MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcocn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcocn 23539
Description: The concatenation of two paths is a path. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
Assertion
Ref Expression
pcocn (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))

Proof of Theorem pcocn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 pcoval.3 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
31, 2pcoval 23533 . 2 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
4 iitopon 23405 . . . 4 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
65cnmptid 22188 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn II))
7 0elunit 12845 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
95, 5, 8cnmptc 22189 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
10 eqid 2826 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
11 eqid 2826 . . . 4 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
12 eqid 2826 . . . 4 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
13 dfii2 23408 . . . 4 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
14 0re 10632 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16 1re 10630 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18 halfre 11840 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
19 halfge0 11843 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 2)
20 halflt1 11844 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
2118, 16, 20ltleii 10752 . . . . . 6 (1 / 2) ≤ 1
22 elicc01 12844 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
2318, 19, 21, 22mpbir3an 1335 . . . . 5 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
25 pcoval2.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
2625adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
27 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 = (1 / 2))
2827oveq2d 7164 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = (2 · (1 / 2)))
29 2cn 11701 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
30 2ne0 11730 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
3129, 30recidi 11360 . . . . . . 7 (2 · (1 / 2)) = 1
3228, 31syl6eq 2877 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = 1)
3332fveq2d 6671 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘1))
3432oveq1d 7163 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − 1))
35 1m1e0 11698 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
3634, 35syl6eq 2877 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
3736fveq2d 6671 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐺‘0))
3826, 33, 373eqtr4d 2871 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)))
39 retopon 23290 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
40 iccssre 12808 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
4114, 18, 40mp2an 688 . . . . . . 7 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
42 resttopon 21688 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
4339, 41, 42mp2an 688 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
4443a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
4544, 5cnmpt1st 22195 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
4611iihalf1cn 23454 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
4746a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
48 oveq2 7156 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
4944, 5, 45, 44, 47, 48cnmpt21 22198 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
5044, 5, 49, 1cnmpt21f 22199 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(2 · 𝑦))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn 𝐽))
51 iccssre 12808 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
5218, 16, 51mp2an 688 . . . . . . 7 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
53 resttopon 21688 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
5439, 52, 53mp2an 688 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
5554a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
5655, 5cnmpt1st 22195 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
5712iihalf2cn 23456 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
5948oveq1d 7163 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
6055, 5, 56, 55, 58, 59cnmpt21 22198 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
6155, 5, 60, 2cnmpt21f 22199 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn 𝐽))
6210, 11, 12, 13, 15, 17, 24, 5, 38, 50, 61cnmpopc 23450 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
63 breq1 5066 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
64 oveq2 7156 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))
6564fveq2d 6671 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(2 · 𝑥)))
6664oveq1d 7163 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑥) − 1))
6766fveq2d 6671 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
6863, 65, 67ifbieq12d 4497 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
6968adantr 481 . . 3 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
705, 6, 9, 5, 5, 62, 69cnmpt12 22194 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽))
713, 70eqeltrd 2918 1 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3940  ifcif 4470   class class class wbr 5063  cmpt 5143  ran crn 5555  cfv 6352  (class class class)co 7148  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11681  (,)cioo 12728  [,]cicc 12731  t crest 16684  topGenctg 16701  TopOnctopon 21437   Cn ccn 21751  IIcii 23401  *𝑝cpco 23522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-cnfld 20465  df-top 21421  df-topon 21438  df-topsp 21460  df-bases 21473  df-cld 21546  df-cn 21754  df-cnp 21755  df-tx 22089  df-hmeo 22282  df-xms 22848  df-ms 22849  df-tms 22850  df-ii 23403  df-pco 23527
This theorem is referenced by:  copco  23540  pcohtpylem  23541  pcohtpy  23542  pcoass  23546  pcorevlem  23548  om1addcl  23555  pi1xfrf  23575  pi1xfr  23577  pi1xfrcnvlem  23578  pi1coghm  23583  connpconn  32369  sconnpht2  32372  cvmlift3lem6  32458
  Copyright terms: Public domain W3C validator