MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubicc2 13490
Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ubicc2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem ubicc2
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 simp3 1135 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
3 xrleid 13178 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
433ad2ant2 1131 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
5 elicc1 13416 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
653adant3 1129 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
71, 2, 4, 6mpbir3and 1339 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084  wcel 2099   class class class wbr 5145  (class class class)co 7416  *cxr 11288  cle 11290  [,]cicc 13375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-icc 13379
This theorem is referenced by:  xnn0xrge0  13531  iccpnfcnv  24957  oprpiece1res2  24965  ivthlem2  25469  ivth2  25472  ivthle  25473  ivthle2  25474  dyadmaxlem  25614  cmvth  26011  cmvthOLD  26012  mvth  26013  dvlip  26014  c1liplem1  26017  dvgt0lem1  26023  lhop1lem  26034  dvcnvrelem1  26038  dvcvx  26041  dvfsumle  26042  dvfsumleOLD  26043  dvfsumge  26044  dvfsumabs  26045  dvfsumlem2  26049  dvfsumlem2OLD  26050  ftc2  26067  ftc2ditglem  26068  itgparts  26070  itgsubstlem  26071  itgpowd  26073  efcvx  26476  pige3ALT  26544  cos0pilt1  26556  logccv  26687  loglesqrt  26786  pntlem3  27635  eliccioo  32795  xrge0iifcnv  33761  lmxrge0  33780  esumpinfval  33919  hashf2  33930  esumcvg  33932  ftc2re  34457  cvmliftlem7  35132  cvmliftlem10  35135  ivthALT  36060  ftc2nc  37416  areacirc  37427  iccintsng  45177  pnfel0pnf  45182  limcicciooub  45294  icccncfext  45544  dvbdfbdioolem1  45585  itgsin0pilem1  45607  itgcoscmulx  45626  itgsincmulx  45631  itgsubsticc  45633  fourierdlem20  45784  fourierdlem54  45817  fourierdlem64  45827  fourierdlem81  45844  fourierdlem102  45865  fourierdlem103  45866  fourierdlem104  45867  fourierdlem114  45877  etransclem46  45937
  Copyright terms: Public domain W3C validator