MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchaclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchaclem 10709
Description: Lemma for gchac 10712 (obsolete, used in SierpiΕ„ski's proof). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gchaclem.1 (πœ‘ β†’ Ο‰ β‰Ό 𝐴)
gchaclem.3 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝐢 ∈ GCH)
gchaclem.4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰Ό 𝐢 ∧ (𝐡 β‰Ό 𝒫 𝐢 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
gchaclem (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐢 ∧ (𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡)))

Proof of Theorem gchaclem
StepHypRef Expression
1 gchaclem.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰Ό 𝐢 ∧ (𝐡 β‰Ό 𝒫 𝐢 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡)))
21simpld 493 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό 𝐢)
3 reldom 8976 . . . . . 6 Rel β‰Ό
43brrelex2i 5739 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό 𝐢 β†’ 𝐢 ∈ V)
52, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
6 canth2g 9162 . . . 4 (𝐢 ∈ V β†’ 𝐢 β‰Ί 𝒫 𝐢)
7 sdomdom 9007 . . . 4 (𝐢 β‰Ί 𝒫 𝐢 β†’ 𝐢 β‰Ό 𝒫 𝐢)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰Ό 𝒫 𝐢)
9 domtr 9034 . . 3 ((𝐴 β‰Ό 𝐢 ∧ 𝐢 β‰Ό 𝒫 𝐢) β†’ 𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐢)
102, 8, 9syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐢)
11 gchaclem.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝐢 ∈ GCH)
1211adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢) β†’ 𝒫 𝐢 ∈ GCH)
13 gchaclem.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ο‰ β‰Ό 𝐴)
14 domtr 9034 . . . . . . . 8 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό 𝐢) β†’ Ο‰ β‰Ό 𝐢)
1513, 2, 14syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ο‰ β‰Ό 𝐢)
1615adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢) β†’ Ο‰ β‰Ό 𝐢)
17 pwdjuidm 10222 . . . . . 6 (Ο‰ β‰Ό 𝐢 β†’ (𝒫 𝐢 βŠ” 𝒫 𝐢) β‰ˆ 𝒫 𝐢)
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢) β†’ (𝒫 𝐢 βŠ” 𝒫 𝐢) β‰ˆ 𝒫 𝐢)
19 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢) β†’ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢)
20 gchdomtri 10660 . . . . 5 ((𝒫 𝐢 ∈ GCH ∧ (𝒫 𝐢 βŠ” 𝒫 𝐢) β‰ˆ 𝒫 𝐢 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢) β†’ (𝒫 𝐢 β‰Ό 𝐡 ∨ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝐢))
2112, 18, 19, 20syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢) β†’ (𝒫 𝐢 β‰Ό 𝐡 ∨ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝐢))
2221ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢 β†’ (𝒫 𝐢 β‰Ό 𝐡 ∨ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝐢)))
23 pwdom 9160 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό 𝐢 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐢)
24 domtr 9034 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐢 ∧ 𝒫 𝐢 β‰Ό 𝐡) β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡)
2524ex 411 . . . . 5 (𝒫 𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐢 β†’ (𝒫 𝐢 β‰Ό 𝐡 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡))
262, 23, 253syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝒫 𝐢 β‰Ό 𝐡 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡))
271simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 β‰Ό 𝒫 𝐢 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡))
2826, 27jaod 857 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝒫 𝐢 β‰Ό 𝐡 ∨ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝐢) β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡))
2922, 28syld 47 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡))
3010, 29jca 510 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐢 ∧ (𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  π’« cpw 4606   class class class wbr 5152  Ο‰com 7876   β‰ˆ cen 8967   β‰Ό cdom 8968   β‰Ί csdm 8969   βŠ” cdju 9929  GCHcgch 10651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-wdom 9596  df-dju 9932  df-card 9970  df-gch 10652
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator