Theorem ubicc2 13491

Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ubicc2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem ubicc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		simp3 1154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
3		xrleid 13175	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ 𝐵)
4	3	3ad2ant2 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐵)
5		elicc1 13415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
6	5	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
7	1, 2, 4, 6	mpbir3and 1359	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝ^*cxr 11241   ≤ cle 11243  [,]cicc 13374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-icc 13378

This theorem is referenced by:  xnn0xrge0  13532  iccpnfcnv  25071  oprpiece1res2  25079  ivthlem2  25579  ivth2  25582  ivthle  25583  ivthle2  25584  dyadmaxlem  25724  cmvth  26118  mvth  26119  dvlip  26120  c1liplem1  26123  dvgt0lem1  26129  lhop1lem  26140  dvcnvrelem1  26144  dvcvx  26147  dvfsumle  26148  dvfsumge  26149  dvfsumabs  26150  dvfsumlem2  26154  ftc2  26171  ftc2ditglem  26172  itgparts  26174  itgsubstlem  26175  itgpowd  26177  efcvx  26577  pige3ALT  26650  cos0pilt1  26662  logccv  26793  loglesqrt  26891  pntlem3  27738  eliccioo  33190  xrge0iifcnv  34267  lmxrge0  34286  esumpinfval  34407  hashf2  34418  esumcvg  34420  ftc2re  34929  cvmliftlem7  35681  cvmliftlem10  35684  ivthALT  36734  ftc2nc  38240  areacirc  38251  iccintsng  46130  pnfel0pnf  46135  limcicciooub  46242  icccncfext  46492  dvbdfbdioolem1  46533  itgsin0pilem1  46555  itgcoscmulx  46574  itgsincmulx  46579  itgsubsticc  46581  fourierdlem20  46732  fourierdlem54  46765  fourierdlem64  46775  fourierdlem81  46792  fourierdlem102  46813  fourierdlem103  46814  fourierdlem104  46815  fourierdlem114  46825  etransclem46  46885