MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcocn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcocn 24888
Description: The concatenation of two paths is a path. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜0))
Assertion
Ref Expression
pcocn (πœ‘ β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))

Proof of Theorem pcocn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 pcoval.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
31, 2pcoval 24882 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΊβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))))
4 iitopon 24743 . . . 4 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
54a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
65cnmptid 23509 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ (II Cn II))
7 0elunit 13447 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
87a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0[,]1))
95, 5, 8cnmptc 23510 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
10 eqid 2724 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
11 eqid 2724 . . . 4 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2)))
12 eqid 2724 . . . 4 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1))
13 dfii2 24746 . . . 4 II = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
14 0re 11215 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
16 1re 11213 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
18 halfre 12425 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
19 halfge0 12428 . . . . . 6 0 ≀ (1 / 2)
20 halflt1 12429 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
2118, 16, 20ltleii 11336 . . . . . 6 (1 / 2) ≀ 1
22 elicc01 13444 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≀ 1))
2318, 19, 21, 22mpbir3an 1338 . . . . 5 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
2423a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ (0[,]1))
25 pcoval2.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜0))
2625adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜0))
27 simprl 768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ 𝑦 = (1 / 2))
2827oveq2d 7418 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· (1 / 2)))
29 2cn 12286 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
30 2ne0 12315 . . . . . . . 8 2 β‰  0
3129, 30recidi 11944 . . . . . . 7 (2 Β· (1 / 2)) = 1
3228, 31eqtrdi 2780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· 𝑦) = 1)
3332fveq2d 6886 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜(2 Β· 𝑦)) = (πΉβ€˜1))
3432oveq1d 7417 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
35 1m1e0 12283 . . . . . . 7 (1 βˆ’ 1) = 0
3634, 35eqtrdi 2780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1) = 0)
3736fveq2d 6886 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΊβ€˜((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)) = (πΊβ€˜0))
3826, 33, 373eqtr4d 2774 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜(2 Β· 𝑦)) = (πΊβ€˜((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)))
39 retopon 24624 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
40 iccssre 13407 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ)
4114, 18, 40mp2an 689 . . . . . . 7 (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ
42 resttopon 23009 . . . . . . 7 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
4339, 41, 42mp2an 689 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2)))
4443a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
4544, 5cnmpt1st 23516 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2)))))
4611iihalf1cn 24797 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 Β· π‘₯)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Cn II)
4746a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 Β· π‘₯)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Cn II))
48 oveq2 7410 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝑦))
4944, 5, 45, 44, 47, 48cnmpt21 23519 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (2 Β· 𝑦)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn II))
5044, 5, 49, 1cnmpt21f 23520 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜(2 Β· 𝑦))) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn 𝐽))
51 iccssre 13407 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ)
5218, 16, 51mp2an 689 . . . . . . 7 ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ
53 resttopon 23009 . . . . . . 7 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
5439, 52, 53mp2an 689 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1))
5554a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
5655, 5cnmpt1st 23516 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1))))
5712iihalf2cn 24800 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
5857a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
5948oveq1d 7417 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))
6055, 5, 56, 55, 58, 59cnmpt21 23519 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn II))
6155, 5, 60, 2cnmpt21f 23520 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (πΊβ€˜((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn 𝐽))
6210, 11, 12, 13, 15, 17, 24, 5, 38, 50, 61cnmpopc 24793 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· 𝑦)), (πΊβ€˜((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)))) ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
63 breq1 5142 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ (1 / 2) ↔ π‘₯ ≀ (1 / 2)))
64 oveq2 7410 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· π‘₯))
6564fveq2d 6886 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜(2 Β· 𝑦)) = (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)))
6664oveq1d 7417 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1) = ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))
6766fveq2d 6886 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)) = (πΊβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))
6863, 65, 67ifbieq12d 4549 . . . 4 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· 𝑦)), (πΊβ€˜((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΊβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
6968adantr 480 . . 3 ((𝑦 = π‘₯ ∧ 𝑧 = 0) β†’ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· 𝑦)), (πΊβ€˜((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΊβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
705, 6, 9, 5, 5, 62, 69cnmpt12 23515 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΊβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))) ∈ (II Cn 𝐽))
713, 70eqeltrd 2825 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  ifcif 4521   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  ran crn 5668  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   Β· cmul 11112   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  (,)cioo 13325  [,]cicc 13328   β†Ύt crest 17371  topGenctg 17388  TopOnctopon 22756   Cn ccn 23072  IIcii 24739  *𝑝cpco 24871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-ii 24741  df-pco 24876
This theorem is referenced by:  copco  24889  pcohtpylem  24890  pcohtpy  24891  pcoass  24895  pcorevlem  24897  om1addcl  24904  pi1xfrf  24924  pi1xfr  24926  pi1xfrcnvlem  24927  pi1coghm  24932  connpconn  34743  sconnpht2  34746  cvmlift3lem6  34832
  Copyright terms: Public domain W3C validator