Theorem rdgsucmptf 8359

Description: The value of the recursive definition generator at a successor (special case where the characteristic function uses the map operation). (Contributed by NM, 22-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rdgsucmptf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
rdgsucmptf.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
rdgsucmptf.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐷
rdgsucmptf.4	⊢ 𝐹 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)
rdgsucmptf.5	⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐵) → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
rdgsucmptf	⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐹‘suc 𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem rdgsucmptf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsuc 8355	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘suc 𝐵) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘𝐵)))
2		rdgsucmptf.4	. . . 4 ⊢ 𝐹 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)
3	2	fveq1i 6835	. . 3 ⊢ (𝐹‘suc 𝐵) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘suc 𝐵)
4	2	fveq1i 6835	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐵) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘𝐵)
5	4	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹‘𝐵)) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)‘𝐵))
6	1, 3, 5	3eqtr4g 2796	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐹‘suc 𝐵) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹‘𝐵)))
7		fvex 6847	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐵) ∈ V
8		nfmpt1 5197	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)
9		rdgsucmptf.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
10	8, 9	nfrdg 8345	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)
11	2, 10	nfcxfr 2896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
12		rdgsucmptf.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
13	11, 12	nffv 6844	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝐵)
14		rdgsucmptf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
15		rdgsucmptf.5	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
16		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)
17	13, 14, 15, 16	fvmptf 6962	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹‘𝐵)) = 𝐷)
18	7, 17	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹‘𝐵)) = 𝐷)
19	6, 18	sylan9eq 2791	1 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐹‘suc 𝐵) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2883  Vcvv 3440   ↦ cmpt 5179  Oncon0 6317  suc csuc 6319  ‘cfv 6492  reccrdg 8340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341

This theorem is referenced by:  rdgsucmpt2  8361  rdgsucmpt  8362  ttrclselem1  9634  ttrclselem2  9635  rdgssun  37579  exrecfnlem  37580