Theorem 2ndcredom 23309

Description: A second-countable space has at most the cardinality of the continuum. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcredom	⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ≼ ℝ)

Proof of Theorem 2ndcredom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 23305	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2		tgdom 22836	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → (topGen‘𝑥) ≼ 𝒫 𝑥)
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
4		nnenom 13951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
5	4	ensymi 9002	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ≈ ℕ
6		domentr 9011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
7	3, 5, 6	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ℕ)
8		pwdom 9131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≼ ℕ → 𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ)
10		rpnnen 16177	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
11	10	ensymi 9002	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ ℝ
12		domentr 9011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≈ ℝ) → 𝒫 𝑥 ≼ ℝ)
13	9, 11, 12	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝒫 𝑥 ≼ ℝ)
14		domtr 9005	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘𝑥) ≼ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≼ ℝ) → (topGen‘𝑥) ≼ ℝ)
15	2, 13, 14	syl2an2r 682	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → (topGen‘𝑥) ≼ ℝ)
16		breq1 5144	. . . . 5 ⊢ ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → ((topGen‘𝑥) ≼ ℝ ↔ 𝐽 ≼ ℝ))
17	15, 16	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → 𝐽 ≼ ℝ))
18	17	expimpd 453	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → 𝐽 ≼ ℝ))
19	18	rexlimiv 3142	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → 𝐽 ≼ ℝ)
20	1, 19	sylbi 216	1 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ≼ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  ωcom 7852   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939  ℝcr 11111  ℕcn 12216  topGenctg 17392  TopBasesctb 22803  2^ndωc2ndc 23297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-topgen 17398  df-2ndc 23299

This theorem is referenced by: (None)