Theorem copco 24181

Description: The composition of a concatenation of paths with a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
copco.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
copco	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹)(*𝑝‘𝐾)(𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem copco

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		iiuni 24044	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
3		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	2, 3	cnf 22397	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
6		elii1 24098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
7		iihalf1 24094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
8	6, 7	sylbir 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
9		fvco3 6867	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
10	5, 8, 9	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
11	10	anassrs 468	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
12		pcoval.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
13	2, 3	cnf 22397	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
15		elii2 24099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → 𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1))
16		iihalf2 24096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
18		fvco3 6867	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1)) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
19	14, 17, 18	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
20	19	anassrs 468	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
21	11, 20	ifeq12da 4492	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
22	21	mpteq2dva 5174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))))
23		copco.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
24		cnco 22417	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
25	1, 23, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
26		cnco 22417	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
27	12, 23, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
28	25, 27	pcoval 24174	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹)(*𝑝‘𝐾)(𝐻 ∘ 𝐺)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)))))
29	1, 12	pcoval 24174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
30		pcoval2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
31	1, 12, 30	pcocn 24180	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
32	29, 31	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽))
33	2, 3	cnf 22397	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
35		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
36	35	fmpt 6984	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) ∈ ∪ 𝐽 ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
37	34, 36	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) ∈ ∪ 𝐽)
38		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
39	3, 38	cnf 22397	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐻:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
40	23, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
41	40	feqmptd 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ↦ (𝐻‘𝑦)))
42		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
43		fvif 6790	. . . 4 ⊢ (𝐻‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
44	42, 43	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) → (𝐻‘𝑦) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
45	37, 29, 41, 44	fmptcof 7002	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))))
46	22, 28, 45	3eqtr4rd 2789	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹)(*𝑝‘𝐾)(𝐻 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ifcif 4459  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  [,]cicc 13082   Cn ccn 22375  IIcii 24038  *_𝑝cpco 24163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-ii 24040  df-pco 24168

This theorem is referenced by:  pi1coghm  24224  cvmlift3lem6  33286