MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdom 9169
Description: Injection of sets implies injection on power sets. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdom (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwdom
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 4614 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝒫 𝐴 = 𝒫 ∅)
21breq1d 5153 . 2 (𝐴 = ∅ → (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
3 reldom 8991 . . . . . . 7 Rel ≼
43brrelex1i 5741 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
5 0sdomg 9144 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
76biimpar 477 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8 simpl 482 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐵)
9 fodomr 9168 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐴𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
107, 8, 9syl2anc 584 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
11 vex 3484 . . . . 5 𝑓 ∈ V
12 fopwdom 9120 . . . . 5 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵onto𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1311, 12mpan 690 . . . 4 (𝑓:𝐵onto𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1413exlimiv 1930 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1510, 14syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
163brrelex2i 5742 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
1716pwexd 5379 . . 3 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
18 0ss 4400 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐵
1918sspwi 4612 . . 3 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵
20 ssdomg 9040 . . 3 (𝒫 𝐵 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
2117, 19, 20mpisyl 21 . 2 (𝐴𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵)
222, 15, 21pm2.61ne 3027 1 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  ontowfo 6559  cdom 8983  csdm 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988
This theorem is referenced by:  djulepw  10233  gchpwdom  10710  gchaclem  10718  2ndcredom  23458
  Copyright terms: Public domain W3C validator