Theorem eliccnelico 46197

Description: An element of a closed interval that is not a member of the left-closed right-open interval, must be the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccnelico.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliccnelico.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliccnelico.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
eliccnelico.nel	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
eliccnelico	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Proof of Theorem eliccnelico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccnelico.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2		eliccxr 13465	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		eliccnelico.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		eliccnelico.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		iccleub 13431	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
7	5, 4, 1, 6	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
8	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
9	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		iccgelb 13432	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
12	5, 4, 1, 11	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
14		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐵 ≤ 𝐶)
15		xrltnle 11279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶))
16	3, 4, 15	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶))
17	16	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶))
18	14, 17	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
19	8, 9, 10, 13, 18	elicod 13425	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
20		eliccnelico.nel	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
21	20	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
22	19, 21	condan 829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
23	3, 4, 7, 22	xrletrid 13183	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   class class class wbr 5114  (class class class)co 7414  ℝ^*cxr 11245   < clt 11246   ≤ cle 11247  [,)cico 13377  [,]cicc 13378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-po 5573  df-so 5574  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-ico 13381  df-icc 13382

This theorem is referenced by:  sge0f1o  47048