Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcredom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ndcredom 22151
 Description: A second-countable space has at most the cardinality of the continuum. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcredom (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ≼ ℝ)

Proof of Theorem 2ndcredom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 22147 . 2 (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2 tgdom 21679 . . . . . 6 (𝑥 ∈ TopBases → (topGen‘𝑥) ≼ 𝒫 𝑥)
3 simpr 489 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
4 nnenom 13398 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
54ensymi 8578 . . . . . . . . 9 ω ≈ ℕ
6 domentr 8587 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
73, 5, 6sylancl 590 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ℕ)
8 pwdom 8692 . . . . . . . 8 (𝑥 ≼ ℕ → 𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ)
10 rpnnen 15629 . . . . . . . 8 ℝ ≈ 𝒫 ℕ
1110ensymi 8578 . . . . . . 7 𝒫 ℕ ≈ ℝ
12 domentr 8587 . . . . . . 7 ((𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≈ ℝ) → 𝒫 𝑥 ≼ ℝ)
139, 11, 12sylancl 590 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝒫 𝑥 ≼ ℝ)
14 domtr 8581 . . . . . 6 (((topGen‘𝑥) ≼ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≼ ℝ) → (topGen‘𝑥) ≼ ℝ)
152, 13, 14syl2an2r 685 . . . . 5 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → (topGen‘𝑥) ≼ ℝ)
16 breq1 5036 . . . . 5 ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → ((topGen‘𝑥) ≼ ℝ ↔ 𝐽 ≼ ℝ))
1715, 16syl5ibcom 248 . . . 4 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((topGen‘𝑥) = 𝐽𝐽 ≼ ℝ))
1817expimpd 458 . . 3 (𝑥 ∈ TopBases → ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → 𝐽 ≼ ℝ))
1918rexlimiv 3205 . 2 (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → 𝐽 ≼ ℝ)
201, 19sylbi 220 1 (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ≼ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3072  𝒫 cpw 4495   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  ωcom 7580   ≈ cen 8525   ≼ cdom 8526  ℝcr 10575  ℕcn 11675  topGenctg 16770  TopBasesctb 21646  2ndωc2ndc 22139 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9138  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-omul 8118  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8940  df-inf 8941  df-oi 9008  df-card 9402  df-acn 9405  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-q 12390  df-rp 12432  df-ico 12786  df-icc 12787  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-fl 13212  df-seq 13420  df-exp 13481  df-hash 13742  df-cj 14507  df-re 14508  df-im 14509  df-sqrt 14643  df-abs 14644  df-limsup 14877  df-clim 14894  df-rlim 14895  df-sum 15092  df-topgen 16776  df-2ndc 22141 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator