Theorem pcocn 24086

Description: The concatenation of two paths is a path. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))

Assertion

Ref	Expression
pcocn	⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))

Proof of Theorem pcocn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		pcoval.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3	1, 2	pcoval 24080	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
4		iitopon 23948	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
6	5	cnmptid 22720	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn II))
7		0elunit 13130	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
9	5, 5, 8	cnmptc 22721	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
13		dfii2 23951	. . . 4 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
14		0re 10908	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16		1re 10906	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18		halfre 12117	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
19		halfge0 12120	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
20		halflt1 12121	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) < 1
21	18, 16, 20	ltleii 11028	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
22		elicc01 13127	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
23	18, 19, 21, 22	mpbir3an 1339	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ (0[,]1)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
25		pcoval2.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
27		simprl 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 = (1 / 2))
28	27	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = (2 · (1 / 2)))
29		2cn 11978	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12007	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
31	29, 30	recidi 11636	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
32	28, 31	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = 1)
33	32	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘1))
34	32	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − 1))
35		1m1e0 11975	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
36	34, 35	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
37	36	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐺‘0))
38	26, 33, 37	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)))
39		retopon 23833	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
40		iccssre 13090	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
41	14, 18, 40	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
42		resttopon 22220	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
43	39, 41, 42	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
45	44, 5	cnmpt1st 22727	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
46	11	iihalf1cn 24001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
47	46	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
48		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
49	44, 5, 45, 44, 47, 48	cnmpt21 22730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
50	44, 5, 49, 1	cnmpt21f 22731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(2 · 𝑦))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn 𝐽))
51		iccssre 13090	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
52	18, 16, 51	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
53		resttopon 22220	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
54	39, 52, 53	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
55	54	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
56	55, 5	cnmpt1st 22727	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
57	12	iihalf2cn 24003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
58	57	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
59	48	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
60	55, 5, 56, 55, 58, 59	cnmpt21 22730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
61	55, 5, 60, 2	cnmpt21f 22731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn 𝐽))
62	10, 11, 12, 13, 15, 17, 24, 5, 38, 50, 61	cnmpopc 23997	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
63		breq1 5073	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
64		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))
65	64	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(2 · 𝑥)))
66	64	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑥) − 1))
67	66	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
68	63, 65, 67	ifbieq12d 4484	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
69	68	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
70	5, 6, 9, 5, 5, 62, 69	cnmpt12 22726	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽))
71	3, 70	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  (,)cioo 13008  [,]cicc 13011   ↾_t crest 17048  topGenctg 17065  TopOnctopon 21967   Cn ccn 22283  IIcii 23944  *_𝑝cpco 24069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-ii 23946  df-pco 24074

This theorem is referenced by:  copco  24087  pcohtpylem  24088  pcohtpy  24089  pcoass  24093  pcorevlem  24095  om1addcl  24102  pi1xfrf  24122  pi1xfr  24124  pi1xfrcnvlem  24125  pi1coghm  24130  connpconn  33097  sconnpht2  33100  cvmlift3lem6  33186