Theorem pwdom 8457

Description: Injection of sets implies injection on power sets. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdom	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwdom

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4419	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝒫 𝐴 = 𝒫 ∅)
2	1	breq1d 4933	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
3		reldom 8304	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5451	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
5		0sdomg 8434	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	6	biimpar 470	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8		simpl 475	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ 𝐵)
9		fodomr 8456	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
10	7, 8, 9	syl2anc 576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
11		vex 3412	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
12		fopwdom 8413	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵–onto→𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
13	11, 12	mpan 677	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
14	13	exlimiv 1889	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
15	10, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
16	3	brrelex2i 5452	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
17	16	pwexd 5127	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
18		0ss 4230	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
19		sspwb 5191	. . . 4 ⊢ (∅ ⊆ 𝐵 ↔ 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵)
20	18, 19	mpbi 222	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵
21		ssdomg 8344	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐵 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
22	17, 20, 21	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵)
23	2, 15, 22	pm2.61ne 3047	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507  ∃wex 1742   ∈ wcel 2048   ≠ wne 2961  Vcvv 3409   ⊆ wss 3825  ∅c0 4173  𝒫 cpw 4416   class class class wbr 4923  –onto→wfo 6180   ≼ cdom 8296   ≺ csdm 8297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301

This theorem is referenced by:  djulepw  9408  gchpwdom  9882  gchaclem  9890  2ndcredom  21752