MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubicc2 13446
Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ubicc2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem ubicc2
StepHypRef Expression
1 simp2 1135 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 simp3 1136 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
3 xrleid 13134 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
433ad2ant2 1132 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
5 elicc1 13372 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
653adant3 1130 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
71, 2, 4, 6mpbir3and 1340 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1085  wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  *cxr 11251  cle 11253  [,]cicc 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-icc 13335
This theorem is referenced by:  xnn0xrge0  13487  iccpnfcnv  24689  oprpiece1res2  24697  ivthlem2  25201  ivth2  25204  ivthle  25205  ivthle2  25206  dyadmaxlem  25346  cmvth  25743  mvth  25744  dvlip  25745  c1liplem1  25748  dvgt0lem1  25754  lhop1lem  25765  dvcnvrelem1  25769  dvcvx  25772  dvfsumle  25773  dvfsumge  25774  dvfsumabs  25775  dvfsumlem2  25779  ftc2  25796  ftc2ditglem  25797  itgparts  25799  itgsubstlem  25800  itgpowd  25802  efcvx  26197  pige3ALT  26265  cos0pilt1  26277  logccv  26407  loglesqrt  26502  pntlem3  27348  eliccioo  32364  xrge0iifcnv  33211  lmxrge0  33230  esumpinfval  33369  hashf2  33380  esumcvg  33382  ftc2re  33908  cvmliftlem7  34580  cvmliftlem10  34583  gg-cmvth  35466  gg-dvfsumle  35468  gg-dvfsumlem2  35469  ivthALT  35523  ftc2nc  36873  areacirc  36884  iccintsng  44534  pnfel0pnf  44539  limcicciooub  44651  icccncfext  44901  dvbdfbdioolem1  44942  itgsin0pilem1  44964  itgcoscmulx  44983  itgsincmulx  44988  itgsubsticc  44990  fourierdlem20  45141  fourierdlem54  45174  fourierdlem64  45184  fourierdlem81  45201  fourierdlem102  45222  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224  fourierdlem114  45234  etransclem46  45294
  Copyright terms: Public domain W3C validator