Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccnelico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccnelico 40657
Description: An element of a closed interval that is not a member of the left-closed right-open interval, must be the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccnelico.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliccnelico.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliccnelico.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
eliccnelico.nel (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
eliccnelico (𝜑𝐶 = 𝐵)

Proof of Theorem eliccnelico
StepHypRef Expression
1 eliccnelico.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2 eliccxr 12572 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
4 eliccnelico.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 eliccnelico.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
6 iccleub 12541 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
75, 4, 1, 6syl3anc 1439 . 2 (𝜑𝐶𝐵)
85adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
94adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
103adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
11 iccgelb 12542 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
125, 4, 1, 11syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
1312adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
14 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → ¬ 𝐵𝐶)
15 xrltnle 10444 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐶))
163, 4, 15syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐶))
1716adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐶))
1814, 17mpbird 249 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
198, 9, 10, 13, 18elicod 12536 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
20 eliccnelico.nel . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
2120adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
2219, 21condan 808 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
233, 4, 7, 22xrletrid 12298 1 (𝜑𝐶 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412  [,)cico 12489  [,]cicc 12490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-ico 12493  df-icc 12494
This theorem is referenced by:  sge0f1o  41516
  Copyright terms: Public domain W3C validator