Theorem gchaclem 10672

Description: Lemma for gchac 10675 (obsolete, used in Sierpiński's proof). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gchaclem.1	⊢ (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
gchaclem.3	⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
gchaclem.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
gchaclem	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)))

Proof of Theorem gchaclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gchaclem.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)))
2	1	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ 𝐶)
3		reldom 8944	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex2i 5726	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐶 → 𝐶 ∈ V)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
6		canth2g 9130	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 ≺ 𝒫 𝐶)
7		sdomdom 8975	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≺ 𝒫 𝐶 → 𝐶 ≼ 𝒫 𝐶)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≼ 𝒫 𝐶)
9		domtr 9002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≼ 𝒫 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
10	2, 8, 9	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
11		gchaclem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
13		gchaclem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
14		domtr 9002	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐶) → ω ≼ 𝐶)
15	13, 2, 14	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ω ≼ 𝐶)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → ω ≼ 𝐶)
17		pwdjuidm 10185	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐶 → (𝒫 𝐶 ⊔ 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶 ⊔ 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶)
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶)
20		gchdomtri 10623	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐶 ∈ GCH ∧ (𝒫 𝐶 ⊔ 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐶))
21	12, 18, 19, 20	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐶))
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → (𝒫 𝐶 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐶)))
23		pwdom 9128	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐶 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
24		domtr 9002	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ 𝒫 𝐶 ≼ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
25	24	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 → (𝒫 𝐶 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
26	2, 23, 25	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝒫 𝐶 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
27	1	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
28	26, 27	jaod 856	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝒫 𝐶 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐶) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
29	22, 28	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
30	10, 29	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5141  ωcom 7851   ≈ cen 8935   ≼ cdom 8936   ≺ csdm 8937   ⊔ cdju 9892  GCHcgch 10614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-wdom 9559  df-dju 9895  df-card 9933  df-gch 10615

This theorem is referenced by: (None)