MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcocn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcocn 24868
Description: The concatenation of two paths is a path. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
Assertion
Ref Expression
pcocn (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))

Proof of Theorem pcocn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 pcoval.3 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
31, 2pcoval 24862 . 2 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
4 iitopon 24723 . . . 4 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
65cnmptid 23489 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn II))
7 0elunit 13444 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
95, 5, 8cnmptc 23490 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
10 eqid 2724 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
11 eqid 2724 . . . 4 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
12 eqid 2724 . . . 4 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
13 dfii2 24726 . . . 4 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
14 0re 11214 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16 1re 11212 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18 halfre 12424 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
19 halfge0 12427 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 2)
20 halflt1 12428 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
2118, 16, 20ltleii 11335 . . . . . 6 (1 / 2) ≤ 1
22 elicc01 13441 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
2318, 19, 21, 22mpbir3an 1338 . . . . 5 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
25 pcoval2.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
2625adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
27 simprl 768 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 = (1 / 2))
2827oveq2d 7418 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = (2 · (1 / 2)))
29 2cn 12285 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
30 2ne0 12314 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
3129, 30recidi 11943 . . . . . . 7 (2 · (1 / 2)) = 1
3228, 31eqtrdi 2780 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = 1)
3332fveq2d 6886 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘1))
3432oveq1d 7417 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − 1))
35 1m1e0 12282 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
3634, 35eqtrdi 2780 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
3736fveq2d 6886 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐺‘0))
3826, 33, 373eqtr4d 2774 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)))
39 retopon 24604 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
40 iccssre 13404 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
4114, 18, 40mp2an 689 . . . . . . 7 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
42 resttopon 22989 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
4339, 41, 42mp2an 689 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
4443a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
4544, 5cnmpt1st 23496 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
4611iihalf1cn 24777 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
4746a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
48 oveq2 7410 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
4944, 5, 45, 44, 47, 48cnmpt21 23499 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
5044, 5, 49, 1cnmpt21f 23500 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(2 · 𝑦))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn 𝐽))
51 iccssre 13404 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
5218, 16, 51mp2an 689 . . . . . . 7 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
53 resttopon 22989 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
5439, 52, 53mp2an 689 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
5554a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
5655, 5cnmpt1st 23496 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
5712iihalf2cn 24780 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
5948oveq1d 7417 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
6055, 5, 56, 55, 58, 59cnmpt21 23499 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
6155, 5, 60, 2cnmpt21f 23500 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn 𝐽))
6210, 11, 12, 13, 15, 17, 24, 5, 38, 50, 61cnmpopc 24773 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
63 breq1 5142 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
64 oveq2 7410 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))
6564fveq2d 6886 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(2 · 𝑥)))
6664oveq1d 7417 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑥) − 1))
6766fveq2d 6886 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
6863, 65, 67ifbieq12d 4549 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
6968adantr 480 . . 3 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
705, 6, 9, 5, 5, 62, 69cnmpt12 23495 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽))
713, 70eqeltrd 2825 1 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3941  ifcif 4521   class class class wbr 5139  cmpt 5222  ran crn 5668  cfv 6534  (class class class)co 7402  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112  cle 11247  cmin 11442   / cdiv 11869  2c2 12265  (,)cioo 13322  [,]cicc 13325  t crest 17367  topGenctg 17384  TopOnctopon 22736   Cn ccn 23052  IIcii 24719  *𝑝cpco 24851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cld 22847  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-ii 24721  df-pco 24856
This theorem is referenced by:  copco  24869  pcohtpylem  24870  pcohtpy  24871  pcoass  24875  pcorevlem  24877  om1addcl  24884  pi1xfrf  24904  pi1xfr  24906  pi1xfrcnvlem  24907  pi1coghm  24912  connpconn  34717  sconnpht2  34720  cvmlift3lem6  34806
  Copyright terms: Public domain W3C validator