Theorem rdgsucmpt 8476

Description: The value of the recursive definition generator at a successor (special case where the characteristic function uses the map operation). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
rdgsucmpt.1	⊢ 𝐹 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)
rdgsucmpt.2	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐵) → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
rdgsucmpt	⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐹‘suc 𝐵) = 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rdgsucmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2904	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2904	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		nfcv 2904	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
4		rdgsucmpt.1	. 2 ⊢ 𝐹 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)
5		rdgsucmpt.2	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	rdgsucmptf 8473	1 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐹‘suc 𝐵) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1538   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ↦ cmpt 5232  Oncon0 6389  suc csuc 6391  ‘cfv 6566  reccrdg 8454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pr 5439  ax-un 7758

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7438  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455

This theorem is referenced by:  precsexlem3  28256