MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdom 9126
Description: Injection of sets implies injection on power sets. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdom (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwdom
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 4609 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝒫 𝐴 = 𝒫 ∅)
21breq1d 5149 . 2 (𝐴 = ∅ → (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
3 reldom 8942 . . . . . . 7 Rel ≼
43brrelex1i 5723 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
5 0sdomg 9101 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
76biimpar 477 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8 simpl 482 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐵)
9 fodomr 9125 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐴𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
107, 8, 9syl2anc 583 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
11 vex 3470 . . . . 5 𝑓 ∈ V
12 fopwdom 9077 . . . . 5 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵onto𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1311, 12mpan 687 . . . 4 (𝑓:𝐵onto𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1413exlimiv 1925 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1510, 14syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
163brrelex2i 5724 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
1716pwexd 5368 . . 3 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
18 0ss 4389 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐵
1918sspwi 4607 . . 3 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵
20 ssdomg 8993 . . 3 (𝒫 𝐵 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
2117, 19, 20mpisyl 21 . 2 (𝐴𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵)
222, 15, 21pm2.61ne 3019 1 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2932  Vcvv 3466  wss 3941  c0 4315  𝒫 cpw 4595   class class class wbr 5139  ontowfo 6532  cdom 8934  csdm 8935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939
This theorem is referenced by:  djulepw  10184  gchpwdom  10662  gchaclem  10670  2ndcredom  23298
  Copyright terms: Public domain W3C validator