Theorem ubicc2 13589

Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ubicc2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem ubicc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
3		xrleid 13273	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ 𝐵)
4	3	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐵)
5		elicc1 13513	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
6	5	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
7	1, 2, 4, 6	mpbir3and 1361	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝ^*cxr 11335   ≤ cle 11337  [,]cicc 13472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-icc 13476

This theorem is used by:  xnn0xrge0  13630  iccpnfcnv  25258  oprpiece1res2  25266  ivthlem2  25766  ivth2  25769  ivthle  25770  ivthle2  25771  dyadmaxlem  25911  cmvth  26304  mvth  26305  dvlip  26306  c1liplem1  26309  dvgt0lem1  26315  lhop1lem  26326  dvcnvrelem1  26330  dvcvx  26333  dvfsumle  26334  dvfsumge  26335  dvfsumabs  26336  dvfsumlem2  26340  ftc2  26357  ftc2ditglem  26358  itgparts  26360  itgsubstlem  26361  itgpowd  26363  efcvx  26769  pige3ALT  26841  cos0pilt1  26853  logccv  26984  loglesqrt  27082  pntlem3  27929  eliccioo  33490  xrge0iifcnv  34558  lmxrge0  34577  esumpinfval  34698  hashf2  34709  esumcvg  34711  ftc2re  35220  cvmliftlem7  36035  cvmliftlem10  36038  ivthALT  37103  ftc2nc  38600  areacirc  38611  iccintsng  46504  pnfel0pnf  46509  limcicciooub  46616  icccncfext  46866  dvbdfbdioolem1  46907  itgsin0pilem1  46929  itgcoscmulx  46948  itgsincmulx  46953  itgsubsticc  46955  fourierdlem20  47106  fourierdlem54  47139  fourierdlem64  47149  fourierdlem81  47166  fourierdlem102  47187  fourierdlem103  47188  fourierdlem104  47189  fourierdlem114  47199  etransclem46  47259