Theorem pcocn 24868

Description: The concatenation of two paths is a path. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))

Assertion

Ref	Expression
pcocn	⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))

Proof of Theorem pcocn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		pcoval.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3	1, 2	pcoval 24862	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
4		iitopon 24723	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
6	5	cnmptid 23489	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn II))
7		0elunit 13444	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
9	5, 5, 8	cnmptc 23490	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
10		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
11		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
12		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
13		dfii2 24726	. . . 4 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
14		0re 11214	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16		1re 11212	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18		halfre 12424	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
19		halfge0 12427	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
20		halflt1 12428	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) < 1
21	18, 16, 20	ltleii 11335	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
22		elicc01 13441	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
23	18, 19, 21, 22	mpbir3an 1338	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ (0[,]1)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
25		pcoval2.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
27		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 = (1 / 2))
28	27	oveq2d 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = (2 · (1 / 2)))
29		2cn 12285	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12314	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
31	29, 30	recidi 11943	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
32	28, 31	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = 1)
33	32	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘1))
34	32	oveq1d 7417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − 1))
35		1m1e0 12282	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
36	34, 35	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
37	36	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐺‘0))
38	26, 33, 37	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)))
39		retopon 24604	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
40		iccssre 13404	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
41	14, 18, 40	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
42		resttopon 22989	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
43	39, 41, 42	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
45	44, 5	cnmpt1st 23496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
46	11	iihalf1cn 24777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
47	46	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
48		oveq2 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
49	44, 5, 45, 44, 47, 48	cnmpt21 23499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
50	44, 5, 49, 1	cnmpt21f 23500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(2 · 𝑦))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn 𝐽))
51		iccssre 13404	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
52	18, 16, 51	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
53		resttopon 22989	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
54	39, 52, 53	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
55	54	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
56	55, 5	cnmpt1st 23496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
57	12	iihalf2cn 24780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
58	57	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
59	48	oveq1d 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
60	55, 5, 56, 55, 58, 59	cnmpt21 23499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
61	55, 5, 60, 2	cnmpt21f 23500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn 𝐽))
62	10, 11, 12, 13, 15, 17, 24, 5, 38, 50, 61	cnmpopc 24773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
63		breq1 5142	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
64		oveq2 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))
65	64	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(2 · 𝑥)))
66	64	oveq1d 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑥) − 1))
67	66	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
68	63, 65, 67	ifbieq12d 4549	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
69	68	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
70	5, 6, 9, 5, 5, 62, 69	cnmpt12 23495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽))
71	3, 70	eqeltrd 2825	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941  ifcif 4521   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  ran crn 5668  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112   ≤ cle 11247   − cmin 11442   / cdiv 11869  2c2 12265  (,)cioo 13322  [,]cicc 13325   ↾_t crest 17367  topGenctg 17384  TopOnctopon 22736   Cn ccn 23052  IIcii 24719  *_𝑝cpco 24851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cld 22847  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-ii 24721  df-pco 24856

This theorem is referenced by:  copco  24869  pcohtpylem  24870  pcohtpy  24871  pcoass  24875  pcorevlem  24877  om1addcl  24884  pi1xfrf  24904  pi1xfr  24906  pi1xfrcnvlem  24907  pi1coghm  24912  connpconn  34717  sconnpht2  34720  cvmlift3lem6  34806