MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchaclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchaclem 10622
Description: Lemma for gchac 10625 (obsolete, used in SierpiΕ„ski's proof). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gchaclem.1 (πœ‘ β†’ Ο‰ β‰Ό 𝐴)
gchaclem.3 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝐢 ∈ GCH)
gchaclem.4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰Ό 𝐢 ∧ (𝐡 β‰Ό 𝒫 𝐢 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
gchaclem (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐢 ∧ (𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡)))

Proof of Theorem gchaclem
StepHypRef Expression
1 gchaclem.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰Ό 𝐢 ∧ (𝐡 β‰Ό 𝒫 𝐢 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡)))
21simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό 𝐢)
3 reldom 8895 . . . . . 6 Rel β‰Ό
43brrelex2i 5693 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό 𝐢 β†’ 𝐢 ∈ V)
52, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
6 canth2g 9081 . . . 4 (𝐢 ∈ V β†’ 𝐢 β‰Ί 𝒫 𝐢)
7 sdomdom 8926 . . . 4 (𝐢 β‰Ί 𝒫 𝐢 β†’ 𝐢 β‰Ό 𝒫 𝐢)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰Ό 𝒫 𝐢)
9 domtr 8953 . . 3 ((𝐴 β‰Ό 𝐢 ∧ 𝐢 β‰Ό 𝒫 𝐢) β†’ 𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐢)
102, 8, 9syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐢)
11 gchaclem.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝐢 ∈ GCH)
1211adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢) β†’ 𝒫 𝐢 ∈ GCH)
13 gchaclem.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ο‰ β‰Ό 𝐴)
14 domtr 8953 . . . . . . . 8 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό 𝐢) β†’ Ο‰ β‰Ό 𝐢)
1513, 2, 14syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ο‰ β‰Ό 𝐢)
1615adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢) β†’ Ο‰ β‰Ό 𝐢)
17 pwdjuidm 10135 . . . . . 6 (Ο‰ β‰Ό 𝐢 β†’ (𝒫 𝐢 βŠ” 𝒫 𝐢) β‰ˆ 𝒫 𝐢)
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢) β†’ (𝒫 𝐢 βŠ” 𝒫 𝐢) β‰ˆ 𝒫 𝐢)
19 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢) β†’ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢)
20 gchdomtri 10573 . . . . 5 ((𝒫 𝐢 ∈ GCH ∧ (𝒫 𝐢 βŠ” 𝒫 𝐢) β‰ˆ 𝒫 𝐢 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢) β†’ (𝒫 𝐢 β‰Ό 𝐡 ∨ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝐢))
2112, 18, 19, 20syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢) β†’ (𝒫 𝐢 β‰Ό 𝐡 ∨ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝐢))
2221ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢 β†’ (𝒫 𝐢 β‰Ό 𝐡 ∨ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝐢)))
23 pwdom 9079 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό 𝐢 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐢)
24 domtr 8953 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐢 ∧ 𝒫 𝐢 β‰Ό 𝐡) β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡)
2524ex 414 . . . . 5 (𝒫 𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐢 β†’ (𝒫 𝐢 β‰Ό 𝐡 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡))
262, 23, 253syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝒫 𝐢 β‰Ό 𝐡 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡))
271simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 β‰Ό 𝒫 𝐢 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡))
2826, 27jaod 858 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝒫 𝐢 β‰Ό 𝐡 ∨ 𝐡 β‰Ό 𝒫 𝐢) β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡))
2922, 28syld 47 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡))
3010, 29jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰Ό 𝒫 𝐢 ∧ (𝐡 β‰Ό 𝒫 𝒫 𝐢 β†’ 𝒫 𝐴 β‰Ό 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109  Ο‰com 7806   β‰ˆ cen 8886   β‰Ό cdom 8887   β‰Ί csdm 8888   βŠ” cdju 9842  GCHcgch 10564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-wdom 9509  df-dju 9845  df-card 9883  df-gch 10565
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator