Theorem eliccnelico 46463

Description: An element of a closed interval that is not a member of the left-closed right-open interval, must be the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccnelico.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliccnelico.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliccnelico.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
eliccnelico.nel	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
eliccnelico	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Proof of Theorem eliccnelico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccnelico.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2		eliccxr 13535	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		eliccnelico.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		eliccnelico.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		iccleub 13501	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
7	5, 4, 1, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
8	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
9	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		iccgelb 13502	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
12	5, 4, 1, 11	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐵 ≤ 𝐶)
15		xrltnle 11347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶))
16	3, 4, 15	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶))
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶))
18	14, 17	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
19	8, 9, 10, 13, 18	elicod 13495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
20		eliccnelico.nel	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
22	19, 21	condan 830	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
23	3, 4, 7, 22	xrletrid 13253	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  ℝ^*cxr 11313   < clt 11314   ≤ cle 11315  [,)cico 13447  [,]cicc 13448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-ico 13451  df-icc 13452

This theorem is used by:  sge0f1o  47314