MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcocn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcocn 24943
Description: The concatenation of two paths is a path. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜0))
Assertion
Ref Expression
pcocn (πœ‘ β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))

Proof of Theorem pcocn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 pcoval.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
31, 2pcoval 24937 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΊβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))))
4 iitopon 24798 . . . 4 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
54a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
65cnmptid 23564 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ (II Cn II))
7 0elunit 13478 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
87a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0[,]1))
95, 5, 8cnmptc 23565 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
10 eqid 2728 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
11 eqid 2728 . . . 4 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2)))
12 eqid 2728 . . . 4 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1))
13 dfii2 24801 . . . 4 II = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,]1))
14 0re 11246 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
16 1re 11244 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
18 halfre 12456 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
19 halfge0 12459 . . . . . 6 0 ≀ (1 / 2)
20 halflt1 12460 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
2118, 16, 20ltleii 11367 . . . . . 6 (1 / 2) ≀ 1
22 elicc01 13475 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≀ 1))
2318, 19, 21, 22mpbir3an 1339 . . . . 5 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
2423a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ (0[,]1))
25 pcoval2.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜0))
2625adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜1) = (πΊβ€˜0))
27 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ 𝑦 = (1 / 2))
2827oveq2d 7436 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· (1 / 2)))
29 2cn 12317 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
30 2ne0 12346 . . . . . . . 8 2 β‰  0
3129, 30recidi 11975 . . . . . . 7 (2 Β· (1 / 2)) = 1
3228, 31eqtrdi 2784 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (2 Β· 𝑦) = 1)
3332fveq2d 6901 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜(2 Β· 𝑦)) = (πΉβ€˜1))
3432oveq1d 7435 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1) = (1 βˆ’ 1))
35 1m1e0 12314 . . . . . . 7 (1 βˆ’ 1) = 0
3634, 35eqtrdi 2784 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1) = 0)
3736fveq2d 6901 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΊβ€˜((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)) = (πΊβ€˜0))
3826, 33, 373eqtr4d 2778 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜(2 Β· 𝑦)) = (πΊβ€˜((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)))
39 retopon 24679 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
40 iccssre 13438 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ)
4114, 18, 40mp2an 691 . . . . . . 7 (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ
42 resttopon 23064 . . . . . . 7 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (0[,](1 / 2)) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
4339, 41, 42mp2an 691 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2)))
4443a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOnβ€˜(0[,](1 / 2))))
4544, 5cnmpt1st 23571 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2)))))
4611iihalf1cn 24852 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 Β· π‘₯)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Cn II)
4746a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 Β· π‘₯)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Cn II))
48 oveq2 7428 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝑦))
4944, 5, 45, 44, 47, 48cnmpt21 23574 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (2 Β· 𝑦)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn II))
5044, 5, 49, 1cnmpt21f 23575 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜(2 Β· 𝑦))) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,](1 / 2))) Γ—t II) Cn 𝐽))
51 iccssre 13438 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ)
5218, 16, 51mp2an 691 . . . . . . 7 ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ
53 resttopon 23064 . . . . . . 7 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ ((1 / 2)[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
5439, 52, 53mp2an 691 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1))
5554a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOnβ€˜((1 / 2)[,]1)))
5655, 5cnmpt1st 23571 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1))))
5712iihalf2cn 24855 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
5857a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
5948oveq1d 7435 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))
6055, 5, 56, 55, 58, 59cnmpt21 23574 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn II))
6155, 5, 60, 2cnmpt21f 23575 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (πΊβ€˜((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))) ∈ ((((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt ((1 / 2)[,]1)) Γ—t II) Cn 𝐽))
6210, 11, 12, 13, 15, 17, 24, 5, 38, 50, 61cnmpopc 24848 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· 𝑦)), (πΊβ€˜((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)))) ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
63 breq1 5151 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ (1 / 2) ↔ π‘₯ ≀ (1 / 2)))
64 oveq2 7428 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· π‘₯))
6564fveq2d 6901 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜(2 Β· 𝑦)) = (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)))
6664oveq1d 7435 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1) = ((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))
6766fveq2d 6901 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1)) = (πΊβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))
6863, 65, 67ifbieq12d 4557 . . . 4 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· 𝑦)), (πΊβ€˜((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΊβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
6968adantr 480 . . 3 ((𝑦 = π‘₯ ∧ 𝑧 = 0) β†’ if(𝑦 ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· 𝑦)), (πΊβ€˜((2 Β· 𝑦) βˆ’ 1))) = if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΊβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1))))
705, 6, 9, 5, 5, 62, 69cnmpt12 23570 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ ≀ (1 / 2), (πΉβ€˜(2 Β· π‘₯)), (πΊβ€˜((2 Β· π‘₯) βˆ’ 1)))) ∈ (II Cn 𝐽))
713, 70eqeltrd 2829 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(*π‘β€˜π½)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  ifcif 4529   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5679  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  2c2 12297  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359   β†Ύt crest 17401  topGenctg 17418  TopOnctopon 22811   Cn ccn 23127  IIcii 24794  *𝑝cpco 24926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-ii 24796  df-pco 24931
This theorem is referenced by:  copco  24944  pcohtpylem  24945  pcohtpy  24946  pcoass  24950  pcorevlem  24952  om1addcl  24959  pi1xfrf  24979  pi1xfr  24981  pi1xfrcnvlem  24982  pi1coghm  24987  connpconn  34845  sconnpht2  34848  cvmlift3lem6  34934
  Copyright terms: Public domain W3C validator