Theorem 2ndcredom 23715

Description: A second-countable space has at most the cardinality of the continuum. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcredom	⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ≼ ℝ)

Proof of Theorem 2ndcredom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 23711	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2		tgdom 23243	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → (topGen‘𝑥) ≼ 𝒫 𝑥)
3		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
4		nnenom 14077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
5	4	ensymi 9010	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ≈ ℕ
6		domentr 9019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
7	3, 5, 6	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ℕ)
8		pwdom 9127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≼ ℕ → 𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ)
10		rpnnen 16348	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
11	10	ensymi 9010	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ ℝ
12		domentr 9019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≈ ℝ) → 𝒫 𝑥 ≼ ℝ)
13	9, 11, 12	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝒫 𝑥 ≼ ℝ)
14		domtr 9013	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘𝑥) ≼ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≼ ℝ) → (topGen‘𝑥) ≼ ℝ)
15	2, 13, 14	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → (topGen‘𝑥) ≼ ℝ)
16		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → ((topGen‘𝑥) ≼ ℝ ↔ 𝐽 ≼ ℝ))
17	15, 16	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → 𝐽 ≼ ℝ))
18	17	expimpd 459	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → 𝐽 ≼ ℝ))
19	18	rexlimiv 3156	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → 𝐽 ≼ ℝ)
20	1, 19	sylbi 220	1 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ≼ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  ωcom 7861   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950  ℝcr 11156  ℕcn 12290  topGenctg 17555  TopBasesctb 23210  2^ndωc2ndc 23703

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-limsup 15591  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807  df-topgen 17561  df-2ndc 23705

This theorem is used by: (None)