Theorem eliccnelico 46273

Description: An element of a closed interval that is not a member of the left-closed right-open interval, must be the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccnelico.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliccnelico.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliccnelico.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
eliccnelico.nel	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
eliccnelico	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Proof of Theorem eliccnelico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccnelico.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2		eliccxr 13468	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		eliccnelico.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		eliccnelico.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		iccleub 13434	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
7	5, 4, 1, 6	syl3anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
8	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
9	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		iccgelb 13435	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
12	5, 4, 1, 11	syl3anc 1397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
14		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐵 ≤ 𝐶)
15		xrltnle 11282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶))
16	3, 4, 15	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶))
17	16	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶))
18	14, 17	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
19	8, 9, 10, 13, 18	elicod 13428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
20		eliccnelico.nel	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
21	20	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
22	19, 21	condan 829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
23	3, 4, 7, 22	xrletrid 13186	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249   ≤ cle 11250  [,)cico 13380  [,]cicc 13381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-ico 13384  df-icc 13385

This theorem is used by:  sge0f1o  47124