MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubicc2 12703
Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ubicc2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem ubicc2
StepHypRef Expression
1 simp2 1130 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 simp3 1131 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
3 xrleid 12394 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
433ad2ant2 1127 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
5 elicc1 12632 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
653adant3 1125 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
71, 2, 4, 6mpbir3and 1335 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  w3a 1080  wcel 2080   class class class wbr 4964  (class class class)co 7019  *cxr 10523  cle 10525  [,]cicc 12591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-op 4481  df-uni 4748  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-id 5351  df-po 5365  df-so 5366  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-icc 12595
This theorem is referenced by:  xnn0xrge0  12741  iccpnfcnv  23231  oprpiece1res2  23239  ivthlem2  23736  ivth2  23739  ivthle  23740  ivthle2  23741  dyadmaxlem  23881  cmvth  24271  mvth  24272  dvlip  24273  c1liplem1  24276  dvgt0lem1  24282  lhop1lem  24293  dvcnvrelem1  24297  dvcvx  24300  dvfsumle  24301  dvfsumge  24302  dvfsumabs  24303  dvfsumlem2  24307  ftc2  24324  ftc2ditglem  24325  itgparts  24327  itgsubstlem  24328  efcvx  24720  pige3ALT  24788  logccv  24927  loglesqrt  25020  pntlem3  25867  eliccioo  30283  xrge0iifcnv  30785  lmxrge0  30804  esumpinfval  30941  hashf2  30952  esumcvg  30954  ftc2re  31478  cvmliftlem7  32140  cvmliftlem10  32143  ivthALT  33286  ftc2nc  34520  areacirc  34531  itgpowd  39319  iccintsng  41354  pnfel0pnf  41359  limcicciooub  41473  icccncfext  41725  dvbdfbdioolem1  41768  itgsin0pilem1  41790  itgcoscmulx  41809  itgsincmulx  41814  itgsubsticc  41816  fourierdlem20  41968  fourierdlem54  42001  fourierdlem64  42011  fourierdlem81  42028  fourierdlem102  42049  fourierdlem103  42050  fourierdlem104  42051  fourierdlem114  42061  etransclem46  42121
  Copyright terms: Public domain W3C validator