Theorem ubicc2 13508

Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ubicc2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem ubicc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
3		xrleid 13192	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ 𝐵)
4	3	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐵)
5		elicc1 13432	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
6	5	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
7	1, 2, 4, 6	mpbir3and 1361	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝ^*cxr 11257   ≤ cle 11259  [,]cicc 13391

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-icc 13395

This theorem is used by:  xnn0xrge0  13549  iccpnfcnv  25154  oprpiece1res2  25162  ivthlem2  25662  ivth2  25665  ivthle  25666  ivthle2  25667  dyadmaxlem  25807  cmvth  26201  mvth  26202  dvlip  26203  c1liplem1  26206  dvgt0lem1  26212  lhop1lem  26223  dvcnvrelem1  26227  dvcvx  26230  dvfsumle  26231  dvfsumge  26232  dvfsumabs  26233  dvfsumlem2  26237  ftc2  26254  ftc2ditglem  26255  itgparts  26257  itgsubstlem  26258  itgpowd  26260  efcvx  26663  pige3ALT  26736  cos0pilt1  26748  logccv  26879  loglesqrt  26977  pntlem3  27824  eliccioo  33320  xrge0iifcnv  34387  lmxrge0  34406  esumpinfval  34527  hashf2  34538  esumcvg  34540  ftc2re  35050  cvmliftlem7  35820  cvmliftlem10  35823  ivthALT  36903  ftc2nc  38410  areacirc  38421  iccintsng  46297  pnfel0pnf  46302  limcicciooub  46409  icccncfext  46659  dvbdfbdioolem1  46700  itgsin0pilem1  46722  itgcoscmulx  46741  itgsincmulx  46746  itgsubsticc  46748  fourierdlem20  46899  fourierdlem54  46932  fourierdlem64  46942  fourierdlem81  46959  fourierdlem102  46980  fourierdlem103  46981  fourierdlem104  46982  fourierdlem114  46992  etransclem46  47052