MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  copco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem copco 24252
Description: The composition of a concatenation of paths with a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
copco.6 (𝜑𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
copco (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)) = ((𝐻𝐹)(*𝑝𝐾)(𝐻𝐺)))

Proof of Theorem copco
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 iiuni 24115 . . . . . . . 8 (0[,]1) = II
3 eqid 2737 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
42, 3cnf 22468 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
6 elii1 24169 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
7 iihalf1 24165 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
86, 7sylbir 234 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
9 fvco3 6904 . . . . . 6 ((𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1)) → ((𝐻𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
105, 8, 9syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → ((𝐻𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
1110anassrs 468 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐻𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
12 pcoval.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
132, 3cnf 22468 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶ 𝐽)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(0[,]1)⟶ 𝐽)
15 elii2 24170 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → 𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1))
16 iihalf2 24167 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
18 fvco3 6904 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟶ 𝐽 ∧ ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1)) → ((𝐻𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
1914, 17, 18syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → ((𝐻𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
2019anassrs 468 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐻𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
2111, 20ifeq12da 4502 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
2221mpteq2dva 5185 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))))
23 copco.6 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
24 cnco 22488 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐻𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
251, 23, 24syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
26 cnco 22488 . . . 4 ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐻𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
2712, 23, 26syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
2825, 27pcoval 24245 . 2 (𝜑 → ((𝐻𝐹)(*𝑝𝐾)(𝐻𝐺)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)))))
291, 12pcoval 24245 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
30 pcoval2.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
311, 12, 30pcocn 24251 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
3229, 31eqeltrrd 2839 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽))
332, 3cnf 22468 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶ 𝐽)
3432, 33syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶ 𝐽)
35 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
3635fmpt 7021 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) ∈ 𝐽 ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶ 𝐽)
3734, 36sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) ∈ 𝐽)
38 eqid 2737 . . . . . 6 𝐾 = 𝐾
393, 38cnf 22468 . . . . 5 (𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐻: 𝐽 𝐾)
4023, 39syl 17 . . . 4 (𝜑𝐻: 𝐽 𝐾)
4140feqmptd 6874 . . 3 (𝜑𝐻 = (𝑦 𝐽 ↦ (𝐻𝑦)))
42 fveq2 6809 . . . 4 (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
43 fvif 6825 . . . 4 (𝐻‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
4442, 43eqtrdi 2793 . . 3 (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) → (𝐻𝑦) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
4537, 29, 41, 44fmptcof 7039 . 2 (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))))
4622, 28, 453eqtr4rd 2788 1 (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)) = ((𝐻𝐹)(*𝑝𝐾)(𝐻𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3062  ifcif 4469   cuni 4848   class class class wbr 5085  cmpt 5168  ccom 5609  wf 6459  cfv 6463  (class class class)co 7313  0cc0 10941  1c1 10942   · cmul 10946  cle 11080  cmin 11275   / cdiv 11702  2c2 12098  [,]cicc 13152   Cn ccn 22446  IIcii 24109  *𝑝cpco 24234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019  ax-mulf 11021
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-iin 4938  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-se 5561  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-of 7571  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-supp 8023  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-2o 8343  df-er 8544  df-map 8663  df-ixp 8732  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-fsupp 9197  df-fi 9238  df-sup 9269  df-inf 9270  df-oi 9337  df-card 9765  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-z 12390  df-dec 12508  df-uz 12653  df-q 12759  df-rp 12801  df-xneg 12918  df-xadd 12919  df-xmul 12920  df-ioo 13153  df-icc 13156  df-fz 13310  df-fzo 13453  df-seq 13792  df-exp 13853  df-hash 14115  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881  df-sqrt 15015  df-abs 15016  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-starv 17044  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-ip 17047  df-tset 17048  df-ple 17049  df-ds 17051  df-unif 17052  df-hom 17053  df-cco 17054  df-rest 17200  df-topn 17201  df-0g 17219  df-gsum 17220  df-topgen 17221  df-pt 17222  df-prds 17225  df-xrs 17280  df-qtop 17285  df-imas 17286  df-xps 17288  df-mre 17362  df-mrc 17363  df-acs 17365  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-submnd 18498  df-mulg 18768  df-cntz 18990  df-cmn 19455  df-psmet 20660  df-xmet 20661  df-met 20662  df-bl 20663  df-mopn 20664  df-cnfld 20669  df-top 22114  df-topon 22131  df-topsp 22153  df-bases 22167  df-cld 22241  df-cn 22449  df-cnp 22450  df-tx 22784  df-hmeo 22977  df-xms 23544  df-ms 23545  df-tms 23546  df-ii 24111  df-pco 24239
This theorem is referenced by:  pi1coghm  24295  cvmlift3lem6  33392
  Copyright terms: Public domain W3C validator