Theorem pwdom 9143

Description: Injection of sets implies injection on power sets. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdom	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwdom

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4589	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝒫 𝐴 = 𝒫 ∅)
2	1	breq1d 5129	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
3		reldom 8965	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5710	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
5		0sdomg 9118	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	6	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ 𝐵)
9		fodomr 9142	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
11		vex 3463	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
12		fopwdom 9094	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵–onto→𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
13	11, 12	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
14	13	exlimiv 1930	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
15	10, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
16	3	brrelex2i 5711	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
17	16	pwexd 5349	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
18		0ss 4375	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
19	18	sspwi 4587	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵
20		ssdomg 9014	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐵 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
21	17, 19, 20	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵)
22	2, 15, 21	pm2.61ne 3017	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575   class class class wbr 5119  –onto→wfo 6529   ≼ cdom 8957   ≺ csdm 8958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962

This theorem is referenced by:  djulepw  10207  gchpwdom  10684  gchaclem  10692  2ndcredom  23388