MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchaclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchaclem 9896
Description: Lemma for gchac 9899 (obsolete, used in Sierpiński's proof). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gchaclem.1 (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
gchaclem.3 (𝜑 → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
gchaclem.4 (𝜑 → (𝐴𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))
Assertion
Ref Expression
gchaclem (𝜑 → (𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))

Proof of Theorem gchaclem
StepHypRef Expression
1 gchaclem.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))
21simpld 487 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
3 reldom 8310 . . . . . 6 Rel ≼
43brrelex2i 5455 . . . . 5 (𝐴𝐶𝐶 ∈ V)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ V)
6 canth2g 8465 . . . 4 (𝐶 ∈ V → 𝐶 ≺ 𝒫 𝐶)
7 sdomdom 8332 . . . 4 (𝐶 ≺ 𝒫 𝐶𝐶 ≼ 𝒫 𝐶)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑𝐶 ≼ 𝒫 𝐶)
9 domtr 8357 . . 3 ((𝐴𝐶𝐶 ≼ 𝒫 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
102, 8, 9syl2anc 576 . 2 (𝜑𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
11 gchaclem.3 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
1211adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
13 gchaclem.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
14 domtr 8357 . . . . . . . 8 ((ω ≼ 𝐴𝐴𝐶) → ω ≼ 𝐶)
1513, 2, 14syl2anc 576 . . . . . . 7 (𝜑 → ω ≼ 𝐶)
1615adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → ω ≼ 𝐶)
17 pwdjuidm 9413 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐶 → (𝒫 𝐶 ⊔ 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶)
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶 ⊔ 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶)
19 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶)
20 gchdomtri 9847 . . . . 5 ((𝒫 𝐶 ∈ GCH ∧ (𝒫 𝐶 ⊔ 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶))
2112, 18, 19, 20syl3anc 1351 . . . 4 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶))
2221ex 405 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → (𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶)))
23 pwdom 8463 . . . . 5 (𝐴𝐶 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
24 domtr 8357 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ 𝒫 𝐶𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
2524ex 405 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 → (𝒫 𝐶𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
262, 23, 253syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝒫 𝐶𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
271simprd 488 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵))
2826, 27jaod 845 . . 3 (𝜑 → ((𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶) → 𝒫 𝐴𝐵))
2922, 28syld 47 . 2 (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵))
3010, 29jca 504 1 (𝜑 → (𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wo 833  wcel 2050  Vcvv 3409  𝒫 cpw 4416   class class class wbr 4925  ωcom 7394  cen 8301  cdom 8302  csdm 8303  cdju 9119  GCHcgch 9838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-1o 7903  df-2o 7904  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-wdom 8816  df-dju 9122  df-card 9160  df-gch 9839
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator