Theorem pcocn 24924

Description: The concatenation of two paths is a path. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))

Assertion

Ref	Expression
pcocn	⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))

Proof of Theorem pcocn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		pcoval.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3	1, 2	pcoval 24918	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
4		iitopon 24779	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
6	5	cnmptid 23555	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn II))
7		0elunit 13437	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
9	5, 5, 8	cnmptc 23556	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
10		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
11		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
12		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
13		dfii2 24782	. . . 4 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
14		0re 11183	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16		1re 11181	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18		halfre 12402	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
19		halfge0 12405	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
20		halflt1 12406	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) < 1
21	18, 16, 20	ltleii 11304	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
22		elicc01 13434	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
23	18, 19, 21, 22	mpbir3an 1342	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ (0[,]1)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
25		pcoval2.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
27		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 = (1 / 2))
28	27	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = (2 · (1 / 2)))
29		2cn 12268	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12297	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
31	29, 30	recidi 11920	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
32	28, 31	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = 1)
33	32	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘1))
34	32	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − 1))
35		1m1e0 12265	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
36	34, 35	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
37	36	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐺‘0))
38	26, 33, 37	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)))
39		retopon 24658	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
40		iccssre 13397	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
41	14, 18, 40	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
42		resttopon 23055	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
43	39, 41, 42	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
45	44, 5	cnmpt1st 23562	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
46	11	iihalf1cn 24833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
47	46	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
48		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
49	44, 5, 45, 44, 47, 48	cnmpt21 23565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
50	44, 5, 49, 1	cnmpt21f 23566	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(2 · 𝑦))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn 𝐽))
51		iccssre 13397	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
52	18, 16, 51	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
53		resttopon 23055	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
54	39, 52, 53	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
55	54	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
56	55, 5	cnmpt1st 23562	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
57	12	iihalf2cn 24836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
58	57	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
59	48	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
60	55, 5, 56, 55, 58, 59	cnmpt21 23565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
61	55, 5, 60, 2	cnmpt21f 23566	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn 𝐽))
62	10, 11, 12, 13, 15, 17, 24, 5, 38, 50, 61	cnmpopc 24829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
63		breq1 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑥 ≤ (1 / 2)))
64		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))
65	64	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(2 · 𝑥)))
66	64	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((2 · 𝑦) − 1) = ((2 · 𝑥) − 1))
67	66	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
68	63, 65, 67	ifbieq12d 4520	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
69	68	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑦)), (𝐺‘((2 · 𝑦) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
70	5, 6, 9, 5, 5, 62, 69	cnmpt12 23561	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ (II Cn 𝐽))
71	3, 70	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ran crn 5642  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  (,)cioo 13313  [,]cicc 13316   ↾_t crest 17390  topGenctg 17407  TopOnctopon 22804   Cn ccn 23118  IIcii 24775  *_𝑝cpco 24907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-ii 24777  df-pco 24912

This theorem is referenced by:  copco  24925  pcohtpylem  24926  pcohtpy  24927  pcoass  24931  pcorevlem  24933  om1addcl  24940  pi1xfrf  24960  pi1xfr  24962  pi1xfrcnvlem  24963  pi1coghm  24968  connpconn  35229  sconnpht2  35232  cvmlift3lem6  35318