Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prsiga 33117
Description: The smallest possible sigma-algebra containing 𝑂. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
prsiga (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ {βˆ…, 𝑂} ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))

Proof of Theorem prsiga
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elpw 5353 . . 3 βˆ… ∈ 𝒫 𝑂
2 pwidg 4621 . . 3 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
3 prssi 4823 . . 3 ((βˆ… ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ {βˆ…, 𝑂} βŠ† 𝒫 𝑂)
41, 2, 3sylancr 587 . 2 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ {βˆ…, 𝑂} βŠ† 𝒫 𝑂)
5 prid2g 4764 . . 3 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝑂 ∈ {βˆ…, 𝑂})
6 dif0 4371 . . . . 5 (𝑂 βˆ– βˆ…) = 𝑂
76, 5eqeltrid 2837 . . . 4 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑂 βˆ– βˆ…) ∈ {βˆ…, 𝑂})
8 difid 4369 . . . . 5 (𝑂 βˆ– 𝑂) = βˆ…
9 0ex 5306 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
109prid1 4765 . . . . . 6 βˆ… ∈ {βˆ…, 𝑂}
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ βˆ… ∈ {βˆ…, 𝑂})
128, 11eqeltrid 2837 . . . 4 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑂 βˆ– 𝑂) ∈ {βˆ…, 𝑂})
13 difeq2 4115 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) = (𝑂 βˆ– βˆ…))
1413eleq1d 2818 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ {βˆ…, 𝑂} ↔ (𝑂 βˆ– βˆ…) ∈ {βˆ…, 𝑂}))
15 difeq2 4115 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑂 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) = (𝑂 βˆ– 𝑂))
1615eleq1d 2818 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑂 β†’ ((𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ {βˆ…, 𝑂} ↔ (𝑂 βˆ– 𝑂) ∈ {βˆ…, 𝑂}))
1714, 16ralprg 4697 . . . . 5 ((βˆ… ∈ V ∧ 𝑂 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ {βˆ…, 𝑂} ↔ ((𝑂 βˆ– βˆ…) ∈ {βˆ…, 𝑂} ∧ (𝑂 βˆ– 𝑂) ∈ {βˆ…, 𝑂})))
189, 17mpan 688 . . . 4 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ {βˆ…, 𝑂} ↔ ((𝑂 βˆ– βˆ…) ∈ {βˆ…, 𝑂} ∧ (𝑂 βˆ– 𝑂) ∈ {βˆ…, 𝑂})))
197, 12, 18mpbir2and 711 . . 3 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ {βˆ…, 𝑂})
20 uni0 4938 . . . . . . . . 9 βˆͺ βˆ… = βˆ…
2120, 10eqeltri 2829 . . . . . . . 8 βˆͺ βˆ… ∈ {βˆ…, 𝑂}
229unisn 4929 . . . . . . . . 9 βˆͺ {βˆ…} = βˆ…
2322, 10eqeltri 2829 . . . . . . . 8 βˆͺ {βˆ…} ∈ {βˆ…, 𝑂}
2421, 23pm3.2i 471 . . . . . . 7 (βˆͺ βˆ… ∈ {βˆ…, 𝑂} ∧ βˆͺ {βˆ…} ∈ {βˆ…, 𝑂})
25 snex 5430 . . . . . . . . 9 {βˆ…} ∈ V
269, 25pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (βˆ… ∈ V ∧ {βˆ…} ∈ V)
27 unieq 4918 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ βˆ…)
2827eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} ↔ βˆͺ βˆ… ∈ {βˆ…, 𝑂}))
29 unieq 4918 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = {βˆ…} β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ {βˆ…})
3029eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = {βˆ…} β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} ↔ βˆͺ {βˆ…} ∈ {βˆ…, 𝑂}))
3128, 30ralprg 4697 . . . . . . . 8 ((βˆ… ∈ V ∧ {βˆ…} ∈ V) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, {βˆ…}}βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} ↔ (βˆͺ βˆ… ∈ {βˆ…, 𝑂} ∧ βˆͺ {βˆ…} ∈ {βˆ…, 𝑂})))
3226, 31mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, {βˆ…}}βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} ↔ (βˆͺ βˆ… ∈ {βˆ…, 𝑂} ∧ βˆͺ {βˆ…} ∈ {βˆ…, 𝑂})))
3324, 32mpbiri 257 . . . . . 6 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, {βˆ…}}βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂})
34 unisng 4928 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ {𝑂} = 𝑂)
3534, 5eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ {𝑂} ∈ {βˆ…, 𝑂})
36 uniprg 4924 . . . . . . . . . 10 ((βˆ… ∈ V ∧ 𝑂 ∈ 𝑉) β†’ βˆͺ {βˆ…, 𝑂} = (βˆ… βˆͺ 𝑂))
379, 36mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ {βˆ…, 𝑂} = (βˆ… βˆͺ 𝑂))
38 uncom 4152 . . . . . . . . . 10 (βˆ… βˆͺ 𝑂) = (𝑂 βˆͺ βˆ…)
39 un0 4389 . . . . . . . . . 10 (𝑂 βˆͺ βˆ…) = 𝑂
4038, 39eqtri 2760 . . . . . . . . 9 (βˆ… βˆͺ 𝑂) = 𝑂
4137, 40eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ {βˆ…, 𝑂} = 𝑂)
4241, 5eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ {βˆ…, 𝑂} ∈ {βˆ…, 𝑂})
43 snex 5430 . . . . . . . . 9 {𝑂} ∈ V
44 prex 5431 . . . . . . . . 9 {βˆ…, 𝑂} ∈ V
4543, 44pm3.2i 471 . . . . . . . 8 ({𝑂} ∈ V ∧ {βˆ…, 𝑂} ∈ V)
46 unieq 4918 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = {𝑂} β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ {𝑂})
4746eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = {𝑂} β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} ↔ βˆͺ {𝑂} ∈ {βˆ…, 𝑂}))
48 unieq 4918 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = {βˆ…, 𝑂} β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ {βˆ…, 𝑂})
4948eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = {βˆ…, 𝑂} β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} ↔ βˆͺ {βˆ…, 𝑂} ∈ {βˆ…, 𝑂}))
5047, 49ralprg 4697 . . . . . . . 8 (({𝑂} ∈ V ∧ {βˆ…, 𝑂} ∈ V) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {{𝑂}, {βˆ…, 𝑂}}βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} ↔ (βˆͺ {𝑂} ∈ {βˆ…, 𝑂} ∧ βˆͺ {βˆ…, 𝑂} ∈ {βˆ…, 𝑂})))
5145, 50mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {{𝑂}, {βˆ…, 𝑂}}βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} ↔ (βˆͺ {𝑂} ∈ {βˆ…, 𝑂} ∧ βˆͺ {βˆ…, 𝑂} ∈ {βˆ…, 𝑂})))
5235, 42, 51mpbir2and 711 . . . . . 6 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {{𝑂}, {βˆ…, 𝑂}}βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂})
53 ralun 4191 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, {βˆ…}}βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {{𝑂}, {βˆ…, 𝑂}}βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂}) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ({βˆ…, {βˆ…}} βˆͺ {{𝑂}, {βˆ…, 𝑂}})βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂})
5433, 52, 53syl2anc 584 . . . . 5 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ({βˆ…, {βˆ…}} βˆͺ {{𝑂}, {βˆ…, 𝑂}})βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂})
55 pwpr 4901 . . . . . 6 𝒫 {βˆ…, 𝑂} = ({βˆ…, {βˆ…}} βˆͺ {{𝑂}, {βˆ…, 𝑂}})
5655raleqi 3323 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {βˆ…, 𝑂}βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ({βˆ…, {βˆ…}} βˆͺ {{𝑂}, {βˆ…, 𝑂}})βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂})
5754, 56sylibr 233 . . . 4 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {βˆ…, 𝑂}βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂})
58 ax-1 6 . . . . 5 (βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂}))
5958ralimi 3083 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {βˆ…, 𝑂}βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {βˆ…, 𝑂} (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂}))
6057, 59syl 17 . . 3 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {βˆ…, 𝑂} (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂}))
615, 19, 603jca 1128 . 2 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑂 ∈ {βˆ…, 𝑂} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ {βˆ…, 𝑂} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {βˆ…, 𝑂} (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂})))
62 issiga 33098 . . 3 ({βˆ…, 𝑂} ∈ V β†’ ({βˆ…, 𝑂} ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ↔ ({βˆ…, 𝑂} βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ {βˆ…, 𝑂} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ {βˆ…, 𝑂} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {βˆ…, 𝑂} (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂})))))
6344, 62ax-mp 5 . 2 ({βˆ…, 𝑂} ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ↔ ({βˆ…, 𝑂} βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ {βˆ…, 𝑂} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂} (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ {βˆ…, 𝑂} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {βˆ…, 𝑂} (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ {βˆ…, 𝑂}))))
644, 61, 63sylanbrc 583 1 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ {βˆ…, 𝑂} ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  {cpr 4629  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  Ο‰com 7851   β‰Ό cdom 8933  sigAlgebracsiga 33094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-siga 33095
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator