Theorem pwdom 9053

Description: Injection of sets implies injection on power sets. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdom	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwdom

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4567	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝒫 𝐴 = 𝒫 ∅)
2	1	breq1d 5105	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
3		reldom 8885	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5679	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
5		0sdomg 9030	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	6	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ 𝐵)
9		fodomr 9052	. . . 4 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴)
11		vex 3442	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
12		fopwdom 9009	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵–onto→𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
13	11, 12	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐵–onto→𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
14	13	exlimiv 1930	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐵–onto→𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
15	10, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
16	3	brrelex2i 5680	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
17	16	pwexd 5321	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
18		0ss 4353	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
19	18	sspwi 4565	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵
20		ssdomg 8932	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐵 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
21	17, 19, 20	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵)
22	2, 15, 21	pm2.61ne 3010	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4553   class class class wbr 5095  –onto→wfo 6484   ≼ cdom 8877   ≺ csdm 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882

This theorem is referenced by:  djulepw  10106  gchpwdom  10583  gchaclem  10591  2ndcredom  23353