MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchaclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchaclem 10747
Description: Lemma for gchac 10750 (obsolete, used in Sierpiński's proof). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gchaclem.1 (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
gchaclem.3 (𝜑 → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
gchaclem.4 (𝜑 → (𝐴𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))
Assertion
Ref Expression
gchaclem (𝜑 → (𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))

Proof of Theorem gchaclem
StepHypRef Expression
1 gchaclem.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))
21simpld 494 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
3 reldom 9009 . . . . . 6 Rel ≼
43brrelex2i 5757 . . . . 5 (𝐴𝐶𝐶 ∈ V)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ V)
6 canth2g 9197 . . . 4 (𝐶 ∈ V → 𝐶 ≺ 𝒫 𝐶)
7 sdomdom 9040 . . . 4 (𝐶 ≺ 𝒫 𝐶𝐶 ≼ 𝒫 𝐶)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑𝐶 ≼ 𝒫 𝐶)
9 domtr 9067 . . 3 ((𝐴𝐶𝐶 ≼ 𝒫 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
102, 8, 9syl2anc 583 . 2 (𝜑𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
11 gchaclem.3 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
13 gchaclem.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
14 domtr 9067 . . . . . . . 8 ((ω ≼ 𝐴𝐴𝐶) → ω ≼ 𝐶)
1513, 2, 14syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ω ≼ 𝐶)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → ω ≼ 𝐶)
17 pwdjuidm 10261 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐶 → (𝒫 𝐶 ⊔ 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶)
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶 ⊔ 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶)
19 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶)
20 gchdomtri 10698 . . . . 5 ((𝒫 𝐶 ∈ GCH ∧ (𝒫 𝐶 ⊔ 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶))
2112, 18, 19, 20syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶))
2221ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → (𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶)))
23 pwdom 9195 . . . . 5 (𝐴𝐶 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
24 domtr 9067 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ 𝒫 𝐶𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
2524ex 412 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 → (𝒫 𝐶𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
262, 23, 253syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝒫 𝐶𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
271simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵))
2826, 27jaod 858 . . 3 (𝜑 → ((𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶) → 𝒫 𝐴𝐵))
2922, 28syld 47 . 2 (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵))
3010, 29jca 511 1 (𝜑 → (𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 846  wcel 2108  Vcvv 3488  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166  ωcom 7903  cen 9000  cdom 9001  csdm 9002  cdju 9967  GCHcgch 10689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-wdom 9634  df-dju 9970  df-card 10008  df-gch 10690
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator