Theorem pwdom 9097

Description: Injection of sets implies injection on power sets. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdom	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwdom

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4568	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝒫 𝐴 = 𝒫 ∅)
2	1	breq1d 5109	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
3		reldom 8929	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5701	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
5		0sdomg 9074	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	6	biimpar 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ 𝐵)
9		fodomr 9096	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
10	7, 8, 9	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
11		vex 3457	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
12		fopwdom 9053	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵–onto→𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
13	11, 12	mpan 700	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
14	13	exlimiv 1949	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
15	10, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
16	3	brrelex2i 5702	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
17	16	pwexd 5335	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
18		0ss 4353	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
19	18	sspwi 4566	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵
20		ssdomg 8977	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐵 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
21	17, 19, 20	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵)
22	2, 15, 21	pm2.61ne 3041	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5099  –onto→wfo 6515   ≼ cdom 8921   ≺ csdm 8922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926

This theorem is referenced by:  djulepw  10146  gchpwdom  10625  gchaclem  10633  2ndcredom  23490