Theorem 2ndcredom 23371

Description: A second-countable space has at most the cardinality of the continuum. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcredom	⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ≼ ℝ)

Proof of Theorem 2ndcredom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 23367	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2		tgdom 22899	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → (topGen‘𝑥) ≼ 𝒫 𝑥)
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
4		nnenom 13923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
5	4	ensymi 8952	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ≈ ℕ
6		domentr 8961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
7	3, 5, 6	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ℕ)
8		pwdom 9070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≼ ℕ → 𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ)
10		rpnnen 16172	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
11	10	ensymi 8952	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ ℝ
12		domentr 8961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≈ ℝ) → 𝒫 𝑥 ≼ ℝ)
13	9, 11, 12	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝒫 𝑥 ≼ ℝ)
14		domtr 8955	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘𝑥) ≼ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≼ ℝ) → (topGen‘𝑥) ≼ ℝ)
15	2, 13, 14	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → (topGen‘𝑥) ≼ ℝ)
16		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → ((topGen‘𝑥) ≼ ℝ ↔ 𝐽 ≼ ℝ))
17	15, 16	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → 𝐽 ≼ ℝ))
18	17	expimpd 453	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → 𝐽 ≼ ℝ))
19	18	rexlimiv 3127	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → 𝐽 ≼ ℝ)
20	1, 19	sylbi 217	1 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ≼ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  ωcom 7822   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893  ℝcr 11045  ℕcn 12164  topGenctg 17377  TopBasesctb 22866  2^ndωc2ndc 23359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9870  df-acn 9873  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12886  df-rp 12930  df-ico 13290  df-icc 13291  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-fl 13732  df-seq 13945  df-exp 14005  df-hash 14274  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15630  df-topgen 17383  df-2ndc 23361

This theorem is referenced by: (None)