Theorem copco 24534

Description: The composition of a concatenation of paths with a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
copco.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
copco	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹)(*𝑝‘𝐾)(𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem copco

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		iiuni 24397	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
3		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	2, 3	cnf 22750	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
6		elii1 24451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
7		iihalf1 24447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
8	6, 7	sylbir 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1))
9		fvco3 6991	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,]1)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
10	5, 8, 9	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
11	10	anassrs 469	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))))
12		pcoval.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
13	2, 3	cnf 22750	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
15		elii2 24452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → 𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1))
16		iihalf2 24449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
18		fvco3 6991	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:(0[,]1)⟶∪ 𝐽 ∧ ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1)) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
19	14, 17, 18	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
20	19	anassrs 469	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
21	11, 20	ifeq12da 4562	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
22	21	mpteq2dva 5249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))))
23		copco.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
24		cnco 22770	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
25	1, 23, 24	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝐾))
26		cnco 22770	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
27	12, 23, 26	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐾))
28	25, 27	pcoval 24527	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹)(*𝑝‘𝐾)(𝐻 ∘ 𝐺)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐻 ∘ 𝐹)‘(2 · 𝑥)), ((𝐻 ∘ 𝐺)‘((2 · 𝑥) − 1)))))
29	1, 12	pcoval 24527	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
30		pcoval2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
31	1, 12, 30	pcocn 24533	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
32	29, 31	eqeltrrd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽))
33	2, 3	cnf 22750	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
35		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
36	35	fmpt 7110	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) ∈ ∪ 𝐽 ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))):(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
37	34, 36	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) ∈ ∪ 𝐽)
38		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
39	3, 38	cnf 22750	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐻:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
40	23, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
41	40	feqmptd 6961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ↦ (𝐻‘𝑦)))
42		fveq2 6892	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) → (𝐻‘𝑦) = (𝐻‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
43		fvif 6908	. . . 4 ⊢ (𝐻‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
44	42, 43	eqtrdi 2789	. . 3 ⊢ (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) → (𝐻‘𝑦) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
45	37, 29, 41, 44	fmptcof 7128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(𝐹‘(2 · 𝑥))), (𝐻‘(𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))))
46	22, 28, 45	3eqtr4rd 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹)(*𝑝‘𝐾)(𝐻 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ifcif 4529  ∪ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5681  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   · cmul 11115   ≤ cle 11249   − cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  [,]cicc 13327   Cn ccn 22728  IIcii 24391  *_𝑝cpco 24516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-ii 24393  df-pco 24521

This theorem is referenced by:  pi1coghm  24577  cvmlift3lem6  34315