MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubicc2 13505
Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ubicc2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem ubicc2
StepHypRef Expression
1 simp2 1138 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 simp3 1139 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
3 xrleid 13193 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
433ad2ant2 1135 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
5 elicc1 13431 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
653adant3 1133 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
71, 2, 4, 6mpbir3and 1343 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1087  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  *cxr 11294  cle 11296  [,]cicc 13390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-icc 13394
This theorem is referenced by:  xnn0xrge0  13546  iccpnfcnv  24975  oprpiece1res2  24983  ivthlem2  25487  ivth2  25490  ivthle  25491  ivthle2  25492  dyadmaxlem  25632  cmvth  26029  cmvthOLD  26030  mvth  26031  dvlip  26032  c1liplem1  26035  dvgt0lem1  26041  lhop1lem  26052  dvcnvrelem1  26056  dvcvx  26059  dvfsumle  26060  dvfsumleOLD  26061  dvfsumge  26062  dvfsumabs  26063  dvfsumlem2  26067  dvfsumlem2OLD  26068  ftc2  26085  ftc2ditglem  26086  itgparts  26088  itgsubstlem  26089  itgpowd  26091  efcvx  26493  pige3ALT  26562  cos0pilt1  26574  logccv  26705  loglesqrt  26804  pntlem3  27653  eliccioo  32913  xrge0iifcnv  33932  lmxrge0  33951  esumpinfval  34074  hashf2  34085  esumcvg  34087  ftc2re  34613  cvmliftlem7  35296  cvmliftlem10  35299  ivthALT  36336  ftc2nc  37709  areacirc  37720  iccintsng  45536  pnfel0pnf  45541  limcicciooub  45652  icccncfext  45902  dvbdfbdioolem1  45943  itgsin0pilem1  45965  itgcoscmulx  45984  itgsincmulx  45989  itgsubsticc  45991  fourierdlem20  46142  fourierdlem54  46175  fourierdlem64  46185  fourierdlem81  46202  fourierdlem102  46223  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem114  46235  etransclem46  46295
  Copyright terms: Public domain W3C validator