MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchaclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchaclem 10718
Description: Lemma for gchac 10721 (obsolete, used in Sierpiński's proof). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gchaclem.1 (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
gchaclem.3 (𝜑 → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
gchaclem.4 (𝜑 → (𝐴𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))
Assertion
Ref Expression
gchaclem (𝜑 → (𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))

Proof of Theorem gchaclem
StepHypRef Expression
1 gchaclem.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))
21simpld 494 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
3 reldom 8991 . . . . . 6 Rel ≼
43brrelex2i 5742 . . . . 5 (𝐴𝐶𝐶 ∈ V)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ V)
6 canth2g 9171 . . . 4 (𝐶 ∈ V → 𝐶 ≺ 𝒫 𝐶)
7 sdomdom 9020 . . . 4 (𝐶 ≺ 𝒫 𝐶𝐶 ≼ 𝒫 𝐶)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑𝐶 ≼ 𝒫 𝐶)
9 domtr 9047 . . 3 ((𝐴𝐶𝐶 ≼ 𝒫 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
102, 8, 9syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
11 gchaclem.3 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
13 gchaclem.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
14 domtr 9047 . . . . . . . 8 ((ω ≼ 𝐴𝐴𝐶) → ω ≼ 𝐶)
1513, 2, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ω ≼ 𝐶)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → ω ≼ 𝐶)
17 pwdjuidm 10232 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐶 → (𝒫 𝐶 ⊔ 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶)
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶 ⊔ 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶)
19 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶)
20 gchdomtri 10669 . . . . 5 ((𝒫 𝐶 ∈ GCH ∧ (𝒫 𝐶 ⊔ 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶))
2112, 18, 19, 20syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶))
2221ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → (𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶)))
23 pwdom 9169 . . . . 5 (𝐴𝐶 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
24 domtr 9047 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ 𝒫 𝐶𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
2524ex 412 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 → (𝒫 𝐶𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
262, 23, 253syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝒫 𝐶𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
271simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵))
2826, 27jaod 860 . . 3 (𝜑 → ((𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶) → 𝒫 𝐴𝐵))
2922, 28syld 47 . 2 (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵))
3010, 29jca 511 1 (𝜑 → (𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  wcel 2108  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  ωcom 7887  cen 8982  cdom 8983  csdm 8984  cdju 9938  GCHcgch 10660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-wdom 9605  df-dju 9941  df-card 9979  df-gch 10661
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator