Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reltsubadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reltsubadd2 40365
Description: 'Less than' relationship between addition and subtraction. Compare ltsubadd2 11444. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)
Assertion
Ref Expression
reltsubadd2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem reltsubadd2
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 readdcl 10953 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
323adant1 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4 simp2 1136 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 reltsub1 40364 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ (𝐴 𝐵) < ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)))
61, 3, 4, 5syl3anc 1370 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ (𝐴 𝐵) < ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵)))
7 repncan2 40360 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) = 𝐶)
873adant1 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) = 𝐶)
98breq2d 5091 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) < ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) ↔ (𝐴 𝐵) < 𝐶))
106, 9bitr2d 279 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐵 + 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110   class class class wbr 5079  (class class class)co 7269  cr 10869   + caddc 10873   < clt 11008   cresub 40343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-resscn 10927  ax-addrcl 10931  ax-addass 10935  ax-rnegex 10941  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-ltxr 11013  df-resub 40344
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator