Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem5 38999
Description: Lemma for paddass 39013. Show 𝑠 β‰  𝑧 by contradiction. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) β†’ 𝑠 β‰  𝑧)

Proof of Theorem paddasslem5
StepHypRef Expression
1 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑧 β†’ (𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ↔ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))
21biimpac 478 . . . . . . . 8 ((𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 = 𝑧) β†’ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
3 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 paddasslem.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
5 simpll1 1211 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
65hllatd 38538 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7 simpll2 1212 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
8 paddasslem.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
93, 8atbase 38463 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simp32 1209 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
1211ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
133, 8atbase 38463 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 simp33 1210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
173, 8atbase 38463 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
19 paddasslem.j . . . . . . . . . . . 12 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
203, 19latjcl 18397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑦 ∨ 𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
216, 14, 18, 20syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ (𝑦 ∨ 𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 simp31 1208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
2322ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
243, 8atbase 38463 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
263, 19latjcl 18397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
276, 25, 14, 26syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
294, 19, 8hlatlej2 38550 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
305, 23, 12, 29syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
31 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
323, 4, 19latjle12 18408 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑦 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) ↔ (𝑦 ∨ 𝑧) ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))
3332biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑦 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ (𝑦 ∨ 𝑧) ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))
346, 14, 18, 27, 33syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ ((𝑦 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ (𝑦 ∨ 𝑧) ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))
3530, 31, 34mp2and 696 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ (𝑦 ∨ 𝑧) ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
363, 4, 6, 10, 21, 27, 28, 35lattrd 18404 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
3736ex 412 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) β†’ (𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) β†’ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))
382, 37syl5 34 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) β†’ ((𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 = 𝑧) β†’ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))
3938expdimp 452 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ (𝑠 = 𝑧 β†’ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))
4039necon3bd 2953 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) β†’ 𝑠 β‰  𝑧))
4140exp31 419 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) β†’ (𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) β†’ 𝑠 β‰  𝑧))))
4241com23 86 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) β†’ 𝑠 β‰  𝑧))))
4342com24 95 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) β†’ (𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) β†’ 𝑠 β‰  𝑧))))
44433imp2 1348 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) β†’ 𝑠 β‰  𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18269  Latclat 18389  Atomscatm 38437  HLchlt 38524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-poset 18271  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-lat 18390  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525
This theorem is referenced by:  paddasslem7  39001
  Copyright terms: Public domain W3C validator