Theorem rdgsucmptf 8424

Description: The value of the recursive definition generator at a successor (special case where the characteristic function uses the map operation). (Contributed by NM, 22-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rdgsucmptf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
rdgsucmptf.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
rdgsucmptf.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐷
rdgsucmptf.4	⊢ 𝐹 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)
rdgsucmptf.5	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐵) → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
rdgsucmptf	⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐹‘suc 𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem rdgsucmptf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsuc 8420	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘suc 𝐵) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘𝐵)))
2		rdgsucmptf.4	. . . 4 ⊢ 𝐹 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)
3	2	fveq1i 6889	. . 3 ⊢ (𝐹‘suc 𝐵) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘suc 𝐵)
4	2	fveq1i 6889	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐵) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘𝐵)
5	4	fveq2i 6891	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹‘𝐵)) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘𝐵))
6	1, 3, 5	3eqtr4g 2826	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐹‘suc 𝐵) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹‘𝐵)))
7		fvex 6901	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐵) ∈ V
8		nfmpt1 5215	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)
9		rdgsucmptf.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
10	8, 9	nfrdg 8410	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)
11	2, 10	nfcxfr 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
12		rdgsucmptf.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
13	11, 12	nffv 6898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝐵)
14		rdgsucmptf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
15		rdgsucmptf.5	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
16		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)
17	13, 14, 15, 16	fvmptf 7018	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹‘𝐵)) = 𝐷)
18	7, 17	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹‘𝐵)) = 𝐷)
19	6, 18	sylan9eq 2821	1 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐹‘suc 𝐵) = 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2913  Vcvv 3458   ↦ cmpt 5197  Oncon0 6367  suc csuc 6369  ‘cfv 6543  reccrdg 8405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406

This theorem is used by:  rdgsucmpt2  8426  rdgsucmpt  8427  ttrclselem1  9704  ttrclselem2  9705  rdgssun  38065  exrecfnlem  38066