Theorem copco 25319

Description: The composition of a concatenation of paths with a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
copco.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
copco	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹)(*𝑝‘𝐾)(𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem copco

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		iiuni 25182	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
3		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	2, 3	cnf 23544	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
5	1, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
6		elii1 25236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
7		iihalf1 25232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
8	6, 7	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
9		fvco3 6977	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
10	5, 8, 9	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
11	10	anassrs 473	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
12		pcoval.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
13	2, 3	cnf 23544	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
14	12, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
15		elii2 25237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → 𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1))
16		iihalf2 25234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
17	15, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
18		fvco3 6977	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1)) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
19	14, 17, 18	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
20	19	anassrs 473	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
21	11, 20	ifeq12da 4516	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
22	21	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))))
23		copco.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
24		cnco 23564	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
25	1, 23, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
26		cnco 23564	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
27	12, 23, 26	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
28	25, 27	pcoval 25312	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹)(*𝑝‘𝐾)(𝐻 ∘ 𝐺)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)))))
29	1, 12	pcoval 25312	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
30		pcoval2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
31	1, 12, 30	pcocn 25318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
32	29, 31	eqeltrrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽))
33	2, 3	cnf 23544	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
34	32, 33	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
35		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
36	35	fmpt 7102	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) ∈ ∪ 𝐽 ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
37	34, 36	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) ∈ ∪ 𝐽)
38		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
39	3, 38	cnf 23544	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐻:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
40	23, 39	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
41	40	feqmptd 6945	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ↦ (𝐻‘𝑦)))
42		fveq2 6877	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
43		fvif 6893	. . . 4 ⊢ (𝐻‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
44	42, 43	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) → (𝐻‘𝑦) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
45	37, 29, 41, 44	fmptcof 7123	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))))
46	22, 28, 45	3eqtr4rd 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹)(*𝑝‘𝐾)(𝐻 ∘ 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ifcif 4482  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   · cmul 11186   ≤ cle 11325   − cmin 11522   / cdiv 11954  2c2 12378  [,]cicc 13460   Cn ccn 23522  IIcii 25176  *_𝑝cpco 25301

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-ii 25178  df-pco 25306

This theorem is used by:  pi1coghm  25362  cvmlift3lem6  36058