Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccnelico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccnelico 44827
Description: An element of a closed interval that is not a member of the left-closed right-open interval, must be the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccnelico.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliccnelico.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliccnelico.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
eliccnelico.nel (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
eliccnelico (𝜑𝐶 = 𝐵)

Proof of Theorem eliccnelico
StepHypRef Expression
1 eliccnelico.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2 eliccxr 13430 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
4 eliccnelico.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 eliccnelico.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
6 iccleub 13397 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
75, 4, 1, 6syl3anc 1369 . 2 (𝜑𝐶𝐵)
85adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
94adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
103adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
11 iccgelb 13398 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
125, 4, 1, 11syl3anc 1369 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
14 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → ¬ 𝐵𝐶)
15 xrltnle 11297 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐶))
163, 4, 15syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐶))
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐶))
1814, 17mpbird 257 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
198, 9, 10, 13, 18elicod 13392 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
20 eliccnelico.nel . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
2120adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
2219, 21condan 817 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
233, 4, 7, 22xrletrid 13152 1 (𝜑𝐶 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  *cxr 11263   < clt 11264  cle 11265  [,)cico 13344  [,]cicc 13345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-ico 13348  df-icc 13349
This theorem is referenced by:  sge0f1o  45683
  Copyright terms: Public domain W3C validator