Theorem rdgsucmptf 8369

Description: The value of the recursive definition generator at a successor (special case where the characteristic function uses the map operation). (Contributed by NM, 22-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rdgsucmptf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
rdgsucmptf.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
rdgsucmptf.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐷
rdgsucmptf.4	⊢ 𝐹 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)
rdgsucmptf.5	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐵) → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
rdgsucmptf	⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐹‘suc 𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem rdgsucmptf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsuc 8365	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘suc 𝐵) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘𝐵)))
2		rdgsucmptf.4	. . . 4 ⊢ 𝐹 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)
3	2	fveq1i 6843	. . 3 ⊢ (𝐹‘suc 𝐵) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘suc 𝐵)
4	2	fveq1i 6843	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐵) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘𝐵)
5	4	fveq2i 6845	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹‘𝐵)) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘𝐵))
6	1, 3, 5	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐹‘suc 𝐵) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹‘𝐵)))
7		fvex 6855	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐵) ∈ V
8		nfmpt1 5199	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)
9		rdgsucmptf.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
10	8, 9	nfrdg 8355	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)
11	2, 10	nfcxfr 2897	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
12		rdgsucmptf.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
13	11, 12	nffv 6852	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝐵)
14		rdgsucmptf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
15		rdgsucmptf.5	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)
17	13, 14, 15, 16	fvmptf 6971	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹‘𝐵)) = 𝐷)
18	7, 17	mpan 691	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹‘𝐵)) = 𝐷)
19	6, 18	sylan9eq 2792	1 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐹‘suc 𝐵) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181  Oncon0 6325  suc csuc 6327  ‘cfv 6500  reccrdg 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351

This theorem is referenced by:  rdgsucmpt2  8371  rdgsucmpt  8372  ttrclselem1  9646  ttrclselem2  9647  rdgssun  37627  exrecfnlem  37628