Theorem ubicc2 13636

Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ubicc2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem ubicc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
3		xrleid 13320	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ 𝐵)
4	3	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐵)
5		elicc1 13560	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
6	5	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
7	1, 2, 4, 6	mpbir3and 1361	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383  [,]cicc 13519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-icc 13523

This theorem is used by:  xnn0xrge0  13677  iccpnfcnv  25320  oprpiece1res2  25328  ivthlem2  25828  ivth2  25831  ivthle  25832  ivthle2  25833  dyadmaxlem  25973  cmvth  26366  mvth  26367  dvlip  26368  c1liplem1  26371  dvgt0lem1  26377  lhop1lem  26388  dvcnvrelem1  26392  dvcvx  26395  dvfsumle  26396  dvfsumge  26397  dvfsumabs  26398  dvfsumlem2  26402  ftc2  26419  ftc2ditglem  26420  itgparts  26422  itgsubstlem  26423  itgpowd  26425  efcvx  26833  pige3ALT  26905  cos0pilt1  26917  logccv  27048  loglesqrt  27146  pntlem3  27993  eliccioo  33593  xrge0iifcnv  34676  lmxrge0  34695  esumpinfval  34816  hashf2  34827  esumcvg  34829  ftc2re  35338  cvmliftlem7  36264  cvmliftlem10  36267  ivthALT  37338  ftc2nc  38888  areacirc  38899  iccintsng  46808  pnfel0pnf  46813  limcicciooub  46920  icccncfext  47170  dvbdfbdioolem1  47211  itgsin0pilem1  47233  itgcoscmulx  47252  itgsincmulx  47257  itgsubsticc  47259  fourierdlem20  47410  fourierdlem54  47443  fourierdlem64  47453  fourierdlem81  47470  fourierdlem102  47491  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  fourierdlem114  47503  etransclem46  47563