Theorem pwdom 9057

Description: Injection of sets implies injection on power sets. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdom	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwdom

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4568	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝒫 𝐴 = 𝒫 ∅)
2	1	breq1d 5108	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
3		reldom 8889	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5680	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
5		0sdomg 9034	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	6	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ 𝐵)
9		fodomr 9056	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
11		vex 3444	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
12		fopwdom 9013	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵–onto→𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
13	11, 12	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
14	13	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
15	10, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
16	3	brrelex2i 5681	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
17	16	pwexd 5324	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
18		0ss 4352	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
19	18	sspwi 4566	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵
20		ssdomg 8937	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐵 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
21	17, 19, 20	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵)
22	2, 15, 21	pm2.61ne 3017	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5098  –onto→wfo 6490   ≼ cdom 8881   ≺ csdm 8882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886

This theorem is referenced by:  djulepw  10103  gchpwdom  10581  gchaclem  10589  2ndcredom  23394