paddass 37096. Show 𝑠𝑧 by contradiction. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l = (le‘𝐾)
paddasslem.j = (join‘𝐾)
paddasslem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddasslem5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦))) → 𝑠𝑧)

Proof of Theorem paddasslem5
StepHypRef Expression
1 breq1 5045 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑧 → (𝑠 (𝑥 𝑦) ↔ 𝑧 (𝑥 𝑦)))
21biimpac 482 . . . . . . . 8 ((𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑠 = 𝑧) → 𝑧 (𝑥 𝑦))
3 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 paddasslem.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝐾)
5 simpll1 1209 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → 𝐾 ∈ HL)
65hllatd 36622 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → 𝐾 ∈ Lat)
7 simpll2 1210 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → 𝑟𝐴)
8 paddasslem.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
93, 8atbase 36547 . . . . . . . . . . 11 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
11 simp32 1207 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → 𝑦𝐴)
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → 𝑦𝐴)
133, 8atbase 36547 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
15 simp33 1208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → 𝑧𝐴)
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → 𝑧𝐴)
173, 8atbase 36547 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐴𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
19 paddasslem.j . . . . . . . . . . . 12 = (join‘𝐾)
203, 19latjcl 17652 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
216, 14, 18, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → (𝑦 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
22 simp31 1206 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → 𝑥𝐴)
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → 𝑥𝐴)
243, 8atbase 36547 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
263, 19latjcl 17652 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
276, 25, 14, 26syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → (𝑥 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
28 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → 𝑟 (𝑦 𝑧))
294, 19, 8hlatlej2 36634 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 (𝑥 𝑦))
305, 23, 12, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → 𝑦 (𝑥 𝑦))
31 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → 𝑧 (𝑥 𝑦))
323, 4, 19latjle12 17663 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑥 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑦 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) ↔ (𝑦 𝑧) (𝑥 𝑦)))
3332biimpd 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑥 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑦 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → (𝑦 𝑧) (𝑥 𝑦)))
346, 14, 18, 27, 33syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → ((𝑦 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → (𝑦 𝑧) (𝑥 𝑦)))
3530, 31, 34mp2and 698 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → (𝑦 𝑧) (𝑥 𝑦))
363, 4, 6, 10, 21, 27, 28, 35lattrd 17659 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑧 (𝑥 𝑦)) → 𝑟 (𝑥 𝑦))
3736ex 416 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) → (𝑧 (𝑥 𝑦) → 𝑟 (𝑥 𝑦)))
382, 37syl5 34 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) → ((𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑠 = 𝑧) → 𝑟 (𝑥 𝑦)))
3938expdimp 456 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)) → (𝑠 = 𝑧𝑟 (𝑥 𝑦)))
4039necon3bd 3025 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧)) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)) → (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) → 𝑠𝑧))
4140exp31 423 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → (𝑟 (𝑦 𝑧) → (𝑠 (𝑥 𝑦) → (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) → 𝑠𝑧))))
4241com23 86 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → (𝑠 (𝑥 𝑦) → (𝑟 (𝑦 𝑧) → (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) → 𝑠𝑧))))
4342com24 95 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) → (𝑟 (𝑦 𝑧) → (𝑠 (𝑥 𝑦) → 𝑠𝑧))))
44433imp2 1346 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦))) → 𝑠𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  lecple 16563  joincjn 17545  Latclat 17646  Atomscatm 36521  HLchlt 36608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-poset 17547  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-lat 17647  df-ats 36525  df-atl 36556  df-cvlat 36580  df-hlat 36609
This theorem is referenced by:  paddasslem7  37084
  Copyright terms: Public domain W3C validator