Theorem paddasslem5 41027

Description: Lemma for paddass 41041. Show 𝑠 ≠ 𝑧 by contradiction. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddasslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddasslem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddasslem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem5	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ 𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) → 𝑠 ≠ 𝑧)

Proof of Theorem paddasslem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ↔ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
2	1	biimpac 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 = 𝑧) → 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))
3		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		paddasslem.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		simpll1 1231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝐾 ∈ HL)
6	5	hllatd 40567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simpll2 1232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑟 ∈ 𝐴)
8		paddasslem.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	3, 8	atbase 40492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
10	7, 9	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
11		simp32 1229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
12	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
13	3, 8	atbase 40492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
15		simp33 1230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
17	3, 8	atbase 40492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
19		paddasslem.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20	3, 19	latjcl 18628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 ∨ 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
21	6, 14, 18, 20	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → (𝑦 ∨ 𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
22		simp31 1228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
24	3, 8	atbase 40492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
26	3, 19	latjcl 18628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥 ∨ 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
27	6, 25, 14, 26	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → (𝑥 ∨ 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
28		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))
29	4, 19, 8	hlatlej2 40579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))
30	5, 23, 12, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))
31		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))
32	3, 4, 19	latjle12 18639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑥 ∨ 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑦 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) ↔ (𝑦 ∨ 𝑧) ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
33	32	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑥 ∨ 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑦 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → (𝑦 ∨ 𝑧) ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
34	6, 14, 18, 27, 33	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → ((𝑦 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → (𝑦 ∨ 𝑧) ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
35	30, 31, 34	mp2and 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → (𝑦 ∨ 𝑧) ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))
36	3, 4, 6, 10, 21, 27, 28, 35	lattrd 18635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))
37	36	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) → (𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
38	2, 37	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) → ((𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 = 𝑧) → 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
39	38	expdimp 458	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → (𝑠 = 𝑧 → 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
40	39	necon3bd 2973	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → 𝑠 ≠ 𝑧))
41	40	exp31 425	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧) → (𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → 𝑠 ≠ 𝑧))))
42	41	com23 87	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → (𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → 𝑠 ≠ 𝑧))))
43	42	com24 96	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → (𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧) → (𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) → 𝑠 ≠ 𝑧))))
44	43	3imp2 1368	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ 𝑠 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) → 𝑠 ≠ 𝑧)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  lecple 17450  joincjn 18500  Latclat 18620  Atomscatm 40466  HLchlt 40553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-poset 18502  df-lub 18533  df-glb 18534  df-join 18535  df-meet 18536  df-lat 18621  df-ats 40470  df-atl 40501  df-cvlat 40525  df-hlat 40554

This theorem is used by:  paddasslem7  41029