Theorem ubicc2 13482

Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ubicc2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem ubicc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
3		xrleid 13167	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ 𝐵)
4	3	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐵)
5		elicc1 13406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
6	5	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
7	1, 2, 4, 6	mpbir3and 1343	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝ^*cxr 11268   ≤ cle 11270  [,]cicc 13365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-icc 13369

This theorem is referenced by:  xnn0xrge0  13523  iccpnfcnv  24893  oprpiece1res2  24901  ivthlem2  25405  ivth2  25408  ivthle  25409  ivthle2  25410  dyadmaxlem  25550  cmvth  25947  cmvthOLD  25948  mvth  25949  dvlip  25950  c1liplem1  25953  dvgt0lem1  25959  lhop1lem  25970  dvcnvrelem1  25974  dvcvx  25977  dvfsumle  25978  dvfsumleOLD  25979  dvfsumge  25980  dvfsumabs  25981  dvfsumlem2  25985  dvfsumlem2OLD  25986  ftc2  26003  ftc2ditglem  26004  itgparts  26006  itgsubstlem  26007  itgpowd  26009  efcvx  26411  pige3ALT  26481  cos0pilt1  26493  logccv  26624  loglesqrt  26723  pntlem3  27572  eliccioo  32905  xrge0iifcnv  33964  lmxrge0  33983  esumpinfval  34104  hashf2  34115  esumcvg  34117  ftc2re  34630  cvmliftlem7  35313  cvmliftlem10  35316  ivthALT  36353  ftc2nc  37726  areacirc  37737  iccintsng  45552  pnfel0pnf  45557  limcicciooub  45666  icccncfext  45916  dvbdfbdioolem1  45957  itgsin0pilem1  45979  itgcoscmulx  45998  itgsincmulx  46003  itgsubsticc  46005  fourierdlem20  46156  fourierdlem54  46189  fourierdlem64  46199  fourierdlem81  46216  fourierdlem102  46237  fourierdlem103  46238  fourierdlem104  46239  fourierdlem114  46249  etransclem46  46309