Theorem copco 24087

Description: The composition of a concatenation of paths with a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
copco.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
copco	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹)(*𝑝‘𝐾)(𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem copco

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		iiuni 23950	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
3		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	2, 3	cnf 22305	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
6		elii1 24004	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
7		iihalf1 24000	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
8	6, 7	sylbir 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
9		fvco3 6849	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
10	5, 8, 9	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
11	10	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
12		pcoval.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
13	2, 3	cnf 22305	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
15		elii2 24005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → 𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1))
16		iihalf2 24002	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
18		fvco3 6849	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1)) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
19	14, 17, 18	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
20	19	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
21	11, 20	ifeq12da 4489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
22	21	mpteq2dva 5170	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))))
23		copco.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
24		cnco 22325	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
25	1, 23, 24	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
26		cnco 22325	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
27	12, 23, 26	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
28	25, 27	pcoval 24080	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹)(*𝑝‘𝐾)(𝐻 ∘ 𝐺)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)))))
29	1, 12	pcoval 24080	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
30		pcoval2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
31	1, 12, 30	pcocn 24086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
32	29, 31	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽))
33	2, 3	cnf 22305	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
35		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
36	35	fmpt 6966	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) ∈ ∪ 𝐽 ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
37	34, 36	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) ∈ ∪ 𝐽)
38		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
39	3, 38	cnf 22305	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐻:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
40	23, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
41	40	feqmptd 6819	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ↦ (𝐻‘𝑦)))
42		fveq2 6756	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
43		fvif 6772	. . . 4 ⊢ (𝐻‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
44	42, 43	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) → (𝐻‘𝑦) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
45	37, 29, 41, 44	fmptcof 6984	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))))
46	22, 28, 45	3eqtr4rd 2789	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹)(*𝑝‘𝐾)(𝐻 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ifcif 4456  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  [,]cicc 13011   Cn ccn 22283  IIcii 23944  *_𝑝cpco 24069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-ii 23946  df-pco 24074

This theorem is referenced by:  pi1coghm  24130  cvmlift3lem6  33186